基于卷積型正交條件的小波構(gòu)造方法

張小燕， 吐爾洪江·阿布都克力木， 馮 惠， 熱依木汗·熱西提

（新疆師范大學數(shù)學科學學院，新疆烏魯木齊830054）

基于卷積型正交條件的小波構(gòu)造方法

張小燕， 吐爾洪江·阿布都克力木?， 馮 惠， 熱依木汗·熱西提

（新疆師范大學數(shù)學科學學院，新疆烏魯木齊830054）

文章通過采用卷積型正交條件提出了一種正交小波的構(gòu)造方法。通過做這些得到的小波是包含Daubechies小波緊支撐特性的特殊小波。在一些受限制的條件下，通過改變小波中的自由參數(shù)來分析構(gòu)造幾個對稱并且近乎緊支撐的小波。

緊支撐；卷積參數(shù)；線性相位；小波

1987年Ma11at提出的多分辨率分析是構(gòu)造小波的一個非常重要的概念【1】。在多分辨率分析中，利用二尺度關(guān)系介紹了較光滑和較粗糙的函數(shù)空間，并且這個較光滑的尺度空間可以分解為一個較粗糙的空間和該粗糙空間的正交補集空間而小波是根據(jù)一個補充的空間構(gòu)造的一個母函數(shù)。將多分辨率分析作為依據(jù)，1988年Daubchies設(shè)計了緊支撐正交小波濾波器【2】，從信號中提取優(yōu)良的高頻分量。然而，這些小波不具有線性相位，除了Haar小波之外【3】。在信號處理中，線性相位比正交性更加重要。設(shè)計具有線性相位小波函數(shù)的方法之一就是放寬正交性條件。Unser和A1droubi通過利用奇數(shù)階的B—樣條函數(shù)的二尺度關(guān)系已經(jīng)構(gòu)造出了雙正交小波【4】。

文章構(gòu)造的卷積型小波既不是從像B—樣條函數(shù)這樣的特殊小波衍生出來的，也不是對濾波器組概念的延拓。為了使新構(gòu)造出的小波具有線性相位，故將自由參數(shù)放在一個滿足正交條件的尺度函數(shù)中，通過做這些，可以得到一個包含有Daubechies緊支撐小波的離散小波正交類。新構(gòu)造的小波和小波濾波器包含有更多的優(yōu)點并且這些新構(gòu)造的濾波器強調(diào)信號物理上的高頻成分。

1 尺度函數(shù)正交條件

尺度函數(shù)φ（x）∈L2（R）且其滿足二尺度關(guān)系：

其中Z為一切正數(shù)；αn為實參數(shù)。Daubechies發(fā)現(xiàn)φ（t）的平移族｛φ（·-k），k∈Z｝正交條件為

文章通過介紹一個函數(shù)φp（x）（φp（x）∈L2（R））滿足二尺度關(guān)系：

其中p=（pm）m=-M，...M均為實參數(shù)；α=（αn）n∈Z為（1）式中出現(xiàn)的尺度系數(shù)；符號?表示為卷積運算：

若p0=1且pm=0（m≠0）則φp（x）和φ（x）一致。

現(xiàn)在定義a（ω）以便以后使用：，下面的定理成立。

2 內(nèi)積與規(guī)范尺度函數(shù)空間

設(shè)V0為平移尺度函數(shù) ｛φ（· -k），k∈Z｝的擴張空間

在尺度函數(shù)空間φ（x）上再定義一個更大的空間V1

將f（x）中的系數(shù)ck由上述定義的參數(shù)p=（pm）代替。再定義一個函數(shù)fp（x）：

如果（7）中的cn與（1）式中的αn等價那么fp（x）與（3）式中的φp（x）等價。（f， g）p如下定義：

（f， g）p可以簡寫為 （f， g）p≡ （fp， g）

讓參數(shù)p=（pm）滿足如下兩個假設(shè)條件：

H1）pm=p-m

H2）a（ω）＞0 a.e.

假設(shè)條件H2是為了滿足以后構(gòu)造小波函數(shù)的需要。對于任意的f∈V1都滿足條件 （f，f）p≥0的充分條件就是a（ω）＞0 a.e.。

命題1 假設(shè)條件H1）和H2）均滿足則有對于任意的f∈V1都滿足 （f，f）p≥0。

在假設(shè)條件H1和H2下，可以得到以下的結(jié)果。

命題2 （8）式中的 （f， g）p是在空間V1中的一個內(nèi)積計算并且‖f‖p= （f，f）p于空間V1成立。

3 小波

由命題2，空間 （V1，‖·‖p）變成一個Hi1bert空間。由（1）式可得V0?V1，V1可以被分解：

V1可以寫成V0與W0直和的形式。W0空間在V1空間中被稱為V0空間的正交補空間。在W0空間構(gòu)建一個正交基形式為 ｛ψ（· -k），k∈Z｝，則ψ（x）被稱為小波函數(shù)。W0空間也可以被寫成：

由于V0⊥W0故小波ψ（x）必須的滿足：（φ（· -k），ψ（·））p=0，k∈Z.根據(jù)內(nèi)積的定義 （· ，·）p，可得因ψ∈W0?V1，故ψ（x）被擴展為

小波ψ（x）必須滿足正交性條件即：（ψ（· -k），ψ（·））p=δ0k，k∈Z。很明顯 ｛ψ（· -k），k∈Z｝

為W0空間中的一個正交基。為了找到（12）式中的小波，就必須對系數(shù)βn如下定義。

4 探究N=2和M=1的條件下的尺度函數(shù)與小波

現(xiàn)在我們興趣就在于當N=2和M=1時（13）式的解析解。假設(shè)N=2時尺度函數(shù)具有緊支集。假設(shè)長度為M=1和M=2時的兩種可能性。卷積參數(shù)為p=（pm），為了簡便選取條件M=1。當N=2和M=1時（13）式可以寫成：

其中αn（n=0，±1，±2）均為未知系數(shù)。

由于方程（14）式中的k=1，2分別與k=-1，-2一致，故當k=-2，-1，0時，且滿足條件p1=p-1時，可根據(jù)Daubechies濾波器構(gòu)造方法可以得到以下方程：

通過表1和表2可以分別利用q1，q2，s±和y±給出最終的結(jié)果，其中

表1 放縮系數(shù)1/2＜p0＜3- 5或者2＜p0≤3+ 5

表2 放縮系數(shù)3-5≤p0≤2

表3 放縮系數(shù)p0=3-5

表4 放縮系數(shù)p0=2

?。┊?/2＜p0＜3- 5或者2＜p0≤3+ 5時，可以得到一對實數(shù)解。

ⅱ）當3- 5≤p0≤2時，可以得到兩對實數(shù)解。

ⅲ）當p0≥3+ 5時，沒有實數(shù)解。

然而針對它們所對應的尺度函數(shù)和小波函數(shù)對稱性的控制關(guān)系在圖1、圖2和圖3中表示出來。

卷積型小波是Daubechies小波理論的延伸，是在N=2和M=1條件下通過調(diào)整卷積參數(shù)p=（pm），可以得到四對對稱的并且具有線性相位的尺度函數(shù)和小波。

圖1 尺度函數(shù)φ（x）和小波ψ（x）（p0=3-，p-1=p1=/2-1）

圖2 尺度函數(shù)φ（x）和小波ψ（x）（p0=2，p-1=p1=-0.5）

圖3 尺度函數(shù)φ（x）和小波ψ（x）（p0=3+，p-1=p1=/2-1）

［1］Stephane G.Ma11at，Mu1tireso1ution approximation and wave1etorthogona1bases in L2［J］.Transactionsof American Mathematica1Society，1989，315（1）：69-87.

［2］Ingrid.Daubechies，Orthonorma1bases of compact1y supported wave1ets［J］.Communications on Pure and App1ied Mathematics，1988，41（7）：909-996.

［3］Ten Lectures on Wave1ets［M］.Phi1ade1phia，PA：SIAM，1992：126-133.

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［5］吐爾洪江·阿布都克力木.小波信號處理基礎(chǔ)［M］.北京郵電大學出版社，2014：90-115.

［6］李廣印，孫云平，賈納豫.一類控制方向未知不確定性系統(tǒng)的自適應選代學習控制［J］.云南師范大學學報（自然科學版），2015，35（4）：19-27.

W avelet Construction M ethod Based on Convolution Type Orthogonal Condition

ZHANGXiao-yan， Turghunjan ABDUKlRlM TURKl?， FENG Hui， Reyima RlXlT
（School ofMathematical Sciences，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）

This paper proposes a new method for constructing orthogona1wave1etby using the orthogona1wave-1et transform.Such wave1et function contains the Daubechies'compact1y supported wave1ets as a specia1 case.In some restrained cases，severa1 symmetric and a1most compact1y supported wave1ets are constructed ana1ytica11y by tuning free convo1ution parameters contained in the wave1et function.

Compact support；Convo1ution parameter；Linear phase；Wave1et

O174.2

A

1008-9659（2015）04-047-08

2015-09-15

國家自然科學基金資助項目（11261061，61362039，10661010）；新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金資助項目（200721104）。［作者簡介］張小燕（1991-），女，新疆石河子人，碩士研究生，主要從事小波分析及其應用方向的研究。

?｛通訊作者｝吐爾洪江·阿布都克力木（1962-），男，新疆博樂人，博士，教授，主要從事小波分析及其應用方向的研究。