基于三次Hermite插值的局部特征尺度分解方法

李　軍，潘孟春

（1.國防科技大學　機電工程與自動化學院，長沙410082；2.空軍駐長沙地區(qū)軍事代表室，長沙410111）

基于三次Hermite插值的局部特征尺度分解方法

李軍1，2，潘孟春1

（1.國防科技大學機電工程與自動化學院，長沙410082；2.空軍駐長沙地區(qū)軍事代表室，長沙410111）

內(nèi)稟時間尺度分解（Intrinsic time-scale decomposition，簡稱ITD）方法采用線性變換獲得基線信號，使得分解結(jié)果出現(xiàn)毛刺和瞬時頻率失真現(xiàn)象。因此，在定義瞬時頻率具有物理意義的內(nèi)稟尺度分量（Intrinsic scale component，簡稱ISC）基礎(chǔ)上，提出基于三次Hermite插值的局部特征尺度分解方法（Cubic Hermite interpolation-Local characteristicscale decomposition，簡稱CHLCD），該方法能夠自適應地將一個復雜信號分解為若干個瞬時頻率具有物理意義的內(nèi)稟尺度分量之和。首先對CHLCD方法的原理進行分析，然后給出采用CHLCD對信號進行分解的詳細步驟，最后采用仿真信號和滾動軸承信號對CHLCD進行驗證，結(jié)果表明了CHLCD方法的有效性。

振動與波；局部特征尺度分解；三次Hermite插值；信號處理；故障診斷

傅里葉（Fourier）變換方法作為一種經(jīng)典的信號處理方法，得到了大量的應用，但Fourier變換僅僅可以處理線性或者平穩(wěn)信號，而實際中的大多數(shù)信號是非線性及非平穩(wěn)的。針對Fourier變換方法的不足，時頻分析得到了關(guān)注，由于其可以同時提供出非平穩(wěn)信號在頻域和時域的局部化信息，因此時頻分析常被用來處理非線性信號問題。傳統(tǒng)的時頻分析有窗口Fourier變換、Wigner-Wille分布和小波變換，但上述方法都存在一定的缺陷，如窗口Fourier變換具有一定的時頻窗口，Wigner-Wille分布有交叉項的干擾，而小波變換也需要小波基的選擇，缺乏自適應［1］。因此，傳統(tǒng)的信號分析方法在應用方面具有很大的局限性。

針對傅里葉變換和傳統(tǒng)時頻分析的不足，Mark G.Frei提出一種自適應的時頻分析方法——內(nèi)稟時間尺度分解（Intrinsic time-scale decomposition，簡稱ITD）方法［2］，該方法自適應地將非平穩(wěn)的信號分解為若干固有旋轉(zhuǎn)分量（Proper rotation component，簡稱PRC），且該分量的瞬時頻率具有一定的物理意義。在文獻［2］中將ITD方法和EMD方法進行對比，分析ITD方法在端點效應及計算速度上的優(yōu)勢，并且該方法克服了EMD方法的欠包絡、過包絡和LMD方法的信號突變等問題［3，4］。另外，由于ITD方法具有良好的非線性、非平穩(wěn)信號分析能力，已在機械故障診斷領(lǐng)域得到了應用［5，6］。但是該方法還是存在一定的缺陷，沒有對ITD方法及固有旋轉(zhuǎn)分量的物理意義進行闡述，而且ITD方法中的基線是通過基于信號自身的一種線性變換得到，因此第二個單分量開始，得到的單分量和一般意義上的單分量不同，其信號具有明顯的失真現(xiàn)象，從而得到的瞬時頻率及瞬時幅值有較大的失真［7］。

由于ITD方法存在一些固有的缺陷，因此一些改進的ITD方法被提出。文獻［8］采用三次樣條代替線性變換來包絡信號，文獻［9］利用三次B樣條插值代替線性變換包絡信號，均解決了毛刺和頻率失真問題。三次樣條插值法具有收斂性好、光滑度高等特點，但三次樣條插值會在包絡過程中產(chǎn)生過包絡或欠包絡現(xiàn)象，尤其在具有沖擊信息的強非平穩(wěn)信號中更加明顯。借鑒文獻［8，9］的思想，本文擬將三次Hermite插值應用于ITD方法中，該方法具有保形特性，尤其適合于具有強非平穩(wěn)特性信號的分析。因此結(jié)合標準三次Hermite插值和ITD方法的優(yōu)點，提出一種基于三次Hermite插值的局部特征尺度分解方法（CubicHermiteinterpolation-Local characteristic-scale decomposition，簡稱CHLCD）。

1　基于Hermite插值的內(nèi)稟時間尺度分解方法

標準三次Hermite插值法是一種工程中廣泛應用的插值曲線構(gòu)造方法，不僅具有三次樣條插值法收斂性好，光滑度高的特點，相比于三次樣條插值算法效率更高，且構(gòu)造的曲線僅要求節(jié)點處一階導數(shù)連續(xù)，在保證各點的連續(xù)性和平滑性的同時又具有優(yōu)良的保形特性，不存在三次樣條插值產(chǎn)生的過包絡和欠包絡現(xiàn)象，更適合于具有強非平穩(wěn)特性的振動信號的包絡擬合。

在ITD分解過程中，其均值曲線的定義是基于信號本身的線性變換，這導致從第二個分量開始，PRC分量信號就出現(xiàn)比較明顯的失真（即能量有泄露），這也必然會影響分量間的正交性。在均值曲線的計算中，擬用標準三次Hermite插值代替線性變換，這樣結(jié)合標準三次Hermite插值和TID的優(yōu)勢，不僅分解得到的分量沒出現(xiàn)能量泄露現(xiàn)象，而且所得的分量有很好的光滑性。除此之外，借鑒文獻［8］的思想，由于三次Hermite插值和三次樣條插值在ITD方法中的應用具有一定的相似性，因此可以把文獻［8］中定義瞬時頻率具有物理意義的單分量信號所需條件引入到本文中。

1.1 ITD方法

ITD方法能將待分解的非線性信號分解為若干PRC及一個趨勢項分量。設(shè)Xt為待分解的信號，分解之前先定義基線的提取算子L，從而使得從原信號中去除該基線信號后的余量成為第一個PRC。一次分解的表達式為［8］

式中假設(shè)在［0，τk］上定義了Lt和Ht，而Xt在［0，τk+2］上有定義。在連續(xù)極值點［τk，τk+2］區(qū)間上定義Xt的基線信號提取算子L，即

式中a是分解時的增益控制參數(shù)，0＜a＜1；Lt保留信號在每個極值點處的單調(diào)性，Ht提取每個極值點間疊加的局部高頻單分量信號—固有旋轉(zhuǎn)分量。因此，重復上述分解過程就可以得到若干PRC及單調(diào)趨勢項信號。

1.2 CHLCD算法

雖然ITD克服了EMD和LMD中的一些缺陷，但是文獻［2］中并沒有對ITD方法及PRC的物理意義做出闡述；另外，由式（2）可知，ITD算法本身是通過線性變換的方法獲取基線信號，得到的信號波形顯示毛刺現(xiàn)象而失真。因此，論文借鑒文獻［8］中局部特征尺度分解方法的思想，在闡述ITD分解方法的物理意義基礎(chǔ)之上對ITD方法進行一定的改進。

在ITD分解時，對于較為理想的PRC，其如式（2）所表示的基線分量在所有區(qū)間［τk，τk+2］中都應該為零，式（3）所示的Lk+1也應該為零。因此，ITD方法對原信號分解獲到的PRC應滿足基線分量控制點Lk+1為零。在此基礎(chǔ)之上定義具有物理含義的分量—內(nèi)稟尺度分量（Intrinsic scale component，簡稱ISC）。所示的ISC分量滿足以下條件：

（1）在所有數(shù)據(jù)段之內(nèi)，任意相鄰兩個極值點的符號互異。

（2）在所有數(shù)據(jù)段之內(nèi)，數(shù)據(jù)波形的極值點是Xk，（k=1，2，???，M），每個極值點所對應時刻是τk，（k=1，2，…，M），由兩個任意極大或者極小值點（τk，Xk）、（τk+2，Xk+2）連接而成的數(shù)據(jù)段在其中間位置極大或者極小值點（τk+1，Xk+1）所對應的時刻τk+1函數(shù)值和該極大（?。┲礨k+1之間的比值保持不變，即可以滿足

上述的兩個條件能保證ISC分量兩個任意相鄰的極值點間有單一模態(tài)，且在極值點和相鄰零交叉點間近似符合標準的正弦曲線圖形，因此其瞬時頻率有一定的物理意義。

CHLCD算法是假設(shè)任意復雜的信號是不同ISC分量組合而成，任何兩個ISC分量間是相互獨立的，這樣就能將該復雜的信號分解成若干個ISC分量，其具體的步驟方法如下：

①確定X（t）所有的極值點Xk，（k=1，2，???，M）和其所對應時刻τk，（k=1，2，…，M），并且設(shè)置好參數(shù)a，接著計算每個基線信號控制點Lk，即式（3）；然后對所有Lk進行三次Hermite插值，能獲得基線信號L1。

②將L1從原信號中進行分離，即一次插值獲得的信號另保存為P1?？梢哉J為P1是一個ISC分量，則P1為信號x（t）的第1個單分量。另外，理想的ISC分量必須滿足Lk+1為零，實際上可以設(shè)置變動量Δ，當||Lk+1≤Δ時迭代終止。

③如獲得的信號P1不滿足上述ISC條件，就會將P1作為原信號重復上述步驟①和②，再循環(huán)k次，直到獲得單分量Pk，并且分量Pk滿足ISC的條件，即為信號x（t）的第1個分量ISC1。

④將ISC1從x（t）中進行分離，剩下的則成為一個全新的信號r1，將r1視為原信號重復上述步驟①、②和③，獲得x（t）的第二個滿足ISC條件的單分量ISC2。重復步驟循環(huán)n次，可以得到信號x（t）的n個滿足ISC條件的單分量，直至rn是一單調(diào)性函數(shù)結(jié)束。這樣就可以將x（t）分解為n個ISC和一個單調(diào)性函數(shù)rn之和，即

2　仿真信號分析

考察如式（5）所示的仿真信號

x（t）由一個調(diào)幅調(diào)頻分量和一個正弦分量組成。如圖1所示。

圖1仿真信號時域波形圖

圖2為待分析信號的FFT頻譜和信號功率譜。為比較分解效果，在端點效應處理后采用ITD和CHLCD方法對其進行分解。其中端點效應處理方法都采用G Rilling提出的鏡像對稱延拓方法［10］。首先將信號通過端點延拓處理，接著采用ITD和CHLCD方法分別對延拓后的信號進行分解，得到單分量信號，如圖3和圖4所示。兩種方法都可以將各單分量成分分解出來，但是ITD分解的結(jié)果呈現(xiàn)出明顯的毛刺現(xiàn)象，使得信號失真；CHLCD分解的結(jié)果較為光滑，避免了出現(xiàn)毛刺現(xiàn)象。

圖2　仿真信號FFT頻譜和信號功率譜

圖3　 ITD分解結(jié)果

圖4　 CHLCD分解結(jié)果

從以上分解結(jié)果可知，兩種方法都可以把各單分量分解出來，下面再從兩個分量的瞬時頻率和瞬時幅值加以分析，結(jié)果分別如圖5和圖6所示。圖5和圖6所求得的瞬時特征信息中，比較第1個分量的瞬時包絡幅值和瞬時頻率，ITD和CHLCD方法的結(jié)果很接近，效果都比較好，但是ISC1的效果也明顯優(yōu)于PRC1；比較第2個分量可以發(fā)現(xiàn)，無論是瞬時頻率還是瞬時包絡幅值，ISC2的效果都比PRC2的更準確，波動性更小，而且差別更加明顯。因此，說明CHLCD是一種有效可行的分解方法。

圖5　 ITD分解單分量的瞬時包絡幅值和瞬時頻率

圖6　 CHLCD分解單分量的瞬時包絡幅值和瞬時頻率

分析單分量信號的瞬時包絡幅值和瞬時頻率后，然后再通過Hilbert譜和邊際譜來比較分析，經(jīng)過上述幾種分解方法分解后進行Hilbert變換，得到的Hilbert-Huang時頻圖如圖7—圖8所示。由于ITD分解采用線性變換，得到的Hilbert譜出現(xiàn)較大失真，使相應的時頻譜圖失去了原有的物理意義，無法準確地反映出原信號的瞬時幅值和隨時間變化的頻率規(guī)律；CHLCD得到的Hilbert時頻圖很好地反映了原信號的基本信息，沒有出現(xiàn)較大偏差。圖9—圖10為兩種方法的邊際譜，ITD中心頻率處出現(xiàn)較多虛假成分，而CHLCD方法得到的邊際譜明顯改善不少。因此，CHLCD分解方法和其它分解方法相比具有明顯的優(yōu)越性。

綜上所述，從各方面比較兩種方法的效果，在時域圖方面，CHLCD沒有出現(xiàn)毛刺，解決了ITD毛刺問題；分量瞬時幅值和頻率方面，CHLCD改善了ITD方法的瞬時頻率和瞬時幅值失真問題，具有較好的效果；從Hilbert-Huang時頻圖和邊際譜方面，CHLCD分解分量的頻率更加集中，能準確地反映出原信號的瞬時幅值和隨時間變化的頻率規(guī)律。因此，從各方面都證明了CHLCD方法比ITD方法更具優(yōu)越性。

圖7　 ITD分解得到的Hilbert-Huang時頻圖

圖8　 CHLCD分解得到的Hilbert-Huang時頻圖

圖9　 ITD分解得到的邊際譜

圖10　 CHLCD分解得到的邊際譜

3　實例應用

為驗證CHLCD方法的有效性，將該方法應用到滾動軸承的故障診斷中。在滾動軸承發(fā)生機構(gòu)損傷時，其運行的過程中會出現(xiàn)周期性的沖擊，同時激發(fā)軸承中元件的固有頻率，從而導致高頻衰減振動，其中高頻衰減的振動幅值會被周期沖擊振動所調(diào)制。因此，為了更好的提取滾動軸承相應的故障特征，需要對軸承的故障振動信號進行解調(diào)分析。包絡解調(diào)方法是一種基于Hilbert變換的解調(diào)分析方法，可以對軸承的故障振動信號進行解調(diào)分析，得到相應的故障特征信息，因此將CHLCD方法與包絡解調(diào)相結(jié)合應用到滾動軸承的故障診斷中。

為驗證上述方法的有效性，選用美國凱撒西儲大學電氣工程實驗室公開的軸承數(shù)據(jù)。采樣頻率為12 kHz，轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，負載為0 HP，故障點的直徑為0.177 8 mm，故障深度為0.279 4 mm。計算的轉(zhuǎn)頻fr≈29.95Hz，外圈故障特征頻率fo≈107.3 Hz，內(nèi)圈故障特征頻率fi≈166.4Hz。

首先任意選擇一個具有外圈故障的振動加速度信號，其時域圖如圖11所示，用CHLCD方法對原始振動信號分解，得到的分量圖如圖12所示。

圖11　外圈故障狀態(tài)信號時域圖

圖12　外圈故障信號CHLCD分解后的分量

滾動軸承在發(fā)生故障時，其故障特征往往集中在高頻部分，因此選取CHLCD分解的前兩個分量作Hilbert解調(diào)分析，得到其包絡信號，然后對包絡信號進行譜分析得到其包絡譜。圖13和圖14分別為前兩個分量的包絡譜。

圖13　外圈故障第一個分量包絡譜

圖14　外圈故障第二個分量包絡譜

從圖13和圖14分量的包絡譜中可以看出，在故障頻率fo及其倍頻處出現(xiàn)明顯峰值，驗證了此時軸承的外圈出現(xiàn)故障。

為進一步驗證該方法的有效性，再任意選取一個具有內(nèi)圈故障的振動加速度信號，其時域圖如圖15所示，經(jīng)過CHLCD分解后得到的分量時域圖如圖16所示。

圖15　內(nèi)圈故障狀態(tài)信號時域圖

圖16　內(nèi)圈故障信號CHLCD分解后的分量

同樣選擇其分解得到的前兩個分量作Hilbert變換，然后得到相應的包絡譜如圖17和圖18所示。

圖17　內(nèi)圈故障第一個分量包絡譜

從圖17和圖18分量的包絡譜中可以看出，在故障頻率fi及其倍頻處出現(xiàn)明顯峰值，驗證了此時軸承的內(nèi)圈出現(xiàn)故障。

圖18　內(nèi)圈故障第二個分量包絡譜

4　結(jié)語

本文在ITD的基礎(chǔ)上，結(jié)合標準三次Hermite插值的優(yōu)點，提出一種基于三次Hermite插值的特征

尺度分解方法（CHLCD），并給出該方法對信號進行分解的詳細步驟。對CHLCD方法和ITD方法進行對比分析，從多個層面比較兩種分解方法，結(jié)果表明CHLCD方法能夠改善ITD方法分解得到的分量出現(xiàn)波形失真的缺點。

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Local Characteristic-scale Decomposition Method Based on Cubic Hermite Interpolation

LIJun1，2，PAN Meng-chun1
（1.College of Mechatronics Engineering andAutomation，National University of Defense Technology，Changsha 410082，China；2.Air Force Military Representative Office in Changsha，Changsha 410082，China）

Since linear transformation is used to obtain baseline signal in intrinsic time scale decomposition（ITD）method，burr and instantaneous frequency distortion will appear in the decomposition results.Therefore，a rational Cubic Hermite interpolation—Local characteristic-scale decomposition（CHLCD）method is presented.In this method，any complex signal can be adaptively decomposed into a sum of several independent rational intrinsic scale components（ISCs），whose instantaneous frequencies have obvious physical meanings.Firstly，the principle of the CHLCD method was analyzed.Then，the detailed steps of CHLCD of signal were given.Finally，a simulation signal was adopted to verify the CHLCD method.Experimental results show that the CHLCD method can effectively decompose signals.

vibration and wave；local characteristic-scale decomposition；cubic Hermite interpolation；signal processing；fault diagnosis

TH113

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.033

1006-1355（2015）05-0159-05+175

2015－03－30

李軍（1984－），男，碩士研究生。E-mail:pansea1989@163.com

潘孟春（1963－），男，教授。