和差角公式及三大定理的統(tǒng)一性

周秋良

大家知道，人教A版普通高中課程標準實驗教科書對和差角公式和邊角關(guān)系三大定理作了精彩的分析，從多個角度引導(dǎo)學(xué)生理解掌握。筆者根據(jù)教授這一內(nèi)容的經(jīng)驗認為，教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生弄清它們之間的統(tǒng)一性。本文給出它們在“托勒密定理”下的統(tǒng)一性證明，供同行參考。

托勒密定理：若ABCD是一個圓O的內(nèi)接凸四邊形，則AB·CD+BC·DA= AC·BD；也就是說，圓的內(nèi)接凸四邊形對邊乘積之和等于對角線之積。

一、用托勒密定理推導(dǎo)和差角公式

1.推導(dǎo)兩角和的正弦公式

如圖1：設(shè)∠CAD=α，∠BAC=β，圓O的直徑AC=d，則AB=dcosβ，CD= dsinα，BC=dsinβ，DA=dcosα，BD= dsin（α+β）。

由托勒密定理得：dcosβ·dsinα+ dsinβ·dcosα= d2sin（α+β），即sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ。

2.推導(dǎo)兩角差的正弦公式

如圖2：設(shè)∠BAD=α，∠CAD=β，圓O的直徑AD=d，則AB=dcosα，CD=dsinβ，BC=dsin（α-β），AC=dcosβ，BD=sinα。

由托勒密定理得：dcosα·dsinβ+ dsin（α-β）·d= dcosβ·dsinα，即sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ。

3.推導(dǎo)兩角和的余弦公式

如圖3：設(shè)∠CAD=α，∠ADB=β，圓O的直徑AD=d，則AB=dsinβ，CD= dsinα，BC= dcos（α+β），AC=dcosα，BD= dcosβ。

由托勒密定理得：dsinβ·dsinα+ dcos（α+β）·d= dcosα·dcosβ

即cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。

4.推導(dǎo)兩角差的余弦公式

如圖4：∠ACD=α，∠BAC=β，圓O的直徑AC=d，則AB= dcosβ，CD= dcosα，BC= dsinβ，DA= dsinα，BD=d cos（α-β）。

由托勒密定理得：dcosβ·dcosα+ dsinβ·dsinα=d2 cos（α-β）

即cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα。

二、用托勒密定理推導(dǎo)三角形邊角關(guān)系的三大定理

1.推導(dǎo)正弦定理

如圖5：設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，圓O的直徑BD=d，則AD=cotC，CD= acotA，AC=b=dsinB。

由托勒密定理得：c·acotA+a·ccotC =dsinB·d

即 ，

同理 ， 。

故 。

2.推導(dǎo)余弦定理

如圖6：設(shè)CD∥AB，BC=a，AC= b，AB=c，△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，CE⊥AB，DF⊥AB，則BD=AC=b，AD=BC=a，AE=BF=bcosA，于是CD=EF=AB-（AE+BE）=c-2bcosA。

由托勒密定理得：b·b+c·（c-2bcosA）=a·a，即a2=b2+c2-2bccosA，

同理可得：b2=a2+c2-2accosB，c2= a2+b2-2abcosC。

3.推導(dǎo)射影定理

如圖7：設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，圓O的直徑BD=d，則AD=dcosC，CD= dcosA。

由托勒密定理得：c·dcosA+a·dcosC = b·d，即b=ccosA+acosC，

同理可得：a=bcosC+ccosB，c=acosB +bcosA。

【參考文獻】

[1] 人民教育出版社、課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)》，人民教育出版社，2007.

（作者單位：福建省龍巖市上杭縣第二中學(xué)）endprint