兩相流流動結(jié)構(gòu)多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面特征

樊春玲，金寧德，陳秀霆，竇富祥，高忠科

(1 天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072；2 青島科技大學(xué)自動化與電子工程學(xué)院，山東 青島 266042)

引 言

在石油、化工及核反應(yīng)堆等工業(yè)過程領(lǐng)域存在著大量的兩相流動現(xiàn)象。兩相流復(fù)雜相間界面特性對傳熱傳質(zhì)速率、動量損失和壓力損失等過程影響很大。迄今，直接采用數(shù)學(xué)物理模型實現(xiàn)兩相流流動特性預(yù)測及控制難度很大，而采用兩相流瞬態(tài)觀測數(shù)據(jù)理解其流動特性仍是重要的研究途徑之一[1-2]。兩相流是具有混沌、耗散、有序與無序等復(fù)雜特征的動力學(xué)系統(tǒng)，非線性分析方法為揭示兩相流復(fù)雜動力學(xué)行為及其自組織模式演化機制提供了另外一種視角。早期研究多從兩相流可測波動信號中提取系統(tǒng)復(fù)雜性特征指標(biāo)（相關(guān)維數(shù)、Kolmogorov 熵、Lyapunov 指數(shù)），并在流化床傳熱動力學(xué)特性[3]、氣液固/氣固/氣液流化床瞬態(tài)行為[4-6]、氣液及氣液液多相流壓力波動分析[7-9]、流化床凝聚狀態(tài)早期預(yù)警[10]及段塞流非線性特性[11]等方面取得了較好進(jìn)展。此外，多尺度分辨法[12]（頻域角度）及多尺度熵法[13]（時域角度）從微觀及宏觀角度豐富了對兩相流流型演化特性理解。但是，現(xiàn)有非線性指標(biāo)描述兩相流動力學(xué)特性輪廓并非完全清晰[14]，尚需挖掘能夠反映兩相流流型時空變化物理本質(zhì)的其他更好指標(biāo)系列。

在以往的復(fù)雜性測度研究中，完全有序過程概率分布集中在一種狀態(tài)，只需獲取少量信息就能夠?qū)ζ湎到y(tǒng)行為進(jìn)行描述，因此信息認(rèn)為是最小的。而最大隨機過程是完全無序的，系統(tǒng)能達(dá)到任意狀態(tài)均是等概率發(fā)生的，因此信息認(rèn)為是最大的。完全有序和最大隨機作為簡單系統(tǒng)，在“信息”度量中卻處于兩個極端（最大和最?。?，所以僅從“信息”角度刻畫兩相流復(fù)雜性具有一定的局限性。通過獲取系統(tǒng)概率分布偏離均勻分布（等概率分布）的距離不失為一種合理的復(fù)雜性測度方式，非均衡性正是能夠體現(xiàn)概率分布的這一特性。將“信息H”和“非均衡性Q”結(jié)合作為一種統(tǒng)計復(fù)雜性測度C HQ=[15]，這樣對于完全有序和最大隨機表現(xiàn)為零的統(tǒng)計復(fù)雜性，而在這兩種特定情況中間存在著大量可能程度的物理性結(jié)構(gòu)，它們的統(tǒng)計復(fù)雜性程度可由潛在的系統(tǒng)概率分布特征反映，由此衍生出一系列統(tǒng)計復(fù)雜性測度，并用于揭示隱含在系統(tǒng)內(nèi)部的復(fù)雜動力學(xué)特性。

熵作為刻畫非線性系統(tǒng)復(fù)雜程度的一個重要表征量，有助于理解兩相流動力學(xué)行為[16-18]。在熵理論發(fā)展中，Rosso 研究組[19-21]結(jié)合統(tǒng)計復(fù)雜性測度提出了描述系統(tǒng)動態(tài)特性的復(fù)雜熵因果關(guān)系平面分析法（complexity entropy causality plane，CECP），該方法結(jié)合排列熵算法[22]，通過統(tǒng)計相空間內(nèi)向量的排列規(guī)律表征系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度，并在非線性時間序列分析中受到廣泛關(guān)注[23-26]。本研究將CECP 法推廣到時域多尺度分析，以期從微觀及宏觀上描述兩相流流動結(jié)構(gòu)信息丟失過程細(xì)節(jié)，進(jìn)而豐富對兩相流流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性及復(fù)雜性的動力學(xué)行為認(rèn)識，為理解兩相流流動結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)特性提供一種有用的分析工具。

1 多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面

1.1 統(tǒng)計復(fù)雜性理論

統(tǒng)計復(fù)雜性可以用于描述結(jié)構(gòu)簡單但具有復(fù)雜動力學(xué)特性的系統(tǒng)，能夠揭示隱含在其動力學(xué) 特征內(nèi)部的復(fù)雜模式[27]。對于給定系統(tǒng)的概率分 布P={pj,j=1,2,…,N}，利用 Shannon 信息熵 理論可以得到其物理過程的不確定性測度為在該信息測度下，S[P]的大小表征了系統(tǒng)的復(fù)雜性。而當(dāng)概率分布服從均勻分布即P=Pe時，S[P]取最大值，記為Smax，此時系統(tǒng)為最大隨機狀態(tài)。因此，可以定義系統(tǒng)的無序性量H

在統(tǒng)計復(fù)雜性理論中，系統(tǒng)分布概率到該系統(tǒng)均勻分布概率的統(tǒng)計距離的測度記為D[P,Pe]。同時為了描述系統(tǒng)特性到最大隨機狀態(tài)的這種差距提出了非均衡性Q的概念，它可以定義為 [ ]Q P=Q0D[P,Pe]，這里Q0是歸一化常量，0≤Q≤1。將統(tǒng)計復(fù)雜性測度定義為

統(tǒng)計復(fù)雜性測度反映了系統(tǒng)內(nèi)部信息量與非均衡性之間的相互關(guān)系，對應(yīng)熵測度S和非均衡性Q的不同取值產(chǎn)生不同的統(tǒng)計復(fù)雜性測度，其中包括SDL 統(tǒng)計復(fù)雜性測度[28]和LMC 統(tǒng)計復(fù)雜性測 度[29]。Lamberti 等[20]研究了Logistic 映射信號的SDL 統(tǒng)計復(fù)雜性和LMC 統(tǒng)計復(fù)雜性，進(jìn)而引入Jenson-Shannon 差異度代替LMC 復(fù)雜性測度的Euclidean 距離不平衡性，提出了一種Jenson-Shannon 統(tǒng)計復(fù)雜性測度方法。該方法是一種強度量統(tǒng)計復(fù)雜性測度算法，能夠更好地反映系統(tǒng)動力學(xué)特性的關(guān)鍵細(xì)節(jié)部分，而且能區(qū)分不同程度的周期性和混沌，而這種信息通過隨機性測度是不能辨別出來的[30]。

1.2 多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面

Jenson-Shannon 統(tǒng)計復(fù)雜性測度用符號CJS[P] 表示，它是描述時間序列概率分布P的一個函數(shù)，定義為

式中，概率分布P={pj,j=1,2,…,N}，QJ為Jensen-Shannon 非均衡性或差異度，HS為歸一化排列熵。

JQ是復(fù)雜性測度函數(shù)中的Jensen-Shannon 差異度，它可以通過式(4)計算[21]

式中，Q0是一個歸一化常數(shù)，對于Jensen-Shannon 熵它的值為

排列熵SH的計算過程如下[22]。

給定一長度為N的離散時間序列，對其進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到向量 X(i)

式中，m為嵌入維數(shù)，τ為延遲時間。將向量X(i)進(jìn)行升序排列為

若存在值相等的情況則按j值大小進(jìn)行排列。由此，任意向量X(i)可以唯一用一個符號序號表示

式中，g=1,2,… ,k;k≤m!。

對于嵌入m維的相空間共有m!種排列可能，統(tǒng)計每次排列出現(xiàn)的次數(shù)nk(k≤m!)。計算每一種排列出現(xiàn)的概率為

當(dāng)P(k)=1/m!時，S[P]達(dá)到最大值Smax=lnm!，因此可以得到歸一化的排列熵

在排列熵計算過程中，嵌入維數(shù)m與延遲時間τ是兩個需要確定的參數(shù)。Bandt 等[22]建議：嵌入維數(shù)m=3,4,… ,7；時間延遲τ=1。時間序列長度N的選擇應(yīng)該足夠長，從而保證熵值計算的精度，這里有N≥m!。

為了研究統(tǒng)計復(fù)雜性測度CJS的時間演變特性，Rosso 等[21]提出了以排列熵HS為橫坐標(biāo)、CJS為縱坐標(biāo)的復(fù)雜熵因果關(guān)系平面圖（簡稱為C-H平面圖）。根據(jù)熱力學(xué)第二定律，HS是隨時間單調(diào)增加的，因此HS可以用來代替時間作為橫坐標(biāo)。為了彌補單尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面反映物理性結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)方面不足，本研究將單尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面分析法推廣到時域多尺度分析。

時域多尺度粗粒化方法如下[31]：

（1）給定一維離散時間序列{x(i),i=1,2,… ,N}；

（2）構(gòu)建連續(xù)粗?；臅r間序列，當(dāng)尺度為1時序列為原始時間序列{x(i),i=1,2,… ,N}，當(dāng)尺度為s時序列粗?；癁閧(j),j=1,2,… ,N/s}，其中

（3）計算并繪制粗?；蟾鞒叨认聲r間序列的復(fù)雜熵因果關(guān)系平面圖。

2 單尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面特征

垂直上升管中氣液兩相流實驗裝置描述見文獻(xiàn)[32]。實驗介質(zhì)為空氣和自來水。實驗時，先在管道中通入固定的水相流量，然后在管道中逐漸增加氣相流量，每完成一次氣水兩相流配比后，等出現(xiàn)穩(wěn)定流型再記錄電導(dǎo)傳感器輸出的波動信號。實驗水相流量Qw范圍為1～12 m3·h-1，氣相流量Qg范圍為0.5～100 m3·h-1，電導(dǎo)信號采樣頻率為400 Hz，每種流動工況條件記錄50 s，共采集20000個數(shù)據(jù)點。實驗中觀察到泡狀流（bubble）、段塞流（slug）、混狀流（churn）3 種典型流型。圖1為水相流量為6 m3·h-1時3 種不同氣相流量時的電導(dǎo) 傳感器電壓波動信號。

圖1 不同氣相流量時電導(dǎo)傳感器波動信號Fig.1 Conductance fluctuating signals with different gas flow rates (Qw=6 m3·h-1)

在單尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面分析中，取數(shù)據(jù)長度為18000 點、嵌入維數(shù)為6、最大粗?；叨葹?0。圖2是尺度為1 時計算的3 種流型不同流動工況下電導(dǎo)傳感器波動信號復(fù)雜熵因果關(guān)系平面圖（C-H圖）?？梢钥闯觯号轄盍鳌⒍稳骷盎鞝盍髟趶?fù)雜熵因果關(guān)系平面上呈現(xiàn)流型線性可分辨特性，表現(xiàn)為段塞流熵值最低、泡狀流熵值最高、混狀流介于其中間值，其熵值高低與流型對應(yīng)關(guān)系與先前研究的結(jié)論一致[13]。

圖2 單尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面流型分布Fig.2 Flow pattern distribution on single scale complexity entropy causality plane

3 多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面特征

為理解典型混沌系統(tǒng)多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面特征，首先考察了Lorenz 混沌系統(tǒng)x序列的多尺度C-H圖，如圖3所示。

其中，Lorenz 混沌系統(tǒng)方程為

式中，s=16，r=45.92，b=4，初值(x0,y0,x0)=( -1 ,0,1)。

分別選取3 種不同長度序列考察多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面特性?？梢钥闯觯焊叱叨葧r序列長度對復(fù)雜熵計算結(jié)果有較大影響，在尺度20 以內(nèi)應(yīng)保證具有足夠大的序列長度（N≥15000）。

圖3(a)～(c)中，隨著尺度增加，從原始序列構(gòu)成尺度信號的采樣間隔增大，使得尺度信號點與點之間的相關(guān)性降低，信號排列方式變得復(fù)雜多樣，導(dǎo)致隨尺度的增加排列熵亦增加；而復(fù)雜熵CJS則在低尺度先增大，然后在中高尺度略有下降。復(fù)雜熵認(rèn)為完全有序和最大隨機的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)都很簡單，具有趨于零的統(tǒng)計復(fù)雜性，而在這兩種特定情況中間存在著大量可能程度的物理性結(jié)構(gòu)。圖3(d)中，隨著尺度增加（尺度 8s=及 10s=），信號的結(jié)構(gòu)信息在丟失（頻率增大），但仍能保持原始信號一定的結(jié)構(gòu)信息，稱這個過程為信號結(jié)構(gòu)信息保持階段。隨著尺度繼續(xù)增加（尺度 15s=及 20s=），信號結(jié)構(gòu)信息很快丟失，信號點與點之間的相關(guān)性已經(jīng)很低，變得類似隨機，稱此階段為信號結(jié)構(gòu)信息快速丟失階段。

在分析Lorenz 混沌系統(tǒng)x序列MS-CECP 基礎(chǔ)上，從氣液兩相流電導(dǎo)傳感器波動信號中處理得到了多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面（圖4）。分析結(jié)果 如下。

對于段塞流，低尺度復(fù)雜熵變化速率（斜率）均比泡狀流及混狀流低，表明段塞流微觀動力學(xué)復(fù)雜性較低，這與文獻(xiàn)[13]中多尺度樣本熵率變化相吻合；當(dāng)尺度在10 以上時，復(fù)雜熵達(dá)到穩(wěn)定峰值后隨尺度增加緩慢下降，亦伴隨著段塞流流動結(jié)構(gòu)信息逐漸丟失，特別是在高液相流量（Qw=8.0 m3·h-1及Qw=12.0 m3·h-1）時，由于高液相流量的強湍流作用結(jié)果，復(fù)雜熵值下降程度加大，段塞流流動結(jié)構(gòu)信息丟失加大[圖4(i)～(l)]，但是總體上段塞流在宏觀上保持著較好的流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

對于泡狀流，前3 個尺度復(fù)雜熵變化速率（斜率）與混狀流差別不大，但明顯比段塞流復(fù)雜熵變化率大，表明泡狀流比段塞流具有更復(fù)雜的微觀動力學(xué)行為；當(dāng)尺度大于3 時，泡狀流復(fù)雜熵達(dá)到峰值后隨尺度增加迅速下降，泡狀流流動結(jié)構(gòu)信息迅速丟失，表明泡狀流宏觀流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性較差（隨機性增強），約在尺度12 時復(fù)雜熵值基本保持穩(wěn)定；在高液相流量（Qw=12.0 m3·h-1）時[圖4(k)、(l)]，尺度大于12 時的復(fù)雜熵不再保持先前的穩(wěn)定狀態(tài)，出現(xiàn)復(fù)雜熵進(jìn)一步降低現(xiàn)象（降低截止值約為CJS=0.275），泡狀流流動結(jié)構(gòu)信息繼續(xù)丟失，表明泡狀流向穩(wěn)定性更差的細(xì)小泡狀流轉(zhuǎn)化。

對于混狀流，前3 個尺度復(fù)雜熵變化速率（斜率）與泡狀流差別不大，但尺度在3 以上時混狀流復(fù)雜熵達(dá)到峰值后隨尺度增加迅速下降，尤其是尺度在12 以上時復(fù)雜熵值保持繼續(xù)下降趨勢，這與泡狀流情形明顯不同，這種混狀流流動結(jié)構(gòu)信息繼續(xù)丟失過程指示混狀流向流動結(jié)構(gòu)極不穩(wěn)定性方向發(fā)展，在高液相流量（Qw=12.0 m3·h-1）時尤為顯著（復(fù)雜熵降低截止值約為CJS=0.20）。

值得指出的是：在多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面上（C-H圖），當(dāng)氣液兩相流流動工況參數(shù)變化時，3 種流型（泡狀流、混狀流、段塞流）基本保持了在MS-CECP 平面上的各自獨特的特征，從微觀及宏觀角度豐富了對流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性及復(fù)雜性的動力學(xué)行為認(rèn)識。

4 結(jié) 論

圖3 Lorenz 系統(tǒng)x 序列多尺度C-H 平面特征Fig.3 Multiscale C-H plane of sequence in xdirection of Lorenz system

圖4 兩相流多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面分布特征Fig.4 Multiscale complexity entropy causality plane distribution of two-phase flow

將描述系統(tǒng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的Jenson-Shannon 統(tǒng)計復(fù)雜性測度與描述系統(tǒng)隨機性的排列熵相結(jié)合構(gòu)建了 多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面（MS-CECP）分析方法，通過考察氣液兩相流3 種流型（泡狀流、段塞流、混狀流）在MS-CECP 上的復(fù)雜熵隨尺度變化獲取了不同流型流動結(jié)構(gòu)信息連續(xù)丟失過程細(xì)節(jié)，進(jìn)而刻畫出氣液兩相流流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性及復(fù)雜性?？傮w上，段塞流在微觀及宏觀上保持著較好的流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性及確定性行為；泡狀流與混狀流比段塞流具有更復(fù)雜的微觀動力學(xué)行為，其宏觀流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性更差，尤其是在高液相流量時泡狀流表現(xiàn)為向穩(wěn)定性更差的細(xì)小泡狀流轉(zhuǎn)化，而混狀流向流動結(jié)構(gòu)極不穩(wěn)定方向發(fā)展。

通過氣液兩相流多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系分析豐富了對泡狀流、段塞流及混狀流流動結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性及復(fù)雜性的認(rèn)識，從非均衡性角度提取系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計復(fù)雜度測度有助于揭示隱含在系統(tǒng)內(nèi)的復(fù)雜動力學(xué)特征新模式，也為兩相流流型識別提供了另外一種視角，而本研究提出的多尺度復(fù)雜熵因果關(guān)系平面分析方法向其他類型多相流流動結(jié)構(gòu)（如氣液液三相流及液液兩相流）拓展及應(yīng)用也將是有益的探索。

[1]Daw C S,Finney C E A,Vasudevan M,van Goor N A,Nguyen K,Bruns D D,Kostelich E J,Grebogi C,Ott E,Yorke J A.Self-organization and chaos in a fluidized bed [J].Phys.Rev.Lett.,1995,75 (12):2308-2311

[2]Franca F,Acikgoz M,Lahey R T,Clausse A.The use of fractal techniques for flow regime identification [J].Int.J.Multiphase Flow,1991,17 (4):545-552

[3]Yuan Zhulin (袁竹林),Shen Xianglin (沈湘林),Xu Yiqian (徐益謙).Chaos study on heat transfer characteristics in a fluidized bed [J].Science in China:Series A(中國科學(xué):A 輯),1994,24(9):986-922

[4]Wen Jianping (聞建平),Liang Lan(梁嵐),Liu Mingyan(劉明言),Zhang Jinli (張金利),Hu Zongding (胡宗定).Local nonlinear characteristics of gas-liquid-solid three-phase self-aspirated reversed flow jet loop reactor [J].Transactions of Tianjin University(天津大學(xué)學(xué)報),1998,4 (2):109-113

[5]Chen Yafei (陳亞非),Gao Xiang (高翔),Luo Zhongyang (駱仲泱),Zhou Jinsong (周勁松),Ni Mingjiang (倪明江),Cen Kefa (岑可法).The chaos research of air-solid two-phase flow transient heat transfer [J].Proceedings of CSEE(中國電機工程學(xué)報),1998,18 (4):270-274

[6]Gu Lili (顧麗莉),Shi Yanfu (石炎福),Yu Huarui (余華瑞).Chaotic analysis of pressure fluctuation signal the gas-liquid cocurrent flow [J].Chemical Reaction Engineering and Technology(化學(xué)反應(yīng)工程與工藝),1999,15 (4):428-434

[7]Zhou Yunlong (周云龍),Shen Zengming (沈增明),Chen Tingkuan (陳聽寬),Chen Xuejun (陳學(xué)俊).Lumpec parameter nonlinear analysis of steam-liquid two phase flow pressure drop oscillation in evaporator tubes [J].Journal of Chemical Industry and Engineering(China) (化工學(xué)報),1996,47 (4):500-504

[8]Bai Bofeng (白博峰),Guo Liejin (郭烈錦),Chen Xuejun (陳學(xué)俊).Nonlinear analysis on pressure fluctuation phenomena of air-water two-phase flow [J].Journal of Engineering Thermophysics(工程熱物理學(xué)報),2001,22 (3):350-362

[9]Jin Ningde (金寧德),Wang Weiwei (王微微),Ren Yingyu (任英玉),Zhong Xingfu (鐘興福),Tian Shuxiang (田樹祥).Fractal and chaotic charateristics of oil-gas-water three phase bubble flow pattren [J].Chinese Journal of Geophysics(地球物理學(xué)報) ,2001,44 (z1):266-274

[10]van Ommen J R,Coppens M O,van den Bleek C M,Schouten J C.Early warning of agglomeration in fluidized beds by attractor comparison [J].AIChE Journal,2000,46 (11):2183-2197

[11]He Limin (何利民),Zhao Qingjun (趙慶軍),Chen Zhenyu (陳振瑜).A fluctuation analysis of slug velocities for two phase slug flow in a horizontal pipe [J].Proceedings of CSEE(中國電機工程學(xué)報),2003,23 (12):189-193

[12]Zhao Guibing,Yang Yongrong.Multi-scale resolution of fluidized-bed pressure fluctuations [J].AIChE Journal,2003,49 (4):869-882

[13]Zheng Guibo (鄭桂波),Jin Ningde (金寧德).Multiscale entropy and dynamic characteristics of two-phase flow patterns [J].Acta Phys.Sin.(物理學(xué)報) ,2009,58 (7):4485-4492

[14]Ruud J van Ommena,Srdjan Sasic,John van der Schaaf Stefan Gheorghiu,Filip Johnsson,Marc-Olivier Coppens.Time-series analysis of pressure fluctuations in gas-solid fluidized beds—a review [J].Int.J.Multiphase Flow,2011,37 (5):403-428

[15]Lopez-Ruiz R,Mancini H L,Calbet X.A statistical measure of complexity [J].Phys.Lett.A,1995,209:321-326

[16]Letzel H M,Schouten J C,Krishna R,van den Bleek C M.Characterization of regimes and regime transitions in bubble columns by chaos analysis of pressure signals [J].Chemical Engineering Science,1997,52 (24):4447-4459

[17]Liu M Y,Hu Z D.Studies on the hydrodynamics of chaotic bubbling in a gas-liquid bubble column with a single nozzle [J].Chemical Engineering & Technology,2004,27 (5):537-547

[18]Lin Ping (林萍),Wang Xiaoping (王曉萍),Chen Bochuan (陳伯川),Huang Yilun (黃軼倫).Character of approximate entropy and its application in the complexity measurement of gas-solid fluidized bed [J].Journal of Chemical Engineering of Chinese Universities(高校化學(xué)工程學(xué)報),2004,18 (3):281-286

[19]Martín M T,Plastino A,Rosso O A.Statistical complexity and disequilibrium [J].Phys.Lett.A,2003,311:126-132

[20]Lamberti P W,Martín M T,Plastino A,Rosso O A.Intensive entropic non-triviality measure [J].Physica A,2004,334 (1):119-131

[21]Rosso O A,Larrondo H A,Martin M T,Plastino A,Fuentes M A.Distinguishing noise from chaos [J].Phys.Rev.Lett.,2007,99 (15):154102-154105

[22]Bandt C,Pompe B.Permutation entropy:a natural complexity measure for time series [J].Phys.Rev.Lett.,2002,88 (17):174102-174105

[23]Zanin M,Zunino L,Rosso O A,Papo D.Permutation entropy and its main biomedical and econophysics applications:a review [J].Entropy,2012,14:1553-1577

[24]Zunino L,Zanin M,Tabak B M,Perez D G,Rosso O A.Complexity-entropy causality plane:a useful approach to quantify the stock market inefficiency [J].Physica A,2010,389:1891-1901

[25]Zunino L,Tabak B M,Serinaldi F,Zanin M,Perez D G,Rosso O A.Commodity predictability analysis with a permutation information theory approach [J].Physica A,2011,390 (5):876-890

[26]Ribeiro H V,Zunino L,Mendes R S,Lenzi E K.Complexity-entropy causality plane:a useful approach for distinguishing songs [J].Physica A,2012,391 (7):2421-2428

[27]Kantz H,Kurths J,Meyer-Kress G.Nonlinear Analysis of Physiological Data [M].Berlin:Springer Publishing Company,Incorporated,2011:252-276

[28]Shiner J S,Davison M,Landsberg P T.Simple measure for complexity [J].Phys.Rev.E,1999,59:1459-1464

[29]Lopez-Ruiz R,Mancini H L,Calbet X.A statistical measure of complexity [J].Phys.Lett.A,1995,209:321-326

[30]Feldman D P,McTague C S,Crutchfield J P.The organization of intrinsic computation:complexity-entropy diagrams and the diversity of natural information processing [J].Chaos,2008,18 (4):43106-43123

[31]Costa M,Goldberger A L,Peng C K.Multiscale entropy analysis of complex physiologic time series [J].Phys.Rev.Lett.,2002,89 (6):68102-68105

[32]Jin N D,Zhao X,Wang J,Wang Z Y,Jia X H,Chen W P.Design and geometry optimization of a conductivity probe with a vertical multiple electrode array for measuring volume fraction and axial velocity [J].Meas.Sci.Technol.,2008,19:45403-45421