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      和差角公式及三大定理的統(tǒng)一性

      2015-08-24 12:07:40周秋良
      關(guān)鍵詞:托勒密人民教育出版社同理

      周秋良

      大家知道,人教A版普通高中課程標準實驗教科書對和差角公式和邊角關(guān)系三大定理作了精彩的分析,從多個角度引導(dǎo)學(xué)生理解掌握。筆者根據(jù)教授這一內(nèi)容的經(jīng)驗認為,教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生弄清它們之間的統(tǒng)一性。本文給出它們在“托勒密定理”下的統(tǒng)一性證明,供同行參考。

      托勒密定理:若ABCD是一個圓O的內(nèi)接凸四邊形,則AB·CD+BC·DA= AC·BD;也就是說,圓的內(nèi)接凸四邊形對邊乘積之和等于對角線之積。

      一、用托勒密定理推導(dǎo)和差角公式

      1.推導(dǎo)兩角和的正弦公式

      如圖1:設(shè)∠CAD=α,∠BAC=β,圓O的直徑AC=d,則AB=dcosβ,CD= dsinα,BC=dsinβ,DA=dcosα,BD= dsin(α+β)。

      由托勒密定理得:dcosβ·dsinα+ dsinβ·dcosα= d2sin(α+β),即sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ。

      2.推導(dǎo)兩角差的正弦公式

      如圖2:設(shè)∠BAD=α,∠CAD=β,圓O的直徑AD=d,則AB=dcosα,CD=dsinβ,BC=dsin(α-β),AC=dcosβ,BD=sinα。

      由托勒密定理得:dcosα·dsinβ+ dsin(α-β)·d= dcosβ·dsinα,即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

      3.推導(dǎo)兩角和的余弦公式

      如圖3:設(shè)∠CAD=α,∠ADB=β,圓O的直徑AD=d,則AB=dsinβ,CD= dsinα,BC= dcos(α+β),AC=dcosα,BD= dcosβ。

      由托勒密定理得:dsinβ·dsinα+ dcos(α+β)·d= dcosα·dcosβ

      即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。

      4.推導(dǎo)兩角差的余弦公式

      如圖4:∠ACD=α,∠BAC=β,圓O的直徑AC=d,則AB= dcosβ,CD= dcosα,BC= dsinβ,DA= dsinα,BD=d cos(α-β)。

      由托勒密定理得:dcosβ·dcosα+ dsinβ·dsinα=d2 cos(α-β)

      即cos(α-β)=cosβcosα+sinβsinα。

      二、用托勒密定理推導(dǎo)三角形邊角關(guān)系的三大定理

      1.推導(dǎo)正弦定理

      如圖5:設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,圓O的直徑BD=d,則AD=cotC,CD= acotA,AC=b=dsinB。

      由托勒密定理得:c·acotA+a·ccotC =dsinB·d

      即 ,

      同理 , 。

      故 。

      2.推導(dǎo)余弦定理

      如圖6:設(shè)CD∥AB,BC=a,AC= b,AB=c,△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,CE⊥AB,DF⊥AB,則BD=AC=b,AD=BC=a,AE=BF=bcosA,于是CD=EF=AB-(AE+BE)=c-2bcosA。

      由托勒密定理得:b·b+c·(c-2bcosA)=a·a,即a2=b2+c2-2bccosA,

      同理可得:b2=a2+c2-2accosB,c2= a2+b2-2abcosC。

      3.推導(dǎo)射影定理

      如圖7:設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,圓O的直徑BD=d,則AD=dcosC,CD= dcosA。

      由托勒密定理得:c·dcosA+a·dcosC = b·d,即b=ccosA+acosC,

      同理可得:a=bcosC+ccosB,c=acosB +bcosA。

      【參考文獻】

      [1] 人民教育出版社、課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)》,人民教育出版社,2007.

      (作者單位:福建省龍巖市上杭縣第二中學(xué))endprint

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