高等數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)法的研究與實(shí)踐
——以山東建筑大學(xué)為例

王爽，李秀珍，趙永謙，孫亞楠（.山東建筑大學(xué)理學(xué)院，山東濟(jì)南　500；.山東醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校，山東濟(jì)南　5000）

高等數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)法的研究與實(shí)踐
——以山東建筑大學(xué)為例

王爽1，李秀珍1，趙永謙1，孫亞楠2
（1.山東建筑大學(xué)理學(xué)院，山東濟(jì)南250101；2.山東醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校，山東濟(jì)南250002）

高等數(shù)學(xué)是工科院校學(xué)生的重要基礎(chǔ)理論課，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)法可以將抽象的概念直觀化，提高學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)效率。文章結(jié)合山東建筑大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)，分析了教學(xué)過(guò)程中幾何教學(xué)法存在的問(wèn)題和數(shù)形結(jié)合的重要性，提出了可以用于教學(xué)實(shí)踐的數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法，采用啟發(fā)式教學(xué)法與幾何教學(xué)法相結(jié)合的手段，通過(guò)分析圖像提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，并在山東建筑大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中取得了一定的成績(jī)。

高等數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；直觀性；抽象概念；動(dòng)態(tài)圖像

0　引言

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課，其教學(xué)效果直接影響工科類專業(yè)的本科教學(xué)質(zhì)量以及創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)，高度邏輯性的分析語(yǔ)言體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，但是抽象的數(shù)學(xué)概念也造成了學(xué)生理解上的困難，如何改進(jìn)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程一直是教學(xué)研究的重要課題。2015年教師節(jié)前夕，李克強(qiáng)總理提出希望教師做精做細(xì)教學(xué)本職激發(fā)和挖掘?qū)W生的創(chuàng)新能力。在教學(xué)手段日益豐富的今天，教師應(yīng)該思考適應(yīng)時(shí)代要求、適于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

隨著多媒體課件以及數(shù)學(xué)軟件的興起，幾何教學(xué)法近年來(lái)越來(lái)越受到重視［1］。幾何圖像可以將抽象的高等數(shù)學(xué)概念具體化，使學(xué)生通過(guò)形象思維直觀地理解概念，但是單純應(yīng)用幾何圖像教學(xué)往往具有具體性的特征，無(wú)法展示數(shù)學(xué)的邏輯性。已有文獻(xiàn)多是對(duì)幾何圖像進(jìn)行舉例展示，較少涉及對(duì)幾何圖像的引入分析［2-3］。如果教師在幾何教學(xué)的過(guò)程中通過(guò)提問(wèn)、對(duì)比等方式啟發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生能夠用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何問(wèn)題，或者用幾何圖像分析代數(shù)問(wèn)題，那么對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和解決問(wèn)題的能力都有重要意義。

文章結(jié)合山東建筑大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，分析了教學(xué)過(guò)程中幾何教學(xué)法存在的問(wèn)題和數(shù)形結(jié)合的重要性，將啟發(fā)式教學(xué)法［4］與幾何教學(xué)法相結(jié)合，通過(guò)分類舉例詳細(xì)說(shuō)明數(shù)形結(jié)合教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，在對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行幾何展示的同時(shí)，分析幾何圖像并提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去觀察、解決問(wèn)題。

1　高等數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何教學(xué)法存在的問(wèn)題

1.1教學(xué)學(xué)時(shí)不足和資源有限

高等數(shù)學(xué)是工科類專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)技能的必備課程，例如大學(xué)物理、力學(xué)、電學(xué)等課程都用到了高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，機(jī)械設(shè)計(jì)課程與定積分的幾何應(yīng)用密切相關(guān)。但是高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)學(xué)時(shí)不足，教師只能將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行壓縮，刪減復(fù)雜的定理證明，忽視引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題來(lái)源和幾何直觀化方面理解概念定理，缺少必要的幾何應(yīng)用訓(xùn)練教學(xué)［5］。普通工科院校的另一現(xiàn)狀是教學(xué)資源有限，以山東建筑大學(xué)為例，高等數(shù)學(xué)采用大班授課，學(xué)生過(guò)多導(dǎo)致教師無(wú)法兼顧每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)進(jìn)度，不能采用以學(xué)生討論為主的教學(xué)方法，學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)，缺乏獨(dú)立思考和創(chuàng)新思維的能力。

1.2教學(xué)方法單一

學(xué)生對(duì)課程的關(guān)注度主要由學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性決定，幾何教學(xué)法可以將數(shù)學(xué)的美和神奇展現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生在生動(dòng)活躍的學(xué)習(xí)環(huán)境中培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。但是教師過(guò)分強(qiáng)調(diào)幾何圖像的展示，缺少對(duì)數(shù)學(xué)思想的闡述，或者以幾何圖像代替對(duì)定理概念的理論證明，使得學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)僅能停留在感性階段，難以上升到理性階段［8］。建筑工程中存在著大量的幾何問(wèn)題，而高等數(shù)學(xué)的定理概念都是用代數(shù)語(yǔ)言去描述的，如果學(xué)生不知道代數(shù)理論與幾何現(xiàn)象之間的聯(lián)系，那么面對(duì)工程問(wèn)題時(shí)就難以應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

1.3教學(xué)應(yīng)用存在誤區(qū)

借助于現(xiàn)代教具，教師可以通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的作圖能力構(gòu)造生動(dòng)準(zhǔn)確的幾何圖像，解決板書(shū)教學(xué)時(shí)難以處理的作圖問(wèn)題［6-7］。但是教師在做幾何展示的過(guò)程中容易產(chǎn)生以偏概全的假象，學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為通過(guò)構(gòu)造特殊函數(shù)的幾何圖像可以代替應(yīng)用嚴(yán)格的分析語(yǔ)言證明定理。事實(shí)上采用幾何圖像演示教學(xué)內(nèi)容在本質(zhì)上說(shuō)是通過(guò)舉例的方法進(jìn)行授課列舉法不能涵蓋所有的情況，因此在教學(xué)時(shí)需要慎重選擇幾何示例，并說(shuō)明舉例的特殊性，必要時(shí)可以選取多個(gè)幾何示例作對(duì)照。

2　高等數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)法的重要性

分析高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容和方法會(huì)發(fā)現(xiàn)，研究幾何問(wèn)題是微積分的重要起源，也滲透于高等數(shù)學(xué)的每一個(gè)章節(jié)［9］。有些直觀的幾何現(xiàn)象用抽象的數(shù)學(xué)分析語(yǔ)言描述出來(lái)就是高等數(shù)學(xué)中的概念定理。應(yīng)用幾何圖像可以直觀地理解抽象概念［10］、尋找證明思路、化簡(jiǎn)積分的計(jì)算［11-12］，化難為易。

數(shù)形結(jié)合的過(guò)程既是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象概念與形象表現(xiàn)之間轉(zhuǎn)化的過(guò)程，也是學(xué)生的形象思維與抽象思維共同運(yùn)用互相促進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生通過(guò)形象思維理解數(shù)學(xué)概念可以提高學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)效率。因此可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法啟迪學(xué)生思考、激發(fā)學(xué)生興趣。

我國(guó)古代從宋元時(shí)期就形成了數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)用代數(shù)語(yǔ)言描述一些幾何現(xiàn)象，將幾何關(guān)系的研究歸結(jié)為函數(shù)表達(dá)式之間的代數(shù)關(guān)系，成為解析幾何的先驅(qū)。因此教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力有很重要的實(shí)際意義。

3　高等數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)改革方法

針對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何教學(xué)法存在的問(wèn)題考慮到工科院校教學(xué)學(xué)時(shí)不足、教學(xué)資源有限的現(xiàn)狀一時(shí)難以改變，提出如下改革方法:

3.1重視對(duì)數(shù)學(xué)思維的闡述

圖1　曲線凹凸性示意圖

由圖像得到了凹凸性的定義，進(jìn)一步地通過(guò)圖像總結(jié)出判定定理。為得到凹凸性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以過(guò)曲線上自變量依次遞增的三個(gè)點(diǎn)做切線，讓學(xué)生觀察這三點(diǎn)處曲線的切線傾斜程度。學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)圖1（c）中凹弧的切線傾角隨著自變量的增大而增大，即一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增，如果函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)存在，那么二階導(dǎo)數(shù)大于0。而圖1（d）中凸弧恰好相反，切線傾角隨著自變量的增大而減小，即一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞減，二階導(dǎo)數(shù)小于0。得到了凹凸性的判定定理后，再結(jié)合圖像加以證明。最后，為避免學(xué)生混淆凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可以通過(guò)圖1（c）和圖1（d）中右上角的符號(hào)幫助學(xué)生加深記憶，凹弧二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)為正，凸弧二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)為負(fù)。

再比如，在學(xué)習(xí)一元函數(shù)與極限中無(wú)窮大的概念時(shí)，學(xué)生經(jīng)常將無(wú)窮大與無(wú)界函數(shù)的概念相混淆無(wú)窮大的定義為［13］:如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），只要0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞X）時(shí)，函數(shù)f（x）的絕對(duì)值都大于M，那么稱f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無(wú)窮大。而無(wú)界函數(shù)的定義為［13］:如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M，總存在f（x）的定義域內(nèi)的一點(diǎn)x0，使得函數(shù)f（x）的絕對(duì)值大于M，那么稱f（x）在定義域內(nèi)是無(wú)界函數(shù)。從數(shù)學(xué)分析語(yǔ)言上學(xué)生難以理解和區(qū)分這兩個(gè)概念，此時(shí)可以借助幾何圖像舉例說(shuō)明。例如:函數(shù)y=e是當(dāng)x→+∞時(shí)的無(wú)窮大，其圖像如圖2（a）所示當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)值逐漸增大，函數(shù)曲線向y軸的正無(wú)窮方向延伸，通過(guò)在y軸上任意選取y=M，總可以對(duì)應(yīng)地找到x0=X，使得|x|＞X時(shí)，|ex|＞M。

圖2　無(wú)窮大與無(wú)界函數(shù)對(duì)比圖示意圖

與之相對(duì)應(yīng)地，無(wú)界函數(shù)y=xcosx不是當(dāng)x→+∞ 時(shí)的無(wú)窮大［14］，其圖像如圖2（b）所示，當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)值的振蕩幅度雖然逐漸增大，并趨向于y軸的正負(fù)無(wú)窮方向，但是函數(shù)值始終會(huì)回落到y(tǒng)=0附近，此時(shí)任意選取y=M，當(dāng)x→+∞時(shí)，不僅存在使|f（x）|＞M的點(diǎn)，也存在使|f（x）|≤M的點(diǎn)x1，即當(dāng)x→+∞時(shí)函數(shù)f（x）的絕對(duì)值并不一致趨于+∞。

以上的教學(xué)實(shí)例都是結(jié)合抽象概念的幾何圖形，通過(guò)對(duì)比圖形加深學(xué)生對(duì)概念的理解。教師不僅借助幾何意義解釋概念定理，更注重引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)中的幾何現(xiàn)象，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實(shí)世界的工具，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要性。

圖3　四分之一的單位圓示意圖

3.2應(yīng)用幾何圖像啟發(fā)學(xué)生思考

又如中值定理是用分析語(yǔ)言描述連續(xù)曲線在閉區(qū)間上的幾何現(xiàn)象，因?yàn)榍€方程由抽象函數(shù)表示，所以證明定理存在困難。在講解拉格朗日中值定理時(shí)，教師先對(duì)比了圖4中的（a）和（b）:觀察圖4（a）滿足羅爾定理的情況可以發(fā)現(xiàn)，如果一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，且過(guò)兩個(gè)端點(diǎn)的弦AB平行于x軸，那么必在AB間存在最高點(diǎn)C，過(guò)C點(diǎn)的切線平行于x軸，也即平行于弦AB，切線斜率為0。將圖4（a）中的弦AB以A為中心旋轉(zhuǎn)任意角度就得到圖4（b），曲線端點(diǎn)A、B不再有高度相等的限制，但過(guò)點(diǎn)C的切線平行于弦AB的性質(zhì)仍然成立，因此過(guò)點(diǎn)C的切線斜率等于弦AB的斜率。

圖4　中值定理的幾何意義示意圖

以上的教學(xué)實(shí)例說(shuō)明，結(jié)合幾何圖形可以改變以往對(duì)證明過(guò)程繁瑣沉悶的講解方法，開(kāi)拓學(xué)生的思路，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維，活躍課堂氛圍，但是不能避繁就簡(jiǎn)，代替定理在理論上的證明過(guò)程。

3.3合理選取幾何示例充實(shí)教學(xué)內(nèi)容

除了一些從幾何空間中抽象出的數(shù)學(xué)概念外，還有一些表面上并不具有幾何直觀意義的數(shù)學(xué)概念可以通過(guò)幾何圖像加深理解。例如，在學(xué)習(xí)無(wú)窮級(jí)數(shù)這一概念時(shí)，學(xué)生難以理解為什么需要將函數(shù)表達(dá)成無(wú)窮級(jí)數(shù)，因此難以對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的相關(guān)理論產(chǎn)生興趣。采用幾何圖像演示的方法可以使學(xué)生看到簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像是如何逐漸接近于復(fù)雜函數(shù)圖像的，繼而了解用簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)復(fù)雜函數(shù)是刻畫(huà)復(fù)雜函數(shù)的有效方法。

圖5　冪級(jí)數(shù)部分和逼近ex的示意圖

圖6　傅里葉級(jí)數(shù)部分和形成的波形圖

4　應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)法取得的成效

我校高等數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)在深入挖掘教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都找到相應(yīng)的幾何意義，并對(duì)教學(xué)時(shí)所展示的幾何圖像補(bǔ)充相應(yīng)的問(wèn)題和說(shuō)明分析，使得教學(xué)內(nèi)容不僅呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美，更加體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的邏輯思維。在工學(xué)及物理類專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合方法后，在課時(shí)量不變的情況下，增加了師生間的互動(dòng)，例如講解微分中值定理時(shí)，以往的教學(xué)過(guò)程主要以教師講解為主，現(xiàn)在教師結(jié)合圖像可以提出兩到三個(gè)啟發(fā)性的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)發(fā)現(xiàn)總結(jié)等主體思維過(guò)程主導(dǎo)定理的推導(dǎo)過(guò)程成為課堂的主人，最終學(xué)生對(duì)三個(gè)中值定理之間的關(guān)系更加明確。

借助山東建筑大學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量學(xué)生評(píng)分體系，對(duì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法前后各兩個(gè)學(xué)年的得分情況進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)以下五個(gè)指標(biāo)的測(cè)評(píng)滿意度明顯增高:“教師能有效利用實(shí)例授課”、“注重思維能力培養(yǎng)及啟發(fā)式教學(xué)”，“備課充分，多媒體課件制作精良效果好”“授課內(nèi)容易于接受和掌握，學(xué)生的知識(shí)和能力得以提高”“課堂教學(xué)氣氛活躍，教學(xué)效果得以保證”。通過(guò)對(duì)材料學(xué)院成型焊接兩個(gè)專業(yè)學(xué)生的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的出勤率增加了，課后提問(wèn)的學(xué)生人數(shù)也增加了，說(shuō)明學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性得以提高。

需要說(shuō)明的是，在講解時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合常常會(huì)給學(xué)生一種以偏概全的假象，學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為通過(guò)構(gòu)造特殊函數(shù)的幾何圖像可以代替應(yīng)用嚴(yán)格的分析語(yǔ)言證明定理。事實(shí)上采用幾何圖像演示教學(xué)內(nèi)容在本質(zhì)上說(shuō)是通過(guò)舉例的方法進(jìn)行授課，列舉法不能涵蓋所有的情況，因此在教學(xué)時(shí)需要慎重選擇幾何示例，并說(shuō)明舉例的特殊性，必要時(shí)可以選取多個(gè)幾何示例作對(duì)照。

5　結(jié)語(yǔ)

文章分析了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題，提出了以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新能力為最終目的的數(shù)形結(jié)合教學(xué)法，并針對(duì)教學(xué)過(guò)程中所發(fā)現(xiàn)的學(xué)生難以理解的知識(shí)點(diǎn)為例，給出了可以用于實(shí)踐的數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法。文章所舉實(shí)例從多個(gè)方面說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合不僅可以生動(dòng)地展現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容還可以將抽象概念直觀化、開(kāi)拓學(xué)生思路、拓展學(xué)生想象力，在活躍課堂氛圍、增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

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［10］趙小艷，李換琴.借助幾何圖形理解高等數(shù)學(xué)中的抽象概念和結(jié)論［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30（1）:84-87.

［11］李長(zhǎng)青.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視幾何直觀的作用［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2007，10（2）:25-27.

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［14］李秀珍，隋梅真.高等數(shù)學(xué)全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.北京:北京郵電大學(xué)出版社，2011.

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（學(xué)科責(zé)編：王光銀）

Application of geometric interpretation in the advanced mathematics teaching

Wang Shuang，Li Xiuzhen，Zhao Yongqian，et al.
（School of Science，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

Advanced mathematics is an important foundation of the whole university learning for engineering college students.The geometric interpretation method can be beneficial to illustrate the abstract concepts and stimulate the students'interest.According to the actual experience of higher mathematics teaching in Shandong Jianzhu University，this paper analyzes the problems of geometry teaching method and the importance of combining abstract mathematical conclusions with geometry. Then，the geometric interpretation method is proposed which combines heuristic teaching method and geometry teaching method.Through asking appropriate questions and the analysis of images，teachers guide the students'learning process and have made some achievements in higher mathematics teaching of Shandong Jianzhu University.

advanced mathematics；geometric representations；visibility；abstract concepts；dynamic image

O13-4；G642

A

1673-7644（2015）06-0600-07

2015-07-06

山東省高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2009262）；山東省高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2012298）；山東建筑大學(xué)博士科研基金（XNBS1338）

王爽（1984-），女，講師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)和科學(xué)計(jì)算等研究.E-mail:persever1019@163.com