勾股定理中的分類討論

潘美麗

在用勾股定理解決問題時，有些問題會出現(xiàn)多種情況，若分析不到位就會漏解或錯解.這就需要我們利用分類思想對各種情況加以討論，并逐類求解，然后綜合得解.本文以一個中考題為例，對運(yùn)用勾股定理解題時需要用到的分類思想加以探討，供同學(xué)們參考.

【例題】（2010·黑龍江雙鴨山）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2. 以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為_______.

【分析】首先要結(jié)合題意，畫出相應(yīng)的圖形.因?yàn)橐訟C為一邊在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則AC可以是直角邊，也可以是斜邊，其中以AC為直角邊又分兩類，分別以A、C為直角頂點(diǎn)，所以有三種情況.

【解答】情況一：如圖1，以A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角△DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，

∴BD=BA+AD=2+2=4.

情況二：如圖2，以C為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角△ACD，

∵△ACD是等腰三角形，

∴得AC=CD=2，

∠ACD=90°，

又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴AB∥CD且AB=CD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∴AC和BD互相平分，且相交于O，

情況三：如圖3，以AC為斜邊，D為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角△ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

∴設(shè)AD=DC=x，

根據(jù)勾股定理，

建立方程x2+x2=22，

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠BCD=90°，

又∵在Rt△ABC中，

【涉及知識點(diǎn)】等腰三角形，勾股定理.

【點(diǎn)評】本題中，符合條件的圖形不唯一，所以結(jié)論存在多種情況.在應(yīng)用一條已知線段構(gòu)造等腰直角三角形時，這條已知線段可以是直角邊，也可以是斜邊.根據(jù)具體圖形，結(jié)合勾股定理計算線段的長即可.本題主要考查勾股定理、等腰三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用，同時對分類討論思想有較高要求.

同學(xué)們不妨嘗試完成下列變式：

【變式】Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2.以BC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形BCD，則線段BD的長為_______.

【分析】本例同上例類似，都是有著與勾股定理有關(guān)的無圖多解的特點(diǎn).如果不注意分類討論，就會漏解或錯解.所以有必要利用分類討論思想逐類求解.

參考答案：2或4或2.

同學(xué)們不妨再想一想，如何求AD的長？

【小練習(xí)】

1. 已知△ABC是等腰三角形，其中一邊長是10，另一邊長是8，則底邊上的高為（ ? ? ?）.

D. 以上都不是

2. 某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造.測得兩直角邊長為6 m、8 m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8 m為直角邊的直角三角形.求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長.

【參考答案】

1. AB=AC=10，BC=8 ? AB=AC=8，BC=10

按照腰和底的長進(jìn)行分類討論如圖1、圖2，再利用勾股定理計算得答案為C.

2. 利用等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行分類討論，如圖①②③，可利用勾股定理和方程思想求得答案分別為：32或20+4

【題型分析】此類題考查了運(yùn)用勾股定理計算中的分類思想.要熟悉等腰三角形的分類，要全面分析在原來直角三角形的基礎(chǔ)上可能構(gòu)成等腰三角形的各種情況，防止以偏概全.題目如有圖形則將變得很簡單，按圖形解答即可.但若沒有圖形，則需要討論幾種可能的情況，這正是“無圖題前細(xì)思考，分類討論保周到”.

總之，勾股定理作為解題中的一種工具，在中考中的應(yīng)用十分廣泛，覆蓋了填空、選擇、探究、證明等各種題型.它作為一種代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具，除了在等腰三角形中出現(xiàn)，更是常常與其他知識，如全等三角形、圓及圖形變換等結(jié)合，同學(xué)們要能靈活運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合圖形的特點(diǎn)，恰當(dāng)分類解決問題.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學(xué)）