一類奇異攝動反應擴散方程數(shù)值模擬中的參數(shù)估計

包小兵，陳振榮

一類奇異攝動反應擴散方程數(shù)值模擬中的參數(shù)估計

包小兵，陳振榮

（池州學院數(shù)學與計算機學院，安徽池州247000）

針對一類奇異攝動反應擴散方程，使用Shishkin網(wǎng)格方法進行求解，其中的網(wǎng)格過渡點參數(shù)較難確定，使用粒子群（PSO）算法估計存在計算速度慢的缺點，提出了基于差分進化（DE）算法的過渡點參數(shù)估計。通過具體的數(shù)值實驗，結果表明：與PSO算法相比，計算精度相當，計算速度明顯提高，說明所提方法的可行性與有效性。

奇異攝動反應擴散方程；Shishkin網(wǎng)格；粒子群算法；差分進化算法

DOI：10.13420/j.cnki.jczu.2015.06.007

本文考慮如下的奇異攝動反應擴散方程：

其中0＜ε＜＜1，函數(shù)b（x）和f（x）是充分光滑的，且b（x）≥β＞0。眾所周知，當ε→0時，問題（1）的精確解在區(qū)間［0，1］的兩端存在邊界層。

對于奇異攝動問題（1），一些常用的數(shù)值方法很難得到理想的數(shù)值結果。因此，Shishkin網(wǎng)格方法和Bakhalov網(wǎng)格方法，越來越被廣泛地用來數(shù)值求解上述奇異攝動反應擴散方程（1），見文［1-3］。

眾所周知，差分進化算法［5］（簡稱DE）它已被廣泛應用到各種參數(shù)估計的求解，見文［6-9］?？紤]到差分進化算法具有較快的收斂速度，本文在文［4］的基礎上，利用DE算法對Shishkin網(wǎng)格參數(shù)進行優(yōu)化計算，并與粒子群算法的計算結果進行比較和分析。

1　Shishkin網(wǎng)格的構造與離散格式的建立

為了建立問題（1）的迎風差分格式，首先構造出Shishkin網(wǎng)格。

設Shishkin網(wǎng)格過渡點為：

其中N為對網(wǎng)格的剖分數(shù)，且為4的倍數(shù)，θ為待確定的參數(shù)，我們首先將區(qū)間分成三個子區(qū)間］，然后對區(qū)間進行等分，分別對區(qū)間進行

N 4等分，則網(wǎng)格可記為：

其網(wǎng)格步長為：

基于以上網(wǎng)格GN，可建立如下迎風差分格式

其中Ui為u（xi）的近似解，

2　基于差分進化算法的Shishkin網(wǎng)格參數(shù)估計

由區(qū)間［0，1］上的N+1個點構成網(wǎng)格GN

再對網(wǎng)格GN加密一倍得到網(wǎng)格G2N：

我們知道，微分方程數(shù)值解的誤差可用如下式子來表示

其中‖‖·為向量范數(shù)。然而，一般情況下，微分方程的精確解U*很難得到，故常用

來估計誤差，其中UN（θ）為問題（1）在網(wǎng)格GN下的數(shù)值解，U2N（θ）為問題（1）在網(wǎng)格G2N下的數(shù)值解。

顯然，參數(shù)θ的取值將影響到EN的大小，為使其盡可能小，構造如下的目標函數(shù)：

本文將使用DE算法估計出（4）式中的參數(shù)θ，然后求解方程組（3），得到問題（1）的數(shù)值解。

3　數(shù)值實驗與結果分析

考慮奇異攝動反應擴散方程：

為了驗證差分進化算法數(shù)值求解這類問題的優(yōu)點，在相同條件下與基本粒子群算法［4］進行比較。差分進化算法的參數(shù)設置為：種群規(guī)模為40，交叉因子為0.5，交叉概率為0.1，最大迭代次數(shù)為40次。粒子群算法的參數(shù)設置為：學習因子c1=c2=1.2，粒子數(shù)為50，最大迭代次數(shù)為40次。

下面，我們分別使用PSO算法和DE算法估計參數(shù)θ，計算結果如表1、表2所示。

表1　PSO算法獲得的網(wǎng)格參數(shù)、誤差及耗時（單位：s）

表2　 DE算法獲得的網(wǎng)格參數(shù)、誤差及耗時（單位：s）

實驗表明，使用DE算法估計參數(shù)θ與使用PSO算法估計參數(shù)θ的誤差相當，但計算速度明顯較高?？梢钥闯?，N=16，ε=2-5、2-8、2-9時，誤差和參數(shù)θ的值幾乎相等，但計算耗時差異較大，由此可知本方法性能和效果較優(yōu)。圖1給出了N=16，ε=2-9時，PSO算法和DE算法的迭代曲線。

4　結論

對于奇異攝動問題的數(shù)值方法，目前以層適應網(wǎng)格方法的應用最為普遍，其中Shishkin網(wǎng)格方法因為結構簡單而備受關注。對于奇異攝動反應擴散方程的Shishkin網(wǎng)格方法，本文在文［4］的基礎上，提出了奇異攝動問題數(shù)值模擬中參數(shù)估計的差分進化算法，并與基本粒子群算法進行了比較，數(shù)值結果表明差分進化算法的計算效率明顯優(yōu)于基本粒子群算法。

圖1　N=16，ε=2-9時的迭代曲線

［1］Miller J J H，O'Riordan E，Shishkin G I.Fitted numerical methods for singularly perturbed problems［M］.Singapore：World Scientific，1996.

［2］Kumar K.High order compact finite difference scheme for singu-larly perturbed reaction diffusion problems on a new mesh of Shishkin type［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2009，143（1）：123-147.

［3］Lin T，Radojev G，Zarin H.Approximation of singularly perturbed reaction-diffusion problems by quadratic C1splines［J］.Numerical Algorithm，2012，61（1）：35-55.

［4］劉利斌，歐陽艾嘉.奇異攝動反應擴散方程數(shù)值模擬的粒子群優(yōu)化算法［J］.計算機應用，2014，34（4）：1080-1082，1093.

［5］Srorn R，Price，K.Differential evolution：a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces［J］.Journal of Global Optimization，1997，11（4）：341-359.

［6］王鈞炎，黃德先.基于混合差分進化算法的混沌系數(shù)參數(shù)估計［J］.物理學報，2008，57（5）：2755-2760.

［7］王海倫，余世明，鄭秀蓮.自適應差分進化算法及其在參數(shù)估計中的應用［J］.計算機工程，2012，38（5）：202-204.

［8］熊偉麗，陳敏芳，張乾，等.基于改進差分進行算法的非線性系統(tǒng)模型參數(shù)辨識［J］.計算機應用研究，2014，31（1）：124-127.

［9］朱大藝，陳少清，歐忠輝.差異演化算法在土壤分形維數(shù)估計中的應用［J］.土壤通報，2013，44（5）：1081-1085.

［責任編輯：桂傳友］

TP18

A

1674-1102（2015）06-0021-02

2015-03-02

池州學院自然科學研究項目（2014ZR005）；安徽省大學生創(chuàng)新項目（AH201411306088）；全國大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目（201511306034）。

包小兵（1981-），男，安徽廬江人，池州學院數(shù)學與計算機學院講師，碩士，研究方向為智能計算。