基于全變量信息的子空間監(jiān)控方法

呂小條，宋冰，譚帥，侍洪波

（華東理工大學(xué)化工過(guò)程先進(jìn)控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200237）

引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)及科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，系統(tǒng)的規(guī)模和復(fù)雜性不斷增加，過(guò)程監(jiān)控變得越來(lái)越重要。有效的過(guò)程監(jiān)控可以保障生產(chǎn)安全、保證產(chǎn)品質(zhì) 量[1]。然而，實(shí)際化工過(guò)程的監(jiān)控系統(tǒng)得到的數(shù)據(jù)往往維度較高，變量間關(guān)系復(fù)雜，直接基于原始數(shù)據(jù)建立檢測(cè)模型較為復(fù)雜。為了得到包含原始數(shù)據(jù)主要特征的低維數(shù)據(jù)，出現(xiàn)了多種降維方法[2]。

多元統(tǒng)計(jì)過(guò)程監(jiān)控（multivariate statistical process monitoring，MSPM）方法通過(guò)降維，得到了包含原始數(shù)據(jù)主要特征的低維數(shù)據(jù)，然后基于低維數(shù)據(jù)建立故障檢測(cè)模型，目前已在化工過(guò)程中得到了廣泛的應(yīng)用[3-6]。PCA 是目前研究較多的多元統(tǒng)計(jì)過(guò)程監(jiān)控方法之一，然而，傳統(tǒng)的PCA 過(guò)程監(jiān)控方法通常會(huì)造成信息缺失。一方面，由于PCA 將原始數(shù)據(jù)投影到PCS 和RS 兩個(gè)空間，主元空間僅保留了方差較大的主元，丟棄了方差較小的主元，破壞了信息的完整性；另一方面，盡管T2和SPE作為互補(bǔ)的監(jiān)控指標(biāo)，但是它們監(jiān)測(cè)過(guò)程的不同方面，在過(guò)程監(jiān)控中的地位是不對(duì)稱的。這樣，在線檢測(cè)時(shí)，這種差異會(huì)進(jìn)一步加劇，造成信息缺失[7-8]。信息缺失會(huì)影響過(guò)程監(jiān)控性能。

為了更好地實(shí)現(xiàn)化工過(guò)程故障監(jiān)控，近幾年，許多學(xué)者從子空間角度提出了多種故障監(jiān)控方法。Ge 等[9]提出了非線性過(guò)程監(jiān)控的線性子空間方法（BSPCA），該方法基于PCA 分解構(gòu)造線性子空間，將原始過(guò)程變量劃分為k+1 個(gè)子塊。文獻(xiàn)[10]首先通過(guò)k均值聚類算法劃分不同的操作模態(tài)，然后在單一模態(tài)下，用多個(gè)線性子空間近似過(guò)程變量的非線性特性，解決了具有非線性特性的多模態(tài)問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]針對(duì)Plant-Wide 過(guò)程，利用PCA 分解將原始數(shù)據(jù)劃分成k+1 個(gè)子塊，然后在每個(gè)子塊中建立PCA 模型進(jìn)行監(jiān)控，這種劃分子塊的方法不需要任何過(guò)程知識(shí)。文獻(xiàn)[12]將ICA 與子空間有機(jī)結(jié)合，提出了基于獨(dú)立元貢獻(xiàn)度的子空間故障檢測(cè)方法，用于處理非高斯過(guò)程。上述子空間方法的共同特點(diǎn)：在構(gòu)造每個(gè)子空間時(shí)，均挑選了對(duì)該子空間貢獻(xiàn)度較大的變量，因此同一變量可能出現(xiàn)在多個(gè)子空間中，存在變量的重疊，會(huì)導(dǎo)致過(guò)程信息的冗余。Zhang 等[13]利用子空間方法處理多模態(tài)及動(dòng)態(tài)問(wèn)題，使得模態(tài)劃分更加準(zhǔn)確，算法復(fù)雜度大大降低。該方法提取了不同模態(tài)的共同信息，構(gòu)成共同子空間及每個(gè)模態(tài)下的特定子空間，在子空間中采用、SPE 作為監(jiān)控指標(biāo)，由于、SPE 在過(guò)程監(jiān)控中地位不對(duì)稱，導(dǎo)致信息缺失問(wèn)題。Jiang 等[14]提出了基于SPCA 的故障檢測(cè)和診斷方法，根據(jù)T2的變化率來(lái)挑選主元，將對(duì)故障敏感的主元?jiǎng)澐衷谕蛔涌臻g中。但敏感主元只在故障發(fā)生時(shí)被挑選，還有一些主元不能被挑選，造成過(guò)程信息的缺失[15]。

為了在降維的同時(shí)更好地保存變量信息，本文提出一種基于全變量信息的子空間監(jiān)控方法（FVI），用于線性過(guò)程監(jiān)控。首先，PCA 分解得到兩個(gè)正交且互補(bǔ)的空間PCS 和RS，考慮到每個(gè)變量與PCS 和RS 關(guān)聯(lián)程度不同，可將關(guān)聯(lián)關(guān)系相似的變量劃分在同一子空間中，這樣可確保不同子空間之間的差異性，以及同一子空間內(nèi)部的有效性。本文采用夾角來(lái)衡量每個(gè)變量與PCS 或者RS 的關(guān)聯(lián)關(guān)系。該變量與PCS（或RS）夾角越小，說(shuō)明它在PCS（或RS）上的投影越大，即與 PCS（或RS）的相似性越高，反之亦然。故可依據(jù)夾角的大小，將全部變量劃分為3 個(gè)子空間：①子空間Ⅰ，變量與PCS 夾角小，與PCS 相似性高；②子空間Ⅱ，變量與RS 夾角小，與RS 相似性高；③子空間Ⅲ，變量與PCS 和RS 的夾角均大，與二者相似性均低。這樣，原始數(shù)據(jù)空間被劃分成3 個(gè)低維的子空間，然后，在每個(gè)子空間中建立監(jiān)控模型，采用馬氏距離作為監(jiān)控指標(biāo)，并利用貝葉斯推斷整合各個(gè)子空間的監(jiān)控結(jié)果。FVI 方法構(gòu)造的3 個(gè)子空間包含了全部過(guò)程變量，可以更充分地利用過(guò)程信息。最后，通過(guò)數(shù)值仿真及TE 過(guò)程仿真研究驗(yàn)證了FVI方法的有效性。

1 PCA 簡(jiǎn)介

考慮數(shù)據(jù)矩陣：X=[x1,x2,…,xn]T∈Rn×m，其中m表示變量，n表示采樣數(shù)。在進(jìn)行PCA 建模之前，先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，將X的各列處理成單位方差且零均值的變量。定義標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差矩 陣為

對(duì)C進(jìn)行特征值分解，并按照特征值大小降序排列。則PCA 對(duì)X進(jìn)行如下分解

其中，P∈Rm×k、∈Rm×(m-k)分別為PCS 和RS 的負(fù)載矩陣，T∈Rn×k、∈Rn×(m-k)分別為PCS 和RS的得分矩陣。

2 子空間的構(gòu)造方法

2.1 理論依據(jù)

傳統(tǒng)PCA 過(guò)程監(jiān)控方法在降維時(shí)會(huì)造成信息缺失，嚴(yán)重影響過(guò)程監(jiān)控性能。受分塊建模策略和關(guān)鍵變量選擇方法的啟發(fā)，可以將全部過(guò)程變量劃分成截然不同的多個(gè)子塊，即將原始數(shù)據(jù)空間用多個(gè)子空間近似[16]。要建立合理的子空間監(jiān)控模型，關(guān)鍵要確保子空間的差異性和有效性。差異性要求各個(gè)子空間之間的差別要大，能夠更好地反映不同方面的信息，減少冗余；有效性要求單個(gè)子空間要包含足夠信息，這樣才能反映各個(gè)內(nèi)在成分的特征和變化。

考慮到每個(gè)變量與PCS 和RS 關(guān)聯(lián)程度不同，將關(guān)聯(lián)關(guān)系相似的變量劃分在同一子空間，這樣可確保構(gòu)造出的子空間具備差異性和有效性。本文采用夾角來(lái)衡量每個(gè)變量與PCS 或者RS 的關(guān)聯(lián)關(guān)系。該變量與PCS（或RS）夾角越小，說(shuō)明它在PCS（或RS）上的投影越大，即與 PCS（或RS）的相似性越高，反之亦然。故可依據(jù)所得的夾角來(lái)劃分子空間，下節(jié)將詳細(xì)介紹子空間的劃分方法。

2.2 子空間的劃分方法

首先，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)X∈Rn×m進(jìn)行PCA 分解，得到PCS 和RS，然后計(jì)算變量i(i=1,2,…,m)與PCS 的夾角θiPCS

其中，Xi代表X的第i列，即第i個(gè)變量。變量i與RS 的夾角θiRS

由于Xi是一個(gè)向量，而T和均為一個(gè)矩陣，求上述夾角，即求一個(gè)向量與一個(gè)矩陣所張成的子空間之間的夾角[17-18]。

設(shè)T張成的子空間為F1，即

分別對(duì)T和Xi作QR 分解，求得標(biāo)準(zhǔn)正交基

然后對(duì)作SVD 分解

則向量Xi與矩陣T所張成的子空間F1 之間的夾 角為

其中0°≤θiPCS≤90°，由于PCS 和RS 正交互補(bǔ)，所以有下面等式成立

式(9)表明：同一變量與PCS 的夾角同與RS 的夾角之和為定值90°。說(shuō)明某變量與PCS 夾角越小，則與RS 夾角越大，夾角的大小表征相似程度的高低，故可依據(jù)每個(gè)變量與PCS 和RS 相似性的高低來(lái)劃分子空間。由于=90° -，因此統(tǒng)一采用θiPCS來(lái)構(gòu)造子空間。定義θcut1和θcut2作為分界值，構(gòu)造的3 個(gè)子空間如圖1所示：①子空間Ⅰ，變量與PCS相似性高，0°≤θiPCS≤θcut1；②子空間Ⅱ，變量與RS 相似性高，θcut2≤θiPCS≤90°；③子空間Ⅲ，變量與PCS 和RS 相似性均低：θcut1≤θiPCS≤θcut2。

選取分界值θcut1和θcut2時(shí)，要確保每個(gè)子空間內(nèi)部的有效性，有效性體現(xiàn)在同一子空間中的θiPCS相對(duì)集中，因此可采用K均值聚類算法對(duì)(i=1,2,…,m)進(jìn)行聚類，得到子空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中的變量。聚類完成后，子空間Ⅰ中最大角度記為θI,max，子空間Ⅲ中最小角度記為θIII,min，最大角度記為θIII,max，子空間Ⅱ中最小角度記為θII,min，則分界值θcut1∈[θI,max,θIII,min)，θcut2∈(θIII,max,θII,min]。

圖1 3 個(gè)子空間構(gòu)造示意Fig.1 Schematic diagram of three subspaces construction

2.3 監(jiān)控結(jié)果整合

子空間構(gòu)造完成后，全部過(guò)程變量被劃分成3塊。在每個(gè)子空間中，計(jì)算馬氏距離作為監(jiān)控指標(biāo)

其中，s表示子空間，取1，2，3（對(duì)應(yīng)子空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），Xs表示子空間s中的變量構(gòu)成的矩陣，Ss表示子空間s的協(xié)方差矩陣，ms表示子空間s所包含的變量數(shù)目，滿足：表示自由度為ms的控制限。

通常情況下，不同子空間的監(jiān)控模型具有不同的控制限，因?yàn)樽涌臻g的自由度ms不一定相同。因此，對(duì)于新的監(jiān)控樣本xnew，不能從3 個(gè)子空間的監(jiān)控結(jié)果直接得到最終的監(jiān)控結(jié)果。本文采用貝葉斯推斷策略，將3 個(gè)子空間的監(jiān)控結(jié)果以概率的形式整合[19]。首先，xnew在每個(gè)子空間中發(fā)生故障的概率計(jì)算如下

式中，N和F分別代表正常和故障，P(N)和P(F)分別代表正常和故障的先驗(yàn)概率，P(N)和P(F)分別定義為α和1-α，其中α表示置信水平。為了得到Ps(F|xnew)，還需要知道Ps(xnew|N)和Ps(xnew|F)，對(duì)這兩個(gè)概率定義如下

這樣便得到xnew在每個(gè)子空間中發(fā)生故障的概率Ps(F|xnew)。定義最終的監(jiān)控結(jié)果為 BIC(xnew)，為了更好地整合結(jié)果，采用添加權(quán)重的方法將得到的3 個(gè)概率作如下整合，求得最終的監(jiān)控結(jié)果

整合后的控制限： BIClim=1-α，當(dāng) BIC(xnew)超過(guò)控制限時(shí)，說(shuō)明有故障發(fā)生，否則，視為正常過(guò)程。

對(duì)于變量間關(guān)聯(lián)強(qiáng)的化工過(guò)程，θiPCS(i=1,2,…,m)的分布會(huì)相對(duì)集中一些，可能會(huì)出現(xiàn)某個(gè)子空間為空的情況。

3 基于FVI 方法的過(guò)程監(jiān)控

基于FVI 方法的過(guò)程監(jiān)控包括離線建模和在線檢測(cè)兩個(gè)階段。

3.1 離線建模

（1）采集正常訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)X，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；

（2）對(duì)X進(jìn)行PCA 分解，得到主元空間PCS和殘差空間RS；

（3）根據(jù)式(8)，計(jì)算Xi與PCS 的夾角θiPCS；

（4）對(duì)θiPCS進(jìn)行聚類，Xi被分成3 塊，對(duì)應(yīng)子空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；

（5）在每個(gè)子空間中，計(jì)算協(xié)方差矩陣Ss，根據(jù)式(10)確定子空間的控制限D(zhuǎn)s,lim；

（6）取整合后的控制限 BIClim。

3.2 在線檢測(cè)

（1）對(duì)于新的測(cè)試數(shù)據(jù)xnew，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；

（2）根據(jù)離線建模步驟(4)，xnew的全部變量相應(yīng)地被分成3 塊，構(gòu)成子空間Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；

（3）在每個(gè)子空間中，利用離線建模階段得到的Ss，計(jì)算馬氏距離Ds；

（4）利用貝葉斯推斷策略整合3 個(gè)子空間的監(jiān)控結(jié)果，得到 BIC(xnew)；

（5）判斷 BIC(xnew)是否超過(guò)控制限 BIClim，若超過(guò)，說(shuō)明有故障發(fā)生，否則視為正常。

圖2為離線建模和在線檢測(cè)的流程圖。

圖2 FVI 方法的流程Fig.2 Flowchart of FVI method

4 仿真實(shí)例

本節(jié)對(duì)兩個(gè)例子進(jìn)行仿真研究，第1 個(gè)是數(shù)值例子，第2 個(gè)是Tennessee Eastman（TE）過(guò)程。將FVI（BIC）方法與PCA（T2，SPE）方法的仿真結(jié)果進(jìn)行比較，證明本文方法的有效性。

4.1 數(shù)值仿真

本節(jié)參照文獻(xiàn)[8]中的數(shù)值例子，構(gòu)造出的數(shù)值模型結(jié)構(gòu)如下

其中，t=[t1,t2,t3,t4,t5]T是零均值高斯分布的數(shù)據(jù)源，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為1，0.8，0.6，0.9 和0.3。噪聲noise 服從零均值，標(biāo)準(zhǔn)差為0.01 的高斯分布。首先，在正常工況下，產(chǎn)生800 個(gè)樣本作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)。然后設(shè)定兩個(gè)故障：故障1，201T=時(shí)刻起給x3加一個(gè)幅值為1 的階躍信號(hào)；故障2，T=201 時(shí)刻起給t5加一個(gè)幅值為3 的階躍信號(hào)。兩種故障工況下，分別產(chǎn)生800 個(gè)樣本作為測(cè)試數(shù)據(jù)。在測(cè)試數(shù)據(jù)中，前200 個(gè)樣本是正常樣本，后600 個(gè)樣本是故障樣本。

表1 兩種方法的誤報(bào)率和漏報(bào)率Table 1 Fault alarm rate and miss alarm rate of two methods/%

PCA 方法采用方差貢獻(xiàn)度選取主元個(gè)數(shù)，設(shè)定方差貢獻(xiàn)度為0.85。FVI 方法的參數(shù)設(shè)置如下：PCS的維度為2。計(jì)算每個(gè)變量與PCS 的夾角，對(duì)夾角值進(jìn)行K均值聚類，構(gòu)造的3 個(gè)子空間變量組成如下：子空間Ⅰ：x4，x5；子空間Ⅱ：x2；子空間Ⅲ：x1，x3。統(tǒng)計(jì)量的置信限均為0.99。

表1給出了PCA 方法和FVI 方法對(duì)兩個(gè)故障檢測(cè)得到的誤報(bào)率和漏報(bào)率，表中粗體表示檢測(cè)結(jié)果的最優(yōu)值。從表1可看出，與PCA（T2，SPE）方法相比，F(xiàn)VI（BIC）方法的檢測(cè)效果更好。當(dāng)誤報(bào)率在允許范圍內(nèi)，對(duì)于故障1，PCA（T2，SPE）方法中T2統(tǒng)計(jì)量和SPE 統(tǒng)計(jì)量的漏報(bào)率均在90%以上，基本檢測(cè)不出故障；而FVI（BIC）方法中BIC 統(tǒng)計(jì)量的漏報(bào)率為0，可以準(zhǔn)確地檢測(cè)出故障1。對(duì)于故障2，PCA（T2，SPE）方法中T2統(tǒng)計(jì)量的漏報(bào)率為13%，SPE 統(tǒng)計(jì)量的漏報(bào)率為85%，檢測(cè)效果較差；而FVI（BIC）方法仍然可以準(zhǔn)確地檢測(cè)出故障。

為了更好地說(shuō)明FVI 方法的有效性，圖3給出了兩種方法的統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)值例子中故障1 的莖葉圖，圖中縱坐標(biāo)分別表示T2值、SPE 值和BIC 值。由圖3可知，對(duì)于數(shù)值例子中故障1，故障數(shù)據(jù)與正常數(shù)據(jù)的T2和SPE 值沒(méi)有明顯差別，說(shuō)明T2和SPE 不能有效地區(qū)別正常數(shù)據(jù)與故障數(shù)據(jù)；而故障數(shù)據(jù)的BIC值明顯大于正常數(shù)據(jù)的BIC值,說(shuō)明BIC能很好地識(shí)別故障。

4.2 TE 過(guò)程仿真

圖3 數(shù)值例子故障1 的 T 2、SPE 和BIC 莖葉圖Fig.3 T2,SPE and BIC stem plots of fault 1 in numerical example

TE 過(guò)程是基于實(shí)際工業(yè)過(guò)程的仿真實(shí)例，已經(jīng) 被廣泛作為連續(xù)過(guò)程的策略、監(jiān)視、診斷、優(yōu)化的研究平臺(tái)。整個(gè)過(guò)程包含5 個(gè)主要操作單元，即反應(yīng)器、冷凝器、氣液分離塔、循環(huán)壓縮機(jī)和汽提塔。TE 模型具有6 種操作模式，12 個(gè)操作變量和41 個(gè)測(cè)量變量，并且可以人工設(shè)定21 種故障工況[20-22]。

本文采用單模態(tài)數(shù)據(jù)作為過(guò)程數(shù)據(jù)，選取33個(gè)變量作為過(guò)程監(jiān)控變量。在正常工況下，采集960個(gè)樣本作為訓(xùn)練集；在故障工況下，每個(gè)故障采集960 個(gè)樣本作為測(cè)試集，故障均在第160 個(gè)采樣點(diǎn)加入。所取的置信限均為0.99。在21 種故障中，故障3、9 和15 難以檢測(cè)且對(duì)過(guò)程影響較小，因此，本文選取剩余的18 種故障用于檢測(cè)。

在PCA 方法中，首先對(duì)正常工況下的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，然后進(jìn)行PCA 建模，采用方差貢獻(xiàn)度選取主元個(gè)數(shù)，設(shè)定方差貢獻(xiàn)度為0.85；在FVI 方法中，同樣先對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，接著進(jìn)行PCA 分解，得到PCS 和RS，PCS 的維度為9，由交叉驗(yàn)證得到。對(duì)33 個(gè)夾角值進(jìn)行K均值聚類，3 個(gè)子空間的變量組成如表2所示。表3給出了PCA 方法和FVI方法對(duì)18 種故障的平均誤報(bào)率，表4給出了兩種方法對(duì)18 種故障的漏報(bào)率，表中粗體表示檢測(cè)結(jié)果的最優(yōu)值。從表4可看出，對(duì)于18 種故障，F(xiàn)VI 方法對(duì)其中17 種故障均能達(dá)到最優(yōu)的監(jiān)控結(jié)果，僅故障13 較PCA 方法漏報(bào)率略高一些。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于故障1，2，6，7，8，12，13，14，18，PCA方法和FVI 方法的漏報(bào)率都很低，這是因?yàn)樯鲜龉收戏容^大，很容易被檢測(cè)出來(lái)。而對(duì)于一些較難檢測(cè)的故障，如故障5，10，16，19，PCA（T2，SPE）方法的漏報(bào)率均超過(guò)了65%，而FVI（BIC）方法的漏報(bào)率均低于15%。這是因?yàn)镻CA 方法在降維時(shí)丟失了一部分重要的信息，所以很難檢測(cè)出這些小的擾動(dòng)。而FVI 方法在降維的同時(shí)保存了完整的變量信息，因而檢測(cè)能力顯著提高。

表2 3 個(gè)子空間的變量組成Table 2 Variable composition of three subspaces

表3 兩種方法的故障平均誤報(bào)率Table 3 Average fault alarm rate of two methods/%

表4 兩種方法的故障漏報(bào)率Table 4 Miss alarm rate of two methods/%

5 結(jié) 論

本文提出了一種新的基于全變量信息的子空間監(jiān)控方法?；赑CA 分解，得到PCS 和RS，依據(jù)每個(gè)變量與PCS 和RS 相似性的高低來(lái)構(gòu)造子空間，并在每個(gè)子空間中建立故障監(jiān)控模型。相較于傳統(tǒng)PCA 方法，本文方法保存了全部過(guò)程變量，可以更充分地利用過(guò)程信息，數(shù)值仿真和TE 過(guò)程仿真說(shuō)明了該方法的有效性，過(guò)程監(jiān)控的效果得到了較大的改善。然而，對(duì)于實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程，有時(shí)很難得到變量在子空間發(fā)生故障的先驗(yàn)概率，因此本文方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)會(huì)存在一定的局限性。

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