指數(shù)化調(diào)整情形下確定收益型雇主養(yǎng)老金計劃的期權(quán)定價

房冬冬,王傳玉,孫惠玲

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖　241000)

指數(shù)化調(diào)整情形下確定收益型雇主養(yǎng)老金計劃的期權(quán)定價

房冬冬,王傳玉,孫惠玲

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖241000)

首先討論確定收益型養(yǎng)老金計劃(DB型)的期權(quán)構(gòu)成，對傳統(tǒng)的養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債的估值進(jìn)行完善，考慮退休后養(yǎng)老金的指數(shù)化調(diào)整率。運用推廣的期權(quán)定價公式得到DB計劃中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值，最后給出該計劃最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率。

確定收益型計劃；看漲期權(quán)；看跌期權(quán)；指數(shù)化調(diào)整率

楊建海[1]在2012年介紹西方國家養(yǎng)老金制度的起源及影響因素論文中提到，1889年的德國成為世界上第一個對老年人和喪失勞動能力的人提供養(yǎng)老金的國家。隨著養(yǎng)老金計劃的不斷發(fā)展，逐漸形成了多支柱的養(yǎng)老金計劃，其中國家公共養(yǎng)老金計劃主要用于保障退休后國民的基本生活水平，雇主養(yǎng)老金計劃，以及個人商業(yè)養(yǎng)老保險都是對公共養(yǎng)老金計劃的補(bǔ)充，用于進(jìn)一步完善和提高退休后職工的生活質(zhì)量。

雇主養(yǎng)老金計劃按照給付的確定方法分為DB型計劃和DC型計劃，DB型養(yǎng)老計劃是指雇員在退休時所獲的待遇是確定的，退休津貼數(shù)額是根據(jù)為雇主所工作的年限和雇員的工資等因素確定的(可以按照養(yǎng)老金合同中的通貨膨脹率進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笖?shù)化調(diào)整)。Sharpe[2]在1976發(fā)表的論文中認(rèn)為將養(yǎng)老金基金資產(chǎn)和負(fù)債在公司資產(chǎn)負(fù)債表中進(jìn)行整合產(chǎn)生了養(yǎng)老金買權(quán)和賣權(quán)兩個選項。由于Fischer[3]給出當(dāng)執(zhí)行價格不確定時看漲期權(quán)的定價，Exley等[4]在1997年敘述了養(yǎng)老金金融學(xué)的基本理論后，Blake[5-6]研究了養(yǎng)老金計劃中期權(quán)構(gòu)成，給出了傳統(tǒng)意義上的養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債的估值研究，并給出了相應(yīng)DB計劃中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值，溫利民[7]在此基礎(chǔ)上還研究了該計劃的最優(yōu)繳費率。

本文先引入期權(quán)理論對DB型計劃進(jìn)行簡化

分析，得出該計劃的期權(quán)構(gòu)成，考慮指數(shù)化調(diào)整率后得出新的養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債的估值，然后通過推廣的期權(quán)定價公式得到DB計劃中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值, 最后給出該計劃最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率。

1　DB型養(yǎng)老金計劃的期權(quán)構(gòu)成

DB養(yǎng)老金計劃的發(fā)起人事先承諾的養(yǎng)老金是一個確定值L，是該計劃的一項負(fù)債，而計劃的發(fā)起人要對養(yǎng)老金資產(chǎn)進(jìn)行投資，等到養(yǎng)老金合同結(jié)束T時養(yǎng)老金資產(chǎn)為A，如果A>L,養(yǎng)老金的負(fù)債將可以全額償還，雇主會執(zhí)行看漲期權(quán)，將看漲期權(quán)賣給雇員，獲得盈余A-L，此時的盈余代表養(yǎng)老金計劃的看漲期權(quán)值C，執(zhí)行價格為L，如圖1所示。

圖1　DB計劃中看漲期權(quán)值Fig.1　The value of call option in the DB plan

如果A

圖2　DB計劃中看跌期權(quán)值Fig.2　The value of call option in the DB plan

兩種期權(quán)的執(zhí)行日均為養(yǎng)老金合同到期日T，該DB養(yǎng)老金計劃可以通過養(yǎng)老金資產(chǎn)買入看跌期權(quán)，賣出看漲期權(quán)獲得，合約價格為L。 即

(1)

2　DB養(yǎng)老金計劃的期權(quán)定價

上面分析了DB養(yǎng)老金計劃的的期權(quán)構(gòu)成，本節(jié)將具體給出該計劃中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的值。我們知道該計劃中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價格為該計劃的負(fù)債L，而期權(quán)定價的方法是根據(jù)推廣的B-S期權(quán)定價公式，即把DB計劃中的期權(quán)當(dāng)做交換期權(quán)，用不確定的負(fù)債估值交換雇主用來投資的養(yǎng)老金風(fēng)險資產(chǎn)。

2.1模型假設(shè)

假設(shè)在0到T之間為該養(yǎng)老金計劃的繳費期，T時刻之后雇員開始退休，kP0表示雇員從0到k時刻的存活概率，G0表示雇員在計劃剛開始的年均工資，g為工資增長率，λ為雇員對該計劃的繳費率，τ為養(yǎng)老金供款免稅率，π為通貨膨脹率，rj為j時刻的平均收益率，這里假設(shè)和貼現(xiàn)率相等。

2.2模型建立

由于t(0

(2)

雇員退休后，假設(shè)養(yǎng)老金的替代率為α、養(yǎng)老金指數(shù)化調(diào)整率為θ，則任意時刻t的負(fù)債預(yù)期值由下式給出：

(3)

2.3模型求解

由[2]中推廣的B-S期權(quán)定價公式，執(zhí)行價格為Lt的看漲期權(quán)值為：

(4)

通過式(1)中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系推出該計劃中看跌期權(quán)值為：

(5)

事實上

而協(xié)方差Cov(At，Lt)= E{[At-E(At)][Lt-E(Lt)]} ， St=At-Lt

從盈余方差公式得知，資產(chǎn)和負(fù)債的波動性越大，養(yǎng)老金盈余的波動性越大；而資產(chǎn)和負(fù)債相關(guān)性波動越大，養(yǎng)老金盈余的波動性越小。通過盈余公式St=At-Lt我們知道，該計劃的盈余是由資產(chǎn)和負(fù)債的差構(gòu)成。首先是養(yǎng)老金的資產(chǎn)，由式(2)可知養(yǎng)老金資產(chǎn)受到工資增長率、通貨膨脹率、計劃繳費率、平均收益率的影響，其中通貨膨脹率和平均收益率尤為重要。通脹風(fēng)險會使退休雇員養(yǎng)老金購買力下降，即養(yǎng)老金實際資產(chǎn)減少；而平均收益率也存在不確定性，如果養(yǎng)老金投資方案中存在大量股票，由于股票的波動性比較大，收益率不確定，必將影響?zhàn)B老金資產(chǎn)。其次是養(yǎng)老金負(fù)債，由式(3)可知養(yǎng)老金負(fù)債主要受指數(shù)化調(diào)整影響，如果員工退休后，經(jīng)濟(jì)不斷增長，或者通貨膨脹嚴(yán)重，必然會采取指數(shù)化調(diào)整，從而增加養(yǎng)老金的負(fù)債。

3　最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率

對DB養(yǎng)老金計劃來說，雇員退休后的指數(shù)化調(diào)整尤為重要，因為退休后的養(yǎng)老金受到通貨膨脹或者經(jīng)濟(jì)增長的影響，使得退休金的實際購買力有所變化。而對于養(yǎng)老金的繳費率問題，雇員希望繳費低一些，而雇主則希望多繳些，若能事先匹配預(yù)算出最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率，對于該計劃管理者來說非常的重要。指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率的大小由諸多因素決定，比如通貨膨脹率、工資收入，以及該計劃的投資收益等等，其中一些為不確定因素。類似最小二乘法，我們可以提出以下匹配準(zhǔn)則，求出最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率。設(shè)最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率滿足的目標(biāo)函數(shù)分別為

(6)

式中ω為時間貼現(xiàn)因子，0

對于養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債最重要的問題就是使(6)式達(dá)到最小，從而盡可能達(dá)到At和Lt的均衡，為了求出此準(zhǔn)則下最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率,設(shè)

(7)

其中

(8)

(9)

令 M′(θ)=0，則

(10)

解得

(11)

再設(shè)

(12)

其中

(13)

(14)

令 M′(λ)=0，則

(15)

解得

(16)

式(11)和(16)就是我們求解出的最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率。

4　應(yīng)用舉例

本文主要考慮在通脹影響下DB養(yǎng)老金計劃所做出的指數(shù)化調(diào)整，因此我們對上述求出的最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率進(jìn)行數(shù)值模擬計算。由于英國是采用DB養(yǎng)老金計劃的典型國家，我們?nèi)∮纳頂?shù)據(jù)[8]，設(shè)雇員25歲加入該養(yǎng)老金計劃，60歲退休，繳費年限T=35,初始年工資G0=￡10 000，年工資增長率g=5.45%，養(yǎng)老金供款免稅率τ=0.35，時間貼現(xiàn)因子ω=0.95，養(yǎng)老金的替代率α=67.1%，雇主和雇員合計的繳費率λ=25%，養(yǎng)老金每年的平均投資收益率r=3%。通過Excel計算不同通貨膨脹率對應(yīng)的最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率見表1。

從表1可以看到，依通脹調(diào)整的指數(shù)化調(diào)整率隨著通貨膨脹率的增大而增大，說明通貨膨脹率越大，對養(yǎng)老金實際購買力的侵蝕程度越大，雇主做出所對應(yīng)指數(shù)化調(diào)整率越大。因為在通脹條件下養(yǎng)老金的名義資產(chǎn)要大于實際資產(chǎn)，為了達(dá)到資產(chǎn)和負(fù)債的均衡，雇主在對待養(yǎng)老金負(fù)債時需要作出相應(yīng)的調(diào)整。

表1　通貨膨脹率VS指數(shù)化調(diào)整率

5　結(jié)論

本文首先分析了DB型養(yǎng)老金計劃的期權(quán)構(gòu)成,考慮通貨膨脹率和指數(shù)化調(diào)整率得出養(yǎng)老金資產(chǎn)和負(fù)債的估值，從而給出了新的DB養(yǎng)老金計劃的期權(quán)定價，然后通過參考文獻(xiàn)[7]，在考慮指數(shù)化調(diào)整率和通貨膨脹率的條件下，得出相應(yīng)的最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率和最優(yōu)繳費率，最后模擬求解出不同通貨膨脹率下所對應(yīng)的最優(yōu)指數(shù)化調(diào)整率，得出依通脹調(diào)整的最優(yōu)DB養(yǎng)老金指數(shù)化調(diào)整率隨著通貨膨脹率的增大而增大。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊建海.西方國家養(yǎng)老金制度的起源及影響因素[J].蘭州學(xué)刊,2012,13(2):72-76.

[2]SharpeWF.Corporatepensionfundingpolicy[J].Financ.Econ, 1976,3(3):183-193.

[3]FischerS.CallOptionPricingWhentheExercisePriceisUncertain,andtheValuationofIndexBonds[J].TheJournalofFinance,1978,33(1):169-176.

[4]ExleyCJ,Mehta,SJB,SmithAD.Thefinancialtheoryofdefinedbenefitpensionschemes[J].BritishActuar.J, 1997,3(4):835-966.

[5]BlakeD.Pensionschemesasoptionsonpensionfundassets:implicationsforpensionfund.management[J].Insurance:MathematicsandEconomics. 1998,23(3):263-286.

[6] 布萊克.養(yǎng)老金金融學(xué)[M].王蒙，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2014.

[7] 溫利民,韓天雄.雇主養(yǎng)老金計劃的統(tǒng)一及定價模型[J].華東師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005,(5/6):126-131.

[8]ShkolnikovV,BarbieriM,WilmothJ.TheHuman.MortalityDatabase[DB/OL].[2015-04-08].http://www.mortality.org/.

(責(zé)任編輯：張英健)

OptionPricingofPensionPlanoftheIncomeTypeEmployerIsDeterminedundertheConditionofExponentialAdjustment

FANGDongdong,WANGChuanyu,SUNHuiling

(CollegeofMathematicalandPhysicalSciences，AnhuiPolytechnicUniversity，WuhuAnhui241000，China)

First,wediscusstheoptionofdeterminingtheincomepensionplan(DB),improvingthevaluationoftraditionalpensionassetsandliabilities,andconsideringtheindexationadjustmentrateofpensionafterretirement.ThevalueofcalloptionandputoptioninDBplanisobtainedbyusingtheextendedoptionpricingformula.Finally,theoptimalindexandtheoptimalrateoftheschemearegiven.

TypeDefinedBenefitPlans;PutOption;CallOption;IndexationAdjustmentRate

10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201503003

2015-04-30

國家自然科學(xué)基金項目(61203139);安徽工程大學(xué)金融工程研發(fā)中心開放基金立項(JRGCKF201501)；安徽工程大學(xué)2015年度研究生實踐與創(chuàng)新項目

房冬冬(1989-),男,安徽安慶人,碩士,主要研究方向為金融數(shù)學(xué)與金融工程。

F224.9

A

1671-5322(2015)03-0013-04