周秋良
大家知道,人教A版普通高中課程標準實驗教科書對和差角公式和邊角關(guān)系三大定理作了精彩的分析,從多個角度引導(dǎo)學(xué)生理解掌握。筆者根據(jù)教授這一內(nèi)容的經(jīng)驗認為,教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生弄清它們之間的統(tǒng)一性。本文給出它們在“托勒密定理”下的統(tǒng)一性證明,供同行參考。
托勒密定理:若ABCD是一個圓O的內(nèi)接凸四邊形,則AB·CD+BC·DA= AC·BD;也就是說,圓的內(nèi)接凸四邊形對邊乘積之和等于對角線之積。
一、用托勒密定理推導(dǎo)和差角公式
1.推導(dǎo)兩角和的正弦公式
如圖1:設(shè)∠CAD=α,∠BAC=β,圓O的直徑AC=d,則AB=dcosβ,CD= dsinα,BC=dsinβ,DA=dcosα,BD= dsin(α+β)。
由托勒密定理得:dcosβ·dsinα+ dsinβ·dcosα= d2sin(α+β),即sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ。
2.推導(dǎo)兩角差的正弦公式
如圖2:設(shè)∠BAD=α,∠CAD=β,圓O的直徑AD=d,則AB=dcosα,CD=dsinβ,BC=dsin(α-β),AC=dcosβ,BD=sinα。
由托勒密定理得:dcosα·dsinβ+ dsin(α-β)·d= dcosβ·dsinα,即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
3.推導(dǎo)兩角和的余弦公式
如圖3:設(shè)∠CAD=α,∠ADB=β,圓O的直徑AD=d,則AB=dsinβ,CD= dsinα,BC= dcos(α+β),AC=dcosα,BD= dcosβ。
由托勒密定理得:dsinβ·dsinα+ dcos(α+β)·d= dcosα·dcosβ
即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。
4.推導(dǎo)兩角差的余弦公式
如圖4:∠ACD=α,∠BAC=β,圓O的直徑AC=d,則AB= dcosβ,CD= dcosα,BC= dsinβ,DA= dsinα,BD=d cos(α-β)。
由托勒密定理得:dcosβ·dcosα+ dsinβ·dsinα=d2 cos(α-β)
即cos(α-β)=cosβcosα+sinβsinα。
二、用托勒密定理推導(dǎo)三角形邊角關(guān)系的三大定理
1.推導(dǎo)正弦定理
如圖5:設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,圓O的直徑BD=d,則AD=cotC,CD= acotA,AC=b=dsinB。
由托勒密定理得:c·acotA+a·ccotC =dsinB·d
即 ,
同理 , 。
故 。
2.推導(dǎo)余弦定理
如圖6:設(shè)CD∥AB,BC=a,AC= b,AB=c,△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,CE⊥AB,DF⊥AB,則BD=AC=b,AD=BC=a,AE=BF=bcosA,于是CD=EF=AB-(AE+BE)=c-2bcosA。
由托勒密定理得:b·b+c·(c-2bcosA)=a·a,即a2=b2+c2-2bccosA,
同理可得:b2=a2+c2-2accosB,c2= a2+b2-2abcosC。
3.推導(dǎo)射影定理
如圖7:設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,圓O的直徑BD=d,則AD=dcosC,CD= dcosA。
由托勒密定理得:c·dcosA+a·dcosC = b·d,即b=ccosA+acosC,
同理可得:a=bcosC+ccosB,c=acosB +bcosA。
【參考文獻】
[1] 人民教育出版社、課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)》,人民教育出版社,2007.
(作者單位:福建省龍巖市上杭縣第二中學(xué))endprint