Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)中子代數(shù)的廣義矛盾式＊

李順琴 ，惠小靜

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安716000)

自1998 年王國俊教授建立了修正的Kleene系統(tǒng)和修正的Kleene 系統(tǒng)中的廣義重言式理論［1，2］后，其他多值邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論也在蓬勃發(fā)展［3-12］。吳洪博教授在廣義重言式概念的基礎(chǔ)上提出了廣義矛盾式的概念，并討論了多值邏輯系統(tǒng)中的廣義矛盾式理論［3-6］。本文在文獻［6］的基礎(chǔ)上討論了Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)中序稠密子代數(shù)的廣義矛盾式，并利用可達廣義矛盾式概念在的序稠密子代數(shù)中給出公式集F(S)中廣義矛盾式的一個分劃。

1 基本知識

定義1［1］設(shè)S = {p1，p2，…}是可數(shù)集，? 是一元運算，∨與→是二元運算，由S 生成的(? ，∨，→)型自由代數(shù)記作F(S)。F(S)中的元素叫公式或命題，S 中的元素叫原子公式或原子命題。定義2［6］在［0，1］中規(guī)定:α ∨β = max{α，β}，

則［0，1］成為(? ，∨，→)型代數(shù)，稱之為連續(xù)值Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)，記作。

本文中提到的子代數(shù)都是指序稠密子代數(shù)，在不致引起混淆時將其簡稱為子代數(shù)。

v(? A)= ? v(A)，

v(A ∨B)= v(A)∨v(B)，

v(A →B)= v(A)→v(B)，

則稱v 為F(S)在E 中的賦值，其全體賦值之集記為Σ(E)。

(ⅰ)若?v ∈Σ(E)，v(A)≥α(v(A)＞α)，則稱A 為E -α - 重言式(E -α+- 重言式)，其全體之集記為α - T(E)(α+- T(E))。

(ⅱ)若A ∈α - T(E)，且?v ∈Σ(E)，v(A)= α，則稱A 為可達E - α - 重言式，其全體之集記為［α］- T(E)。

(ⅲ)若A ∈α+-T(E)，且?ε ＞0 ，?vε∈Σ(E)，使得α ＜vε(A)＜α + ε，則稱A 為可達E- α+- 重言式，其全體之集記作［α+］- T(E)。

特別地，E -1 - 重言式簡稱重言式，其全體之集記為T(E)。

以上定義的各種重言式統(tǒng)稱為廣義重言式，在不致引起混淆時前綴“E - ”將略去。

2 系統(tǒng)Gr 的子代數(shù)的廣義矛盾式

定義6 設(shè)E 是Gr的子代數(shù)，∈E。

(ⅰ)若?v ∈Σ(E)，v(A)≤α(v(A)＜α)，則稱A 為E -α - 矛盾式(E -α-- 矛盾式)，其全體之集記為α - C(E)(α-- C(E))。

(ⅱ)若A ∈α - C(E)，且?v ∈Σ(E)，v(A)= α，則稱A 為可達E - α - 矛盾式，其全體之集記為［α］- C(E)。

(ⅲ)若A ∈α--C(E)，且?ε ＞0 ，?vε∈Σ(E)，使得α - ε ＜vε(A)＜α，則稱A 為可達E- α-- 矛盾式，其全體之集記作［α-］- C(E)。

引理1 設(shè)E 是Gr的子代數(shù)，映射φ1:E →{0，1}∪((1 - α，α)∩E)定義為:

那么φ1是E 與其子代數(shù){0，1}∪((1 - α，α)∩E)之間的一個同構(gòu)映射，因而也是一個同態(tài)映射。證明 由命題1 知{0，1}∪((1 - α，α)∩E)是E 的子代數(shù)，又顯然φ1是一對一的保序映射，因此φ1保持∨運算和→運算。

下面證明φ1保持? 運算。

(ⅰ)當(dāng)x = 1 時，φ1(? 1)= φ1(0)= 0 =? φ1(1)。

(ⅱ)當(dāng)x = 0 時，φ1(? 0)= φ1(1)= 1 =? φ1(0)。

(ⅲ)當(dāng)x ∈(0，1)∩E 時，

所以φ1(? x)= ? φ1(x)。

因此由(ⅰ)-(ⅲ)可知φ1保持? 運算。

綜上所述知，φ1是E 與其子代數(shù){0，1}∪((1 - α，α)∩E)之間的一個同構(gòu)映射。

類似可以證明以下引理成立:

引理2 設(shè)E 是Gr的子代數(shù)，，映射定義為:

那么φ2是E 與其子代數(shù)α，1］)∩E 之間的一個同構(gòu)映射，因而也是一個同態(tài)映射。

命題1 設(shè)E 是Gr的子代數(shù)，α，則

定理1 設(shè)E 是Gr的子代數(shù)，則α - C(E)= C(E)。

證明 由定義6，顯然有C(E)?α-C(E)。以下證α - C(E)?C(E)。

設(shè)A ∈α - C(E)，則?v ∈Σ(E)，v(A)≤α。因此v(? A)= ? v(A)= 1 -v(A)≥1 -α，又

由命題2 可知? A ∈T(E)，從而A ∈C(E)，所以α - C(E)?C(E)。因此α - C(E)= C(E)。

設(shè)A ∈α - C(E)，則?v ∈Σ(E)，v(A)≤α。因此v(? A)= ? v(A)= 1 -v(A)≥1 -α，又因為，那么由命題1 可知，即v(? A)≥，那么v(A)≤，從而A ∈- C(E)，所以α -C(E)?- C(E)。因此α - C(E)=-C(E)。定 理 3 設(shè) E 是的 子 代 數(shù)， α ∈

命題3 設(shè)E 是Gr的子代數(shù)，，則α+- T(E)= T(E)。

證明 若A ∈T(E)，顯然有A ∈α+- T(E)。又若A ∈α+- T(E)，則?v ∈Σ(E)，v(A)＞α。由引理1 可知φ1v:F(S)→{0，1}∪((1 - α，α)∩E)是同態(tài)的復(fù)合，因此φ1v ∈Σ(E)，進而φ1v(A)＞α 且φ1v(A)∈{0，1}∪((1 - α，α)∩E)，故φ1v(A)= 1 ，由φ1的構(gòu)造知v(A)= 1 ，因此A ∈T(E)。

用類似的方法結(jié)合引理2 可證命題4:

則α-- C(E)= C(E)。

證明 由定義6，顯然有C(E)?α-- C(E)。以下證α-- C(E)?C(E)。

設(shè)A ∈α-- C(E)，則?v ∈Σ(E)，v(A)＜α，因此v(? A)＞1 - α，因而? A ∈(1 - α)+-T(E)。又因為，所以1 - α ∈

用類似的方法結(jié)合命題4 可證定理5:

定理5 設(shè)E 是Gr的子代數(shù)，若則α-- C(E)=- C(E)。

證明 由定義6 知集族中任意兩成員之交為空集，且由定理3，定理6 可知它們的并是F(S)，因此只需驗證它們非空即可。

(ⅱ)可類似的證明。

［1］王國俊.修正的Kleene 系統(tǒng)中Σ- (α - 重言式)理論［J］. 中國科學(xué)，E 輯，1998，28(2):146 -152.

［2］王國俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理［M］.北京:科學(xué)出版社，2000.

［3］吳洪博.G?del 邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000，14(4):53 -59.

［4］吳洪博.G?del 系統(tǒng)中一種降級算法及性質(zhì)［J］. 四川大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2003，40(6):997 -1001.

［5］吳洪博.修正的Kleene 系統(tǒng)中的廣義重言式理論［J］. 中國科學(xué)，E 輯，2002，32(2):224 -229.

［6］吳洪博，閻滿富. Gainse-Rescher 邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論［J］.四川大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2000，37(5):675 -682.

［7］楊曉斌，張文修. Lukasiewicz 多值邏輯系統(tǒng)中的廣義重言式理論［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000，14(1):8 -12.

［8］黃阿敏，裴道武.系統(tǒng)RDP 中的廣義重言式理論［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010，24(4):6 -11.

［9］裴道武.多值邏輯系統(tǒng)中的子代數(shù)與廣義重言式［J］. 陜西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2000，28(2):18 -22.

［10］李順琴，王國俊.修正的G?del 邏輯系統(tǒng)中子代數(shù)的廣義重言式理論［J］.計算機工程與應(yīng)用，2008，44(36):58 -60.

［11］于鴻麗，吳洪博.邏輯系統(tǒng)RDP 中子代數(shù)的廣義重言式理論［J］.計算機工程與應(yīng)用，2011，47(32):47 -48.

［12］魏海新.修正的Kleene 邏輯系統(tǒng)中子代數(shù)的廣義重言式理論［J］.計算機工程與應(yīng)用，2009，45(22):32 -33.