變體飛行器連續(xù)平滑切換LPV控制

江未來，董朝陽，王 通，王 青

（1．北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京100191；2．北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京100191）

變體飛行器連續(xù)平滑切換LPV控制

江未來1，董朝陽1，王 通2，王 青2

（1．北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京100191；2．北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京100191）

針對一類翼展可變飛行器的控制問題，提出了一種連續(xù)平滑切換線性變參數(shù)（linear parameter varying，LPV）控制器的設計方法。將變體飛行器建模成以翼展變形率為時變參數(shù)的LPV系統(tǒng)，通過對時變參數(shù)進行具有重疊特性的區(qū)間劃分，設計平滑切換控制器。結合參數(shù)依賴的多李雅普諾夫函數(shù)和平均駐留時間方法，給出了保證切換LPV系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。由于考慮了時變參數(shù)的漸變特性，使得系統(tǒng)的切換律沒有平均駐留時間的限制，降低了結論的保守性。仿真結果表明，運用所設計的控制器，當翼展連續(xù)變化時，變體飛行器狀態(tài)穩(wěn)定且切換過程平滑，控制性能良好。

變體飛行器；線性變參數(shù)系統(tǒng)；平滑切換；平均駐留時間；多李雅普諾夫函數(shù)

0 引 言

變體飛行器的外形結構可隨飛行任務和環(huán)境自適應變化，使飛行器保持在最優(yōu)飛行狀態(tài)，大幅提高飛行性能并適應多種任務模式［1］。作為一類極具發(fā)展?jié)摿Φ默F(xiàn)代高性能飛行器，變體飛行器的分析與設計已成為國內(nèi)外航空航天領域的研究熱點。

飛行器在飛行過程中的結構變形會帶來重心位置、轉動慣量、機翼展長、機翼面積等構型參數(shù)的變化，從而會引起飛行器氣動力與力矩、慣性力與力矩等氣動特性的非線性變化。這將使得在飛行過程中進行結構變形的飛行器是一個依賴于外形結構的復雜時變非線性系統(tǒng)。

切換線性變參數(shù)（linear parameter varying，LPV）系統(tǒng)理論作為處理這類復雜時變非線性系統(tǒng)的有效方法，得到了諸多學者的關注［2－4］。文獻［2－3］基于參數(shù)依賴多Lyapunov函數(shù)方法，研究了LPV系統(tǒng)的切換控制，給出了滯后切換和平均駐留時間切換2種切換律下保證系統(tǒng)穩(wěn)定和魯棒性能的控制器設計方法，并將其應用于主動磁浮軸承和F－16飛機進行了仿真驗證。文獻［4］基于混合多Lyapunov函數(shù)方法，研究了切換LPV系統(tǒng)的L－2誘導范數(shù)問題，并將所提方法應用于F－16的姿態(tài)控制，取得良好效果。

同時，為抑制系統(tǒng)在切換過程中產(chǎn)生的瞬態(tài)響應，提升控制性能，眾多學者開展了平滑切換LPV控制的研究［5－7］。文獻［5］研究了輸入輸出受限情形下，LPV系統(tǒng)的平滑切換增益調(diào)參控制問題。文獻［6］將平滑切換控制器設計問題轉換成一組非線性矩陣不等式的可行解求解問題，運用下降迭代算法對該問題進行尋優(yōu)，得到平滑切換控制器并進行了仿真驗證。文獻［7］基于魯棒控制和LPV系統(tǒng)理論，考慮了在常值Lyapunov函數(shù)和參數(shù)依賴的Lyapunov函數(shù)2種方法下，系統(tǒng)的平滑切換輸出跟蹤控制問題。

然而，在已有文獻中，或是未討論連續(xù)切換情形下的平滑切換控制器設計［5］，或是基于單一的參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［6］。即便是基于參數(shù)依賴的多Lyapunov函數(shù)方法進行切換LPV系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時，也未考慮時變參數(shù)的漸變特性，對Lyapunov函數(shù)矩陣的約束具有較大的保守性［2－3］。針對切換LPV系統(tǒng)，設計連續(xù)平滑切換控制器，并研究其在變體飛行器上的應用，鮮有報道。

本文針對一類翼展可變飛行器控制問題，提出了一種連續(xù)平滑切換LPV控制器的設計方法。將變體飛行器建模成以翼展變形率為時變參數(shù)的LPV系統(tǒng)，并對時變參數(shù)進行具有重疊特性的區(qū)間劃分，通過重疊子系統(tǒng)控制器由相鄰2個獨立子系統(tǒng)控制器插值的方法，得到整個系統(tǒng)平滑切換控制器。結合參數(shù)依賴的多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時間方法，給出了保證切換LPV系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。考慮時變參數(shù)的漸變特性，得到了沒有平均駐留時間限制的切換律，降低了結論的保守性。仿真結果驗證了所提方法的有效性。

1 翼展可變飛行器LPV模型

考慮以Navion L－17為本體的翼展可變飛行器［8－9］，如圖1所示。飛行器2側機翼能夠對稱地伸縮，可達到的最大翼展是本體翼展的2倍。定義翼展變形率η＝Δb／b，式中Δb為翼展變形量，b為本體翼展，可知η∈［0，1］。本文只考慮飛行器縱向運動，且忽略外部干擾，選取飛行器在高度h＝1 524m，以馬赫數(shù)Ma＝0．1做水平無側滑勻速平飛為待研究的目標運動過程。

圖1 翼展可變飛行器

在氣流坐標系中，變體飛行器縱向運動非線性模型［9］為

式中，θ為俯仰角；q為俯仰角速度；Iy為俯仰轉動慣量；L，D，M，T分別為升力、阻力、俯仰力矩及推力，且滿足

式中，SW為機翼面積；cA為平均氣動弦長；ρ為大氣密度；Tδt為推力系數(shù)；δt為油門開度。CL為升力系數(shù)；CD為阻力系數(shù)；Cm為俯仰力矩系數(shù)。CL，CD及Cm與迎角α、升降舵偏角δe的函數(shù)關系可近似地表示為

式中，α∈［0，10°］，δe∈［－40°，40°］。

借助相關軟件及插值和線性擬合方法，可得到飛行器氣動參數(shù)與翼展變形率之間的關系［9］為

式中，各氣動導數(shù)的單位為1／（°）。

目前，將系統(tǒng)非線性模型轉化為LPV模型主要有3種方法，分別為雅克比線性化、狀態(tài)變換和函數(shù)替換［10］。在此選用最為常用的雅克比線性化方法，其思路可概述為將系統(tǒng)非線性模型在所選取的不同平衡點處分別線性化，并對所得到的一組線性化模型進行插值運算，即可得到系統(tǒng)的LPV模型。

根據(jù)上述思路，并考慮到平衡點的迎角都很小，可構建出變體飛行器縱向運動LPV模型［9］

式中，狀態(tài)變量x＝［ΔVΔαΔθΔqΔh］T；輸入變量u＝［ΔδeΔδt］T；且

2 區(qū)間劃分與控制器設計

2．1 具有重疊特性的時變參數(shù)區(qū)間劃分

考慮如下所示的LPV系統(tǒng)

式中，x（t）∈Rn為狀態(tài)向量；u（t）∈Rr為輸入變量；ρ∈R為時變參數(shù)且實時可測；系數(shù)矩陣A，B為ρ的函數(shù)。假定ρ及其變化率有界

如圖2所示，對時變參數(shù)進行具有重疊特性的區(qū)間劃分，即將ρ的取值區(qū)間Θ劃分為J個子區(qū)間，且相鄰2個子區(qū)間具有重疊部分。

圖2 具有重疊特性的時變參數(shù)區(qū)間劃分

第j個子區(qū)間Θ（j）可表示為

式中，NJ：＝｛1，…，J｝。定義第j個和第j＋1個子區(qū)間重疊的部分為重疊子區(qū)間Θ（j，j＋1），可表示為

式中，NJ－1：＝｛1，…，J－1｝。

定義每一子區(qū)間去除重疊子區(qū)間以外的區(qū)間為獨立子區(qū)間，可表示為

2．2 平滑切換控制器設計

如圖2所示，對應于J個子區(qū)間，可得到J個LPV子系統(tǒng)，定義切換律，則得到開環(huán)切換LPV系統(tǒng)為

為便于書寫，將子系統(tǒng)系數(shù)矩陣Aj（ρ），Bj（ρ）表示成Aj和Bj，下文中所有參數(shù)依賴的矩陣或矩陣變量均采用類似表達。

針對系統(tǒng)式（12）中的每一個子系統(tǒng)，設計參數(shù)依賴的無記憶狀態(tài)反饋控制器：

得到閉環(huán)LPV子系統(tǒng)

引理1［5］考慮閉環(huán)子系統(tǒng)式（14），時變參數(shù)及其變化率滿足式（7）和式（8）。對于給定的標量β＞0，當存在適維矩陣Pj＝＞0，滿足

那么，閉環(huán)子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

定義Qj＝，Yj＝KjQj，則式（15）可寫成參數(shù)依賴矩陣不等式

若該矩陣不等式有可行解，則狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣為

為了抑制在切換過程中產(chǎn)生的瞬態(tài)響應，提升系統(tǒng)的控制性能，設計一種具有平滑切換特性的控制器K：當ρ∈Θ（j，j）時，獨立子系統(tǒng)控制器為Kj，j＝Kj；而當ρ∈Θ（j，j＋1）時，重疊子系統(tǒng)控制器為Kj，j＋1，Kj，j＋1是由相鄰2個子系統(tǒng)上的控制器Kj，Kj＋1插值得到。即具有平滑切換特性的控制器可表示為

式中

3 穩(wěn)定性分析

具有重疊特性的區(qū)間劃分方法，也可看作是將時變參數(shù)區(qū)間劃分為2J－1個子區(qū)間，設計式（18）所示平滑切換控制器，就將LPV系統(tǒng)（6）轉化為由2J－1個子系統(tǒng)及切換律構成的閉環(huán)切換LPV系統(tǒng)。定義σ（t）∶［t0，∞）→Ω＝｛1，2，…，2J－1｝為系統(tǒng)的切換律，Ω為LPV子系統(tǒng)集。本文中，切換律σ（t）取決于時變參數(shù)ρ，又由式（8）可知，時變參數(shù)具有漸變特性，所以子系統(tǒng)間的切換僅發(fā)生在時變參數(shù)子區(qū)間的邊界上。

得到閉環(huán)切換LPV系統(tǒng)

式中

｛Aj，j，Bj，j｝，｛Aj，j＋1，Bj，j＋1｝分別為獨立子區(qū)間Θ（j，j）和重疊子區(qū)間Θ（j，j＋1）上子系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。

定義1［11］對于切換LPV系統(tǒng)（23），假設切換律σ（t）在時間段ΔT＞0內(nèi)切換次數(shù)為Nσ（ΔT），對于任意N0≥0，若不等式

成立，那么，τa稱為平均駐留時間。

定義2 如果存在切換律σ（t），使得系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡滿足‖x（t）‖≤α‖x（t0）‖e－β（t－t0）（α≥0，β≥0，t≥t0），則稱系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

定理1 考慮閉環(huán)切換LPV系統(tǒng)式（23），時變參數(shù)及其變化率滿足式（7）和式（8）。給定標量β＞0，μ＞1，如果存在連續(xù)可微的適維矩陣Pj，j＝PTj，j＞0（j∈NJ），Pj，j＋1＝＞0（j∈NJ－1）使得表達式

成立，其中

并且系統(tǒng)的平均駐留時間滿足

那么，系統(tǒng)式（23）指數(shù)穩(wěn)定。

證明 首先考慮獨立子區(qū)間Θ（j，j）上的閉環(huán)子系統(tǒng)，選取參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)

接下來，考慮重疊子區(qū)間Θ（j，j＋1）上的閉環(huán)子系統(tǒng)，選取參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)為

由式（27）有˙Vj，j＋1（t）≤－βVj，j＋1（t），即

式中，tj，j＋10表示重疊子區(qū)間Θ（j，j＋1）上的子系統(tǒng)運行的初始時刻。

最后，考慮在不同子系統(tǒng)之間切換的情形。由于切換僅發(fā)生在子區(qū)間邊界上，所以由式（28）～式（29）可知，在切換時刻

將系統(tǒng)的運行時間分割成［t0，t1），［t1，t2），…，［tn－1，tn），［tn，T）。不失一般性，假設時變參數(shù)ρ最近5次所處子區(qū)間及切換順序為

當系統(tǒng)運行在t∈［tk，tk＋1）時，由式（32）、式（34）～式（37）可知，系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)滿足

選取

至此，基于參數(shù)依賴的多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時間方法，得出在連續(xù)切換時，切換LPV系統(tǒng)式（23）指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。下面在定理1的基礎上，給出平滑切換控制器的設計方法。

定理2 考慮切換LPV系統(tǒng)式（12），時變參數(shù)及其變化率滿足式（7）～式（8），具有重疊特性的時變參數(shù)區(qū)間劃分如式（9）～式（11）定義。給定標量β＞0，若存在連續(xù)可微的矩陣Qj＝＞0及矩陣Yj，使得

證明 首先，考慮獨立子區(qū)間Θ（j，j）上的閉環(huán)子系統(tǒng)。其控制器

定義

可知式（38）等價于

由于獨立子區(qū)間Θ（j，j）包含于Θ（j），所以由式（18）和式（43）可知式（26）成立，也即若式（38）成立，則式（26）成立。

接下來，考慮重疊子區(qū)間Θ（j，j＋1）上的閉環(huán)子系統(tǒng)。若式（39）～式（40）成立，則可知式（39）和式（40）的凸組合

成立。結合式（20）和式（21）可知

式中

所以，式（44）等價于

由式（18）知，在重疊子區(qū)間Θ（j，j＋1）上，Kj，j＋1＝Yj，j＋1Q－1j，j＋1（j∈NJ－1），定義

可知式（47）等價于式（27），也即若式（39）～式（40）成立，則式（27）成立。

最后，考慮時變參數(shù)在獨立子區(qū)間和重疊子區(qū)間之間切換的情形。由定義式（42），在獨立子區(qū)間Θ（j，j）對應的子系統(tǒng)上，Lyapunov函數(shù)矩陣

等價于式（28）和式（29）中μ＝1，由式（30）可知平均駐留時間的下界＝0。

對應于定理1，可知定理2得證。證畢

注1 由于考慮時變參數(shù)變化率有界，也即時變參數(shù)具有漸變特性，所以在定理1中，只在子區(qū)間邊界上對Lyapunov函數(shù)矩陣提出了式（28）和式（29）所示的約束條件。進而在定理2中，通過式（20）所示的定義，得到了沒有平均駐留時間限制的切換律，降低了結論的保守性。

注2 對時變參數(shù)進行具有重疊特性的區(qū)間劃分，子區(qū)間個數(shù)及上下界的選取需綜合考慮計算的復雜程度以及相對穩(wěn)定裕度β的大小?？刹捎没趫D論的隨機搜索算法［12］來確定區(qū)間的劃分方法。

注3 由于參數(shù)的依賴性，式（38）～式（40）對應的是無限維的線性矩陣不等式組，可采用近似基函數(shù)和網(wǎng)格技術將其轉化為有限維的LMIs［13－14］。選取近似基函數(shù)為，則有

因此，平滑切換控制器增益矩陣可通過求解式（18）、式（38）～式（40）和式（54）得到。

4 仿真分析與驗證

為驗證所提方法的有效性，對式（5）所示的翼展可變飛行器LPV模型進行仿真。選取翼展變形率為時變參數(shù)，并設定

則式（7）和式（8）中Θ∶＝［0，1］，V∶＝［－0．2，0．2］。在此，將時變參數(shù)劃分為具有重疊特性的3個子區(qū)間，如圖3所示。

圖3 翼展變形率區(qū)間劃分

為便于計算，假定式（54）中，Qj（j＝1，2，3）為常值矩陣。選取Yj的基函數(shù)為f1＝1，f2＝ρ（t）。利用網(wǎng)格技術將Θ均勻劃分為50個網(wǎng)格，選擇β＝0．8，解得3個獨立子系統(tǒng)的控制器分別為

式中

由式（18）可算得2個重疊子系統(tǒng)的控制器，從而得到整個系統(tǒng)的平滑切換控制器。

運用所設計的控制器，進行變體飛行器非線性仿真。假定從第5s開始，翼展變形率η按照式（55）的規(guī)律，由0→1→0逐漸變化，如圖4所示。部分仿真曲線如圖5～圖8所示。

圖4 翼展變形率η變化曲線

圖5 飛行器高度變化曲線

圖6 飛行器迎角變化曲線

圖7 升降舵舵偏變化曲線

圖8 油門開度變化曲線

由圖5和圖6所示的飛行器高度和迎角變化曲線可知，當翼展連續(xù)變化時，飛行器高度基本保持不變，迎角緩慢變化，飛行器具有良好的穩(wěn)定性。由圖7和圖8可知，升降舵舵偏及油門開度總體變化緩和，變化范圍合理。同時，選取時變參數(shù)由Θ（1，1）→Θ（1，2）和Θ（2，3）→Θ（2，2）2個切換時刻為例，通過細節(jié)放大圖可知，飛行器狀態(tài)和控制輸入均未出現(xiàn)抖動，系統(tǒng)切換過程平滑，控制性能良好。

5 結 論

基于切換LPV系統(tǒng)理論，研究了翼展可變飛行器的連續(xù)平滑切換控制問題。通過對時變參數(shù)進行具有重疊特性的區(qū)間劃分，設計平滑切換控制器。由于考慮了時變參數(shù)的漸變特性，使得系統(tǒng)的切換律沒有平均駐留時間的限制，降低了結論的保守性。仿真結果表明，運用所設計的控制器，當翼展連續(xù)變化時，變體飛行器狀態(tài)穩(wěn)定且切換過程平滑，控制性能良好。

［1］Rodriguez A R．Morphing aircraft technology survey［C］∥Proc．of the 45th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit，2007：1－16．

［2］Lu B，Wu F．Switching LPV control designs using multiple parameter－dependent Lyapunov functions［J］．Automatica，2004，40（11）：1973－1980．

［3］Lu B，Wu F，Kim S W．Switching LPV control of an F－16aircraft via controller state reset［J］．IEEE Trans．on Control Systems Technology，2006，14（2）：267－277．

［4］He X，Zhao J．Multiple Lyapunov functions with blending for induced L2－norm control of switched LPV systems and its application to an F－16aircraft model［J］．Asian Journal of Control，2014，16（1）：149－161．

［5］Chen P C．The design of smooth switching control with application to V／STOL aircraft dynamics under input and output constraints［J］．Asian Journal of Control，2012，14（2）：439－453．

［6］Hanifzadegan M，Nagamune R．Smooth switching LPV controller design for LPV systems［J］．Automatica，2014，50（5）：1481－1488．

［7］Song L，Yang J．Smooth switching output tracking control for LPV systems［J］．Asian Journal of Control，2012，14（6）：1710－1716．

［8］Nelson R C．Flight stability and automatic control［M］．WCB／McGraw Hill，1998．

［9］Yin M，Lu Y P，He Z．LPV modeling and robust gain scheduling control of morphing aircraft［J］．Journal of Nanjing University of Aeronautics ＆Astronautics，2013，45（2）：202－208．（殷明，陸宇平，何真．變體飛行器LPV建模與魯棒增益調(diào)度控制［J］．南京航空航天大學學報，2013，45（2）：202－208．）

［10］Marcos A，Balas G J．Development of linear－parameter－varying models for aircraft［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2004，27（2）：218－228．

［11］Hou Y，Wang Q，Dong C．Gain scheduled control：switched polytopic system approach［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34（2）：623－629．

［12］Diestel R．Graph theory［M］．New York：Springer－Verlag，2000．

［13］Apkarian P，Adams R J．Advanced gain－scheduling techniques for uncertain systems［J］．IEEE Trans．on Control Systems Technology，1998，6（1）：21－32．

［14］Wu F，Grigoriadis K M．LPV systems with parameter－varying time delays：analysis and control［J］．Automatica，2001，37（2）：221－229．

E－mail：jiangweilai＠126．com

董朝陽（1966－），男，教授，博士，主要研究方向為變體飛行器建模與控制、LPV系統(tǒng)。

E－mail：dongchaoyang＠buaa．edu．cn

王 通（1987－），男，博士研究生，主要研究方向為飛行器控制、切換系統(tǒng)、魯棒控制。

E－mail：xenon＠buaa．edu．cn

王 青（1968－），女，教授，博士，主要研究方向為導航制導與控制、智能控制。

E－mail：wangqing＠buaa．edu．cn

Continuous smooth switching LPV control for morphing aircraft

JIANG Wei－lai1，DONG Chao－yang1，WANG Tong2，WANG Qing2
（1．School of Aeronautical Science and Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China；2．School of Automation Science and Electrical Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

To cope with the control problem of a class of variable－span morphing aircraft，a continuous smooth switching linear parameter varying（LPV）controller is proposed．Choosing the rate of span variation as the time－varying parameter，the morphing aircraft is modeled as a LPV system．The smooth switching controller is designed in the way that the time－varying parameter is partitioned into several subregions with overlaps．Then，a sufficient condition to ensure the switched LPV system’s exponential stability is presented by employing the methods of multiple parameter－dependent Lyapunov functions and average dwell time．Because the character that the time－varying parameter changes gradually is considered，the switching law without constraint on average dwell time is obtained which makes the conclusion less conservative．The simulation result shows that using the proposed controller，the states of morphing aircraft are stable and switch smoothly when the span changes continuously．

morphing aircraft；linear parameter varying（LPV）system；smooth switching；average dwell time；multiple Lyapunov functions

V 249．1

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．19

江未來（1989－），男，博士研究生，主要研究方向為變體飛行器建模與控制、切換系統(tǒng)。

1001－506X（2015）06－1347－07

2014－07－21；

2014－09－15；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2014－11－20。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141120．2112．011．html

國家自然科學基金（61273083）資助課題