用疊加正弦信號標定地震計的方法

林湛 崔仁勝

1）中國地震局地震預測研究所，北京市復興路63號 100036

2）中國地震局地球物理研究所，北京市民族大學南路5號 100081

0 引言

很多地震學研究在數(shù)據(jù)處理時都要用到地震計的傳遞函數(shù)（洪學海等，2003；馬宏生等，2007；周連慶等，2008；裴順平等，2010）。地震計的實測傳遞函數(shù)是用參數(shù)待定的模型擬合實測幅頻響應而得到的（Levy，1959；Sanathanan et al，1963；王廣福，1984）。因此，在計算傳遞函數(shù)前進行幅頻響應測試是必不可少的；并且，地震計用戶可通過幅頻響應來判斷地震計運行狀態(tài)是否正常。故幅頻響應測試對地震臺網(wǎng)的運維工作非常重要。

電測法是進行幅頻響應測試的常用方法。測試時，某種形式的激勵電流被輸入到地震計的標定線圈內，地震計的輸出端會產生響應電壓，我們可通過分析輸出電壓和輸入電流之間的關系得到幅頻響應（Bormann，2002）。

目前，國內的地震計使用者通常采用正弦標定方法測試幅頻響應（Murphy et al，1954；Willmore，1959；林湛等，2008；邵玉平等，2008；劉明輝等，2014）。測試時，頻率不同的正弦激勵信號被依次輸入。由于不同頻率的激勵信號之間須留有間隔，而且每個頻率的響應信號頭部都會有瞬態(tài)響應；所以，在整個響應信號中，只有一部分能被用來分析，數(shù)據(jù)可用率較低。另外，數(shù)據(jù)處理時需找到每個頻率的正弦響應，并在其中找到穩(wěn)態(tài)響應；所以正弦標定不易實現(xiàn)自動處理。

本文介紹了用疊加正弦信號標定地震計的方法（簡稱疊加正弦標定）。測試時，我們將不同頻率的正弦信號疊加在一起作為激勵信號，因而響應信號是連續(xù)的，且瞬態(tài)響應僅出現(xiàn)在整個響應信號的開始部分。因此，幾乎整個響應信號都能被用來分析，數(shù)據(jù)可用率較高。數(shù)據(jù)處理時，只需避開整個響應信號開始部分的瞬態(tài)響應，因此疊加正弦標定容易實現(xiàn)自動處理。通過地震計幅頻響應測試實驗發(fā)現(xiàn)，該方法測試的相對誤差小于1%。

本文首先介紹了電測法標定的一般原理以及正弦標定響應中的瞬態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)響應，從而引出了正弦標定應用中存在的問題；然后介紹了疊加正弦標定的原理、實驗步驟和數(shù)據(jù)處理方法；最后介紹了一個具體的疊加正弦標定實驗并將疊加正弦標定與正弦標定進行了對比。

1 電測法標定

首先簡單介紹一下電測法標定。圖1為電測法標定的原理圖。測試時，激勵電流i（t）被輸入到地震計的標定線圈中，地震計會輸出響應電壓u（t）。通過分析響應電壓和激勵電流之間的關系，我們可以得到地震計的幅頻響應等特性。為了將響應電壓記錄下來，我們將其輸入到數(shù)據(jù)采集器（簡稱數(shù)采）中。數(shù)據(jù)采集器會對響應電壓進行采樣和量化，輸出記錄數(shù)據(jù)d（n）。

圖1 電測法標定示意圖

2 正弦標定響應中的瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應

正弦標定是激勵電流為正弦電流的電測法標定。我們假設激勵電流的表達式如下

式中，i（t）為激勵電流；t為時間；Ia0和ω0分別為正弦電流的幅度、角頻率。激勵電流在t=0時接入，頻率f0與角頻率ω0的關系為

對式（1）等號兩邊進行拉普拉斯變換得到

式中，s為拉普拉斯算子。根據(jù)地震計的設計原理，得到（林湛等，2015）

式中，H（s）為地震計的傳遞函數(shù)（傳遞函數(shù)指的是將振動速度作為輸入且將電壓作為輸出時的傳遞函數(shù)）；I（s）、U（s）分別為電測法標定時激勵電流i（t）、響應電壓u（t）的拉普拉斯變換；G為地震計的標定常數(shù)，其單位是m·s-2/A。將式（3）代入式（4）并整理后得

下面，計算U（s）的拉普拉斯逆變換u（t）。首先，將U（s）分解為（鄭君里等，2000）

式中，j為虛數(shù)單位；p1，p2，…，pn為H（s）的極點為部分分式分解各項的系數(shù)。系數(shù)和K0的求解過程如下：

最后，求解式（6）所有項的逆變換，結果為

對于穩(wěn)定系統(tǒng)，p1，p2，…，pn的實部必小于零。式（11）中的各指數(shù)項，當t趨于無窮時都趨于零，是瞬態(tài)響應。式（11）中的第1項（即us（t）項）是穩(wěn)態(tài)響應。令穩(wěn)態(tài)響應的幅度為Ua0，則式（10）可重寫為

通過對比式（10）、（12），可以看到幅頻響應H0可由

計算，式（13）即正弦標定數(shù)據(jù)處理的公式。數(shù)據(jù)處理時，Ua0可通過數(shù)據(jù)處理得到，Ia0、ω0為已知，G可從地震計參數(shù)表上查到。圖2為1次正弦標定測試中記錄的響應電壓。在這次測試中，正弦激勵電流的頻率為0.05、0.10、1.00Hz，被測地震計的周期為120s。從圖2可見，每個頻率的正弦響應電壓在開始時都有跳躍現(xiàn)象，這種跳躍現(xiàn)象是瞬態(tài)響應的表現(xiàn)。在經過大約120s后，瞬態(tài)響應基本消失，穩(wěn)態(tài)響應依然存在，在進行數(shù)據(jù)處理時應測量穩(wěn)態(tài)響應電壓的幅度。

圖2 一次正弦標定測試中記錄的響應電壓

3 正弦標定應用中存在的問題

3.1 數(shù)據(jù)的可用率低

每個頻率的正弦響應開始時都包含明顯的瞬態(tài)響應分量。而地震計的周期越長，瞬態(tài)響應持續(xù)的時間也越長（此處，瞬態(tài)響應持續(xù)的時間指響應中包含明顯瞬態(tài)響應分量的時間）；測試的頻點越多，瞬態(tài)響應出現(xiàn)的次數(shù)也越多。在數(shù)據(jù)的時間長度一定的情況下，瞬態(tài)響應所占的時間長度越長，穩(wěn)態(tài)響應所占的時間長度就越短。也就是說，可用于數(shù)據(jù)處理的數(shù)據(jù)越短，數(shù)據(jù)的可用率越低。而且，不同頻率的響應信號之間的間隔也會擠占可用數(shù)據(jù)的時間，使數(shù)據(jù)的可用率降低。

3.2 不易實現(xiàn)自動處理

數(shù)據(jù)處理時需要找到每個頻率的正弦響應，并在其中找到穩(wěn)態(tài)響應。一般情況下，這項工作需要人工完成。有時，可根據(jù)預設的每個頻率激勵電流的持續(xù)時間及不同頻率激勵電流的間隔時間來實現(xiàn)自動查找。但是，有些數(shù)據(jù)采集器在發(fā)送激勵電流時不能保證間隔時間為固定值。

4 疊加正弦標定的原理

為解決正弦標定應用中存在的問題，我們引入了疊加正弦標定。在進行疊加正弦標定時，激勵電流是Q個正弦電流的疊加，其表達式為

式中，i（t）為激勵電流；t為時間；Iaq、ωq分別為第q個正弦電流的幅度和角頻率。激勵電流在t=0時接入。由于地震計為線性系統(tǒng)，所以在疊加正弦電流激勵下產生的響應是在單個正弦電流激勵下產生的響應的疊加。因此，在進行疊加正弦標定時，瞬態(tài)響應只在全響應的開始部分出現(xiàn)一次，而穩(wěn)態(tài)響應的表達式為

式中，us（t）為模擬信號，它經數(shù)采采樣后，形成數(shù)字信號（或序列）ds（n），ds（n）的表達式為

Ts為采樣周期；n取大于或等于0的整數(shù)；式（15）、（16）中Daq與Uaq的關系為

式中，Kdig為數(shù)采的轉換因子，單位是V/count。

在進行數(shù)據(jù)處理時，被處理的數(shù)據(jù)只能是有限長度的序列。此處，我們假設被處理的數(shù)據(jù)是ds（n）的前N個數(shù)，記為x（n）。為了方便表述，本文中我們稱x（n）為疊加正弦標定波形數(shù)據(jù)，x（n）的表達式為

數(shù)據(jù)處理的步驟如下：①利用離散傅里葉變換（DFT）對x（n）進行處理，得到每個頻點的Daq；②以式（17）計算每個頻點的Uaq；③以式（13）計算每個頻點的幅頻響應Hq。步驟②、③比較簡單，步驟①比較復雜。下面，我們詳細研究步驟①。為了計算疊加正弦標定波形數(shù)據(jù)x（n）的離散傅里葉變換，首先計算x（n）的一個分量的離散傅里葉變換，然后利用離散傅里葉變換的疊加性（線性），得到x（n）的離散傅里葉變換。

4.1 疊加正弦標定波形數(shù)據(jù)的一個分量的離散傅里葉變換

疊加正弦標定波形數(shù)據(jù)x（n）的一個分量x0（n）的表達式為

若采用本文介紹的數(shù)據(jù)處理方法，x0（n）須滿足2個要求：①x0（n）的擴展序列為周期序列；②x0（n）的長度為其擴展序列的周期的整數(shù)倍。

假設x0（n）的長度的周期M0的L0倍，則

根據(jù)離散傅里葉變換的定義，x0（n）的離散傅里葉變換X0（k）的表達式為

利用歐拉公式，式（23）可寫成

對式（24）進行整理可得

令式（25）等號右邊第 1項為Y0（k），第 2項為Z0（k）。 則式（25）可寫成

下面，首先計算Y0（k），然后計算Z0（k），最后將兩者結果相加得到X0（k）。Y0（k）可整理為

下面根據(jù)k的取值不同，分2種情況計算Y0（k）。

情況1：

情況2：k取其它值

由等比數(shù)列求和公式可得

由式（21）可得

將式（31）代入式（30）得

將式（22）代入式（32）并整理得

由于r0、L0、k都是整數(shù)，所以

綜合情況1和情況2可得

從目前情況看，公司主要依靠技術熟練、忠誠可靠的員工建立和維持這樣良好的聲譽。當行業(yè)內許多小公司選擇技術導向的競爭戰(zhàn)略時，公司選擇了不同的方法。公司現(xiàn)在的管理政策側重于勞動密集戰(zhàn)略，主要依靠擁有的勞動力，而不是最新的技術。公司過去5年的銷售和利潤，見表1所示。行業(yè)內銷售收入和利潤的環(huán)比增長率分別為15%和10%。很顯然，公司的銷售收入和利潤的環(huán)比增長率低于行業(yè)水平，這始終困擾著管理層。

用同樣的方法可計算Z0（k），即

由于X0（k）=Y0（k）＋Z0（k），所以

由于x0（n）是實序列，X0（k）具有對稱性。所以，在計算與k對應的模擬角頻率ω時，我們只考慮的情況（也就是說的情況不在考慮范圍之內）。下式為計算與k對應的模擬角頻率ω的公式，即

通過以上論述，可得到如下結論：當x0（n）的擴展序列為周期序列并且x0（n）的長度是其擴展序列的周期的整數(shù)倍時，在區(qū)間內，X0（k）只在模擬角頻率ω0對應的k處取值為在其它處取值為0。

4.2 疊加正弦標定波形數(shù)據(jù)的離散傅里葉變換

現(xiàn)將疊加正弦標定波形數(shù)據(jù)x（n）重寫為

通過選擇激勵電流信號中不同正弦分量的角頻率（利用式（21）），我們可使x（n）各個分量的擴展序列為周期序列且使

成立，式中，M0，M1，…，Mq-1，Mq為x（n）各個分量的擴展序列的周期，并且M0≤M1≤ … ≤Mq-1≤Mq。C0，C1，…，Cq-1為正整數(shù)。通過選擇數(shù)采記錄數(shù)據(jù)中用于處理的數(shù)據(jù)的長度，我們可使x（n）的長度N為Mq的整數(shù)倍，即

也就是說，N為M0，M1，…，Mq-1，Mq的整數(shù)倍。這樣，x（n）的各個分量都滿足 4.1節(jié)中對數(shù)據(jù)的2個要求。x（n）

的離散傅里葉變換為

由離散傅里葉變換的疊加性可得由式（44）和4.1節(jié)中的結論，可得如下結論：當x（n）各個分量的擴展序列為周期序列且式（40）、（41）中的關系成立時區(qū)間內，X（k）在模擬角頻率ω0，ω1，…，ωq對應的k處 取 值在其它處取值為 0。 在得到我們可由

計算Daq。

5 疊加正弦標定的實驗步驟和數(shù)據(jù)處理方法

5.1 實驗步驟

（1）設計激勵電流信號。利用式（21）選擇激勵電流信號中不同正弦分量的角頻率，使式（40）中的關系成立。

（2）產生激勵電流信號。設置任意波形信號發(fā)生器，使其產生步驟（1）中設計的激勵電流信號，并將激勵電流信號加在地震計的標定線圈上。

（3）用數(shù)據(jù)采集器記錄地震計的響應電壓信號。用于處理的數(shù)據(jù)應避開最開始的瞬態(tài)響應，數(shù)據(jù)長度應符合式（41）。

5.2 數(shù)據(jù)處理方法

（1）用式（43）、（45）對數(shù)據(jù)進行處理并計算，得到每個頻點的Daq。（如果數(shù)采記錄數(shù)據(jù)較長，可設置一個滑動窗口。窗口長度應符合式（41）。窗口每滑動一步，就用式（43）、（45）對窗口中的數(shù)據(jù)進行處理并計算，得到Daq的一個中間結果。Daq的最終結果是多個中間結果的中位數(shù)。）

（2）用式（17）計算每個頻點的Uaq。

（3）用式（13）計算每個頻點的幅頻響應Hq。

6 疊加正弦標定與正弦標定的對比

首先，我們采用疊加正弦標定和正弦標定2種測試方法對同一臺地震計進行測試，對結果進行對比。然后，對這2種方法的數(shù)據(jù)可用率的高低和實現(xiàn)數(shù)據(jù)自動處理的難易程度進行對比。

該測試實驗分為低頻和高頻2個子實驗。通過2個子實驗，可分別測試地震計低頻段和高頻段的幅頻響應。在進行疊加正弦標定時，選用的參數(shù)見表1。被測地震計為 Posthole120型淺井寬頻帶地震計。Posthole120型地震計的頻帶寬度為0.008333～100Hz，靈敏度為 2000V/（m/s）。

首先，我們對同一臺地震計進行多次疊加正弦標定，以檢驗該方法測試結果的一致性。圖3、4分別為低頻段、高頻段10次標定的結果。（由圖3、4可見，10條線幾乎重合。這說明該方法的測試結果具有很強的一致性。

表1 進行疊加正弦標定時選用的參數(shù)

圖3 低頻段10次疊加正弦標定的結果

圖4 高頻段10次疊加正弦標定的結果

我們再對同一臺地震計進行正弦標定，然后將其結果與前面的多次疊加正弦標定的結果進行對比，以檢驗這2種方法測試結果的一致性。在圖3、4的結果中分別添加正弦標定的結果得到圖5、6。圖5、6中，實線為疊加正弦標定的測試結果，圓點為正弦標定的測試結果。由圖可見，圓點幾乎都落在實線上。

圖5 低頻段疊加正弦標定結果與正弦標定結果的對比

圖6 高頻段疊加正弦標定結果與正弦標定結果的對比

在統(tǒng)計學中，我們通常用相對誤差來衡量測試結果的準確度。相對誤差的定義如下

正弦信號的能量只集中在某一頻點，在對某一頻點的測試中可達到很高的信噪比。因此，可將多次（例如10次）正弦標定結果的平均值作為地震計幅頻響應的真值。此處，我們將疊加正弦標定測試結果作為測量值。通過計算，各次疊加正弦標定結果的相對誤差均小于1%。

我們可以把疊加正弦標定的低頻段、高頻段測試結果拼接起來，得到全頻帶上的幅頻響應，結果如圖7所示。由圖可見，被測地震計通頻帶內的幅度響應是比較平坦的，低頻和高頻截止頻率分別為0.008333、100Hz。

通過對正弦標定和疊加正弦標定2種方法數(shù)據(jù)可用率的高低及實現(xiàn)數(shù)據(jù)自動處理的難易程度進行對比后發(fā)現(xiàn)：

（1）正弦標定時，不同頻率的響應信號之間有間隔，而且每個頻率的響應信號的開始部分都會有瞬態(tài)響應，數(shù)據(jù)可用率較低；疊加正弦標定時，響應信號是連續(xù)的，而且瞬態(tài)響應只在整個響應信號的開始部分出現(xiàn)一次，數(shù)據(jù)可用率較高。

（2）對正弦標定的數(shù)據(jù)進行處理時，需找到每個頻率的響應，并在其中找到穩(wěn)態(tài)響應，正弦標定不易實現(xiàn)數(shù)據(jù)自動處理；對疊加正弦標定的數(shù)據(jù)進行處理時，只需避開整個響應信號開始部分的瞬態(tài)響應，疊加正弦標定容易實現(xiàn)數(shù)據(jù)自動處理。

圖7 疊加正弦標定低頻段和高頻段測試結果的拼接

7 結語

本文介紹了利用疊加正弦信號標定地震計的方法。與正弦標定相比，疊加正弦標定的數(shù)據(jù)可用率更高，而且更易實現(xiàn)數(shù)據(jù)自動處理。通過對地震計幅頻響應的測試實驗發(fā)現(xiàn)，采用疊加正弦信號測試時，相對誤差小于1%。該方法的應用有助于提高地震臺網(wǎng)儀器檢測工作的自動化程度，使臺網(wǎng)維護工作更加高效。