跳擴(kuò)散環(huán)境下紅利支付對(duì)不確定厭惡投資者最優(yōu)投資組合選擇的影響

梁　勇,費(fèi)為銀，方和遠(yuǎn)，劉　鵬

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

跳擴(kuò)散環(huán)境下紅利支付對(duì)不確定厭惡投資者最優(yōu)投資組合選擇的影響

梁勇,費(fèi)為銀，方和遠(yuǎn)，劉鵬

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

面對(duì)例外事件的沖擊，金融市場(chǎng)的股票價(jià)格會(huì)發(fā)生跳躍，當(dāng)股票價(jià)格發(fā)生跳躍且支付紅利時(shí)，不確定厭惡投資者的預(yù)期效用的刻畫將會(huì)采用不同于傳統(tǒng)的方法.利用跳擴(kuò)散型隨機(jī)微分方程理論和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法,建立了不確定厭惡投資者的最優(yōu)投資策略所滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程.進(jìn)一步，利用市場(chǎng)分解的技術(shù)求解HJB方程,從而推導(dǎo)出最優(yōu)消費(fèi)與投資策略.最后，利用數(shù)值分析定量地討論了投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡因素對(duì)最優(yōu)決策的影響.

不確定厭惡；跳擴(kuò)散型隨機(jī)微分方程；最優(yōu)投資組合；例外事件；紅利支付

自文獻(xiàn)[1]提出連續(xù)時(shí)間下的最優(yōu)消費(fèi)與投資模型框架以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者就不同條件下的最優(yōu)消費(fèi)投資模型作了廣泛的研究.文獻(xiàn)[2-3]探討了雙跳下的資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題.近年來(lái)，許多學(xué)者分析認(rèn)為，除了考慮傳統(tǒng)的不確定外，還需考慮奈特不確定對(duì)投資者投資決策的影響[4-5].文獻(xiàn)[6]建立了連續(xù)時(shí)間多先驗(yàn)效用的跨期模型.文獻(xiàn)[7]研究了有關(guān)跳的不精確信息下的資產(chǎn)定價(jià)．利用穩(wěn)健性方法，文獻(xiàn)[8]分析了動(dòng)態(tài)資產(chǎn)分配問(wèn)題.在包含多資產(chǎn)跳擴(kuò)散框架下，文獻(xiàn)[9]調(diào)查了最優(yōu)投資組合問(wèn)題.文獻(xiàn)[10]研究了在奈特不確定下的最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題.文獻(xiàn)[11]利用倒向隨機(jī)微分方程和Malliavin分析技術(shù)，討論了最大最小預(yù)期效用的加權(quán)平均標(biāo)準(zhǔn)下的最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題.文獻(xiàn)[12]研究了考慮退休和閑暇的奈特不確定投資者的最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題.基于通脹和跳環(huán)境，文獻(xiàn)[13]分析了通脹對(duì)跳暴露和擴(kuò)散暴露的影響.另一方面，由文獻(xiàn)[14]研究結(jié)果可知，紅利對(duì)投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資決策也會(huì)產(chǎn)生影響.在文獻(xiàn)[13-15]的研究基礎(chǔ)上,本文進(jìn)一步討論風(fēng)險(xiǎn)股票支付紅利時(shí)奈特不確定投資者的期望效用最大化問(wèn)題.根據(jù)跳擴(kuò)散型隨機(jī)微分方程和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法推導(dǎo)出相應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程，并利用市場(chǎng)分解技術(shù)得到解析解.最后，通過(guò)數(shù)值模擬說(shuō)明投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)最優(yōu)決策的影響，所得結(jié)論具有一定的經(jīng)濟(jì)意義.

1　跳擴(kuò)散模型

本節(jié)討論連續(xù)時(shí)間不完備金融市場(chǎng)，股票價(jià)格由多維跳擴(kuò)散過(guò)程加以刻畫，時(shí)間跨度是[0,T].設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備的概率空間.產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的不確定主要是由于概率空間(Ω,F,P)上的d-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)和(n-d)維的多元泊松過(guò)程N(yùn)(t)=(N1(t),N2(t)，…,Nn-d(t))T,其中Nk(t)表示在時(shí)間為t時(shí)第k類跳的數(shù)量.在經(jīng)濟(jì)狀態(tài)中通過(guò)自然域流給定信息流,即右連續(xù)的增廣域流:,t∈[0,T]}，其中.假設(shè)可觀測(cè)事件是在最后獲得,即F=FT.設(shè)Nk(t)第k類跳的幅度為Jk，而隨機(jī)強(qiáng)度為λk(t),Jk概率密度為Φk(t,dx),λk(t)為非負(fù)的且Ft- 是可料的，第k類跳的大小所有可能取值的空間用Ek表示.設(shè)Ek=(0,∞)，Ek=(-1,0)，Ek=(-1,∞)分別為正、負(fù)和混合跳的大小所有可能取值的空間.

設(shè)某投資者的效用是不變相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)的,且初始財(cái)富為W0,其交易策略為π(t)=(π1(t),π2(t)，…,πn(t)),πi(t)表示投資者在t時(shí)刻持有第i個(gè)股票的比例.投資者的財(cái)富過(guò)程Wt滿足動(dòng)力學(xué)：

dWt=[r+π(t)(b(t)+δ-r1)]Wtdt+

Wtπ(t)Σb(t)dB(t)+

Wt -π(t-)Σq(t)(J·dN(t))-C(t)dt

其中：Σb表示n×d型的矩陣；Σq表示n×(n-d)型的矩陣；C(t)表示t時(shí)刻的消費(fèi)率；δ=(δ1,δ2，…,δn)T表示紅利支付率向量，1表示分量為1的n維向量.在投資組合π中,金融市場(chǎng)上的擴(kuò)散和跳風(fēng)險(xiǎn)暴露分別用πΣb和πΣq表示.

其中：Σq k表示Σq的第k列,.易知，存在一個(gè)ξ*使得測(cè)度P(ξ*)是最優(yōu)解,則

其中：H(ξt)≥0.當(dāng)ψ(x)=(1-γ)x時(shí),

假設(shè)考慮兩種極端情況,即φ=0和φ=∞.當(dāng)φ=0時(shí),說(shuō)明投資者是含糊中性的；當(dāng)φ=∞時(shí),說(shuō)明投資者是極端謹(jǐn)慎的.

假設(shè)可逆矩陣Σ表示n×n型的矩陣(Σb,Σq).設(shè)金融市場(chǎng)中的擴(kuò)散和跳風(fēng)險(xiǎn)πb=(πb1,πb2,…,πbd)和πq=(πq1,πq2,…,πq(n-d))分別表示πΣb和πΣq.

由于π=πΣΣ-1=π[Σb,Σq]Σ-1=(πb,πq)Σ-1,所以通過(guò)最優(yōu)暴露πb和πq的求解即可獲得最優(yōu)投資組合π.假設(shè)下式為相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

注意到π*是由(n-d+1)個(gè)金融市場(chǎng)的最優(yōu)投資策略組成的向量通過(guò)矩陣Σ-1旋轉(zhuǎn)得到，其中，第一個(gè)是純擴(kuò)散金融市場(chǎng),有一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),d個(gè)股票價(jià)格服從

dSD(t)=SD(t-)((vb+r1)dt+dBS(t))

而且效用函數(shù)為

文獻(xiàn)[13,15]考慮了極端事件引起跳發(fā)生的情形，而本文假設(shè)僅考慮跳為負(fù)的情況下(對(duì)跳為正的情形可類似討論)，其中，表示參考模型中跳的大小的參數(shù)估計(jì).

為了簡(jiǎn)便,將原始的非完備的跳擴(kuò)散金融市場(chǎng)分解為一個(gè)完備的純擴(kuò)散金融市場(chǎng)和一族單期的純跳金融市場(chǎng)，這里假設(shè)純擴(kuò)散金融市場(chǎng)是完備的.通過(guò)計(jì)算值函數(shù)V(t,W)可以得到下面的命題1和2.它們的證明類似文獻(xiàn)[15]中的命題1和2，其中，以下和如文獻(xiàn)[15]的命題1中式(14)～(16).

命題1投資者的最優(yōu)值函數(shù)V(t,Wt)為

其中:

其中:

2　數(shù)值分析

為了討論問(wèn)題的方便，選取了兩個(gè)股票和一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)作為投資組合進(jìn)行數(shù)值分析.

設(shè)n=2,d=1,φ

由命題1和2中的公式可得圖1.由圖1可以看出，一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重π1隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ的增加而減少，而另外一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重π2隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ的增加而增加.由于本文假設(shè)股票價(jià)格向下跳，所以投資者通過(guò)兩個(gè)股票的做多與做空來(lái)對(duì)沖股票價(jià)格向下跳的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)，隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的不斷增加,投資含有例外事件沖擊股票的投資絕對(duì)比例就會(huì)不斷下降，表現(xiàn)在圖1中的兩條曲線都趨于橫軸，而且，隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度單調(diào)下降接近0，投資者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的頭寸迅速減少.

圖1　γ對(duì)投資組合權(quán)重π的影響Fig.1　The effect of γ on portfolio π

3　結(jié)　語(yǔ)

本文研究了在例外事件沖擊下紅利支付對(duì)不確定厭惡投資者的最優(yōu)投資組合選擇問(wèn)題的影響.由于例外事件引起過(guò)程的跳躍，所以可以利用跳擴(kuò)散型隨機(jī)微分方程來(lái)刻畫資產(chǎn)價(jià)格，利用相應(yīng)的理論建立不確定厭惡投資者的隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型.為此，首先建立了資產(chǎn)價(jià)格帶跳擴(kuò)散的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)方程.其次,描述了不確定厭惡投資者帶有中期消費(fèi)和終端財(cái)富的預(yù)期效用最大化問(wèn)題,其中的效用函數(shù)體現(xiàn)了投資者的模型不確定厭惡.進(jìn)而，利用跳擴(kuò)散隨機(jī)微分方程理論與動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理推導(dǎo)出HJB方程，再根據(jù)市場(chǎng)分解方法獲得不確定厭惡投資者的最優(yōu)投資決策.最后，利用數(shù)值模擬分析了投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)最優(yōu)組合投資策略的影響.本文所得結(jié)論為投資者決策提供較為現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)參考價(jià)值.

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Impacts of the Dividend Payment on the Optimal Portfolio Choice of an Investor with the Ambiguity Aversion under Jump-Diffusion

LIANGYong,FEIWei-yin,FANGHe-yuan,LIUPeng

(School of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

The stocks’ prices in a financial market will jump when there is a shock of an rare event.And the utility of an ambiguity aversion investor with the environment of both the stock price’s jump and the dividend payment is characterized by a new method.Through the theory of jump-diffusion stochastic differential equations and the dynamic programming principle,the value function of an investor’s optimal consumption and portfolio satisfying the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation is derived.Moreover,market decomposition technique is applied to solve the HJB equation,the optimal consumption and portfolio policy for investors is obtained.Finally,the effects of the risk aversion on the optimal portfolio choice of an investor are analyzed by numerical simulation.

ambiguity aversion；jump-diffusion stochastic differential equations；optimal portfolio；rare events；dividend payment

1671-0444(2015)02-0273-04

2014-05-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71171003)；安徽省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(KJ2012B019，KJ2013B023)

梁勇(1981—)，男，安徽馬鞍山人，碩士，講師，研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué)與金融工程.E-mail: liangyong@ahpu.edu.com

O 211.63；F 224.9

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