魯棒原子范數(shù)降噪及其在線譜估計中的應(yīng)用

王潔潔，張建秋

（復(fù)旦大學(xué)電子工程系，上海200433）

魯棒原子范數(shù)降噪及其在線譜估計中的應(yīng)用

王潔潔，張建秋

（復(fù)旦大學(xué)電子工程系，上海200433）

針對測量數(shù)據(jù)中含有異常值的線譜估計問題，提出了一種對異常值魯棒的原子范數(shù)降噪方法來提高線譜估計的性能。該方法構(gòu)建了一個可以聯(lián)合估計出異常值及原始信號的優(yōu)化問題，并在代價函數(shù)中加入l1范數(shù)和原子范數(shù)懲罰項來分別對異常值的稀疏性和信號本身的特性進(jìn)行約束。一旦獲得了該優(yōu)化問題的解，那么就可利用現(xiàn)有的算法對降噪后的信號進(jìn)行線譜估計。仿真結(jié)果表明，在數(shù)據(jù)中存在異常值的情況下，所提的算法能夠更準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號，從而使降噪后的譜估計的精度和分辨率明顯提高。

線譜估計；異常值；魯棒降噪；原子范數(shù)；l1范數(shù)

0 引 言

從含噪聲的采樣數(shù)據(jù)中提取出信號的頻率信息是統(tǒng)計信號處理中的一個重要問題。它在雷達(dá)目標(biāo)波達(dá)角估計、傳感器陣列信號處理以及圖像處理等方面都有普遍的應(yīng)用［1－3］。

一般地，對于由若干頻率線性組合構(gòu)成信號的線譜估計問題，通常假設(shè)其信號的采樣數(shù)據(jù)疊加了高斯白噪聲。為了獲得更好的線譜估計結(jié)果，在利用一些常見的算法進(jìn)行譜估計之前，可以先對測量數(shù)據(jù)降噪。對此，文獻(xiàn)［4］提出一種原子范數(shù)降噪方法以及其在線譜估計中的應(yīng)用，其理論和仿真結(jié)果均證明對數(shù)據(jù)首先進(jìn)行降噪，然后再進(jìn)行線譜估計，其估計結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于現(xiàn)有對含噪聲數(shù)據(jù)直接進(jìn)行譜估計的結(jié)果。

可是在實(shí)際中，采樣數(shù)據(jù)不一定符合文獻(xiàn)［4］的信號模型假設(shè)。例如：在一些應(yīng)用場景中，采樣數(shù)據(jù)中除了符合文獻(xiàn)［4］信號模型的有效數(shù)據(jù)之外，還存在著由測量者一時操作不當(dāng)或儀器突然失常等因素導(dǎo)致的采樣異常值［5－7］。目前，對于異常值，還沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，一般認(rèn)為的異常值是指與其他大部分?jǐn)?shù)據(jù)差異較大的觀測值。異常值的存在，往往意味著測量誤差或者觀測數(shù)據(jù)具有拖尾分布［8］。文獻(xiàn)［8－9］的研究表明：含重尾噪聲的數(shù)據(jù)與含高斯噪聲的數(shù)據(jù)相比，其概率分布的拖尾較大，有較大的可能性產(chǎn)生與均值差異較大的觀測值。這樣的觀測值在統(tǒng)計特性上與含有異常值的數(shù)據(jù)十分相似，因此這類數(shù)據(jù)也常常被認(rèn)為是含異常值的數(shù)據(jù)。一般考慮的重尾分布包括高斯混合模型（Gaussian mixture model，GMM）和α－穩(wěn)定分布等。

為了對存在異常值的數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪，在本文中將異常值視為一未知的輔助變量，并考慮信號本身的特性，構(gòu)建了一個對含異常值數(shù)據(jù)降噪的優(yōu)化問題，該問題利用l1范數(shù)正則項對異常值的稀疏性進(jìn)行約束［5，10］，期待以此去除異常值對降噪過程的影響，進(jìn)而獲得信號的魯棒估計。分析表明本文提出的優(yōu)化問題有如下優(yōu)點(diǎn)：①可以同時處理測量數(shù)據(jù)中的異常值和高斯背景噪聲；②不需要已知異常值的分布；③在測量數(shù)據(jù)中僅疊加有高斯噪聲的情況下依然有效。在此基礎(chǔ)上，可以利用現(xiàn)有算法［11－14］對降噪后的信號進(jìn)行線譜估計。仿真結(jié)果表明：在測量數(shù)據(jù)含有異常值的情況下，本文提出的魯棒降噪方法能夠更準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號，此時利用譜估計算法得到的線譜估計精度和分辨率都明顯優(yōu)于現(xiàn)有方法。

1 信號模型

考慮信號模型

式中，y＝［y1，y2，…，yN］T表示測量數(shù)據(jù)矢量；o是具有稀疏特性的異常值矢量，它有I個非零元素，對應(yīng)于觀測數(shù)據(jù)中的異常值，且有可能為較大的值；n為N×1的零均值高斯白噪聲矢量；表示由K個頻率成分構(gòu)成的原始信號，A＝［a1，a2，…，aK］為頻率導(dǎo)向矩陣，且

式中，ωk表示頻率；｛tn＝nT′｝Nn＝1表示均勻的采樣時刻，T′為采樣周期；s＝［s1，s2，…，sK］T為信號K個頻點(diǎn)的復(fù)幅度。

在測量信號y存在異常值的譜估計中，如果能在去除測量數(shù)據(jù)中異常值的同時，對含有噪聲的信號進(jìn)行降噪，進(jìn)而獲得期待的有效數(shù)據(jù)，那么顯然利用這樣獲得的有效數(shù)據(jù)，可更準(zhǔn)確地估計出信號的頻譜信息。下面討論獲取這種有效數(shù)據(jù)的方法。

2 魯棒原子范數(shù)降噪的譜估計方法

2．1 原子范數(shù)簡介

首先，簡單介紹一下原子范數(shù)的定義［4］。假設(shè)信號g為一集合A?CN中若干元素的非負(fù)線性組合，則信號g的原子范數(shù)‖g‖A定義為

式中，inf｛V｝為集合V的下確界；conv（V）為集合V中點(diǎn)的凸包。原子范數(shù)是一個抽象而豐富的概念，在不同的場合中有不同的意義，但其本質(zhì)是約束信號中的某種稀疏特性［4］。例如：如果將原子范數(shù)作為懲罰項納入稀疏矢量估計問題，它將表現(xiàn)為l1范數(shù)，而在低秩矩陣恢復(fù)中它則為核范數(shù)。

2．2 基于魯棒原子范數(shù)的降噪算法

測量異常值通常具有稀疏特性［5－7］，如果同時考慮待恢復(fù)信號和信號采樣數(shù)據(jù)異常值的稀疏性，而希望恢復(fù)的信號盡可能準(zhǔn)確，那么可以描述為優(yōu)化問題P1

式中，‖o‖0為非凸l0范數(shù)，即矢量o的非零元素個數(shù)；‖x‖A為信號x的原子范數(shù)；λ0和τ均為正則化參數(shù)。下面具體分析優(yōu)化問題P1的合理性以及對異常值的魯棒性能。

首先是合理性。在優(yōu)化問題P1中，x為期待恢復(fù)的信號，而式（3）中的第一項則表示觀測數(shù)據(jù)與恢復(fù)的信號x以及異常值o之和的誤差應(yīng)該盡可能地小，由于y－x－o符合高斯分布，即該項也對應(yīng)高斯噪聲場景下的線性回歸問題。第二項中，利用l0范數(shù)正則項對異常值的稀疏性進(jìn)行了約束，通過正則化參數(shù)λ0來控制異常值的稀疏度，即：如果測量數(shù)據(jù)中的異常值越少，那么λ0的值應(yīng)該取更大的值，以強(qiáng)調(diào)異常值的稀疏性對問題P1的影響，反之亦然。第三項則通過原子范數(shù)懲罰項約束了問題中信號本身的特性。由此可以看出，提出的優(yōu)化問題P1同時處理了數(shù)據(jù)中的異常值以及背景噪聲以恢復(fù)原始信號。

當(dāng)測量數(shù)據(jù)中不包含異常值，即測量數(shù)據(jù)中僅含高斯白噪聲時，該優(yōu)化問題依然可以有效地降噪。此時，通過取參數(shù)λ0為較大的值，則可以使待求解優(yōu)化問題P1得到的異常值元素幾乎全部為0。此時優(yōu)化問題將退化成P2

P2描述問題就是文獻(xiàn)［4］不含異常觀測數(shù)據(jù)的降噪問題。由于優(yōu)化問題P2試圖通過擬合帶異常值的觀測數(shù)據(jù)來估計原始數(shù)據(jù)，因此當(dāng)測量數(shù)據(jù)中包含異常值時，該算法已經(jīng)失效。為分析本文算法的魯棒性能，先對本文提出的優(yōu)化問題進(jìn)行簡化。

在譜估計場景中，信號是頻率導(dǎo)向矢量的非負(fù)線性組合，則信號的原子集為

其中

信號所對應(yīng)的頻率導(dǎo)向矢量集合subA＝｛a1，a2，…，aK｝為該原子集的真子集：subA?A。

此時，信號的原子范數(shù)［4］可以表示為

式中，B為信號的原子集A中的原子構(gòu)成的N×P矩陣，由于A為無限集，因此在此問題中P為無窮大；s′為稀疏矢量，其非零值對應(yīng)原始信號K個頻點(diǎn)的復(fù)幅度；‖s′‖1為s′的l1范數(shù)

式中，sa為頻點(diǎn)對應(yīng)的信號幅度。將式（4）代入問題P1中，可以得到P1的等價問題P3

對于該優(yōu)化問題有如下命題成立［15］：

令s0∈CP，且‖s0‖0＝K，o∈CN，且‖o‖0＝I，B∈CN，P，N≤P，且B中每一列相互正交。假設(shè)y＝Bs0＋o＋n，o為稀疏矢量，其I個非零元素為較大值，n為零均值高斯白噪聲矢量。如果滿足N≥2×I＋（τ／λ0＋1）×K，則當(dāng)τ／λ0≥1時，問題P3有唯一的解s＾′＝s0。

根據(jù)該命題，當(dāng)滿足上述條件時本文提出的算法能夠在測量數(shù)據(jù)帶異常值的情況下有效地估計出原始數(shù)據(jù)。

在對問題的簡化過程中，構(gòu)造了一個列維度無限大的矩陣?？梢钥闯?，采樣原子范數(shù)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行約束，與最小絕對值壓縮方法（least absolute shrinkage and selection operator，LASSO）中的l1范數(shù)約束有相似的物理意義。兩者都強(qiáng)調(diào)在一個較大的候選頻率點(diǎn)集合中，信號包含的頻率成分較少。不同的是LASSO問題中的候選頻率點(diǎn)集合是離散有限的，而在原子范數(shù)相應(yīng)的頻率點(diǎn)集合中，頻點(diǎn)f可以是［0，1］間的任意數(shù)值，因此是連續(xù)無限的［4］。這意味著在信號包含的頻點(diǎn)沒有落在LASSO問題中的候選頻率點(diǎn)集合時，采用原子范數(shù)約束信號特性將會更準(zhǔn)確。

通過上面的分析，可知本文提出的優(yōu)化問題可以帶來以下好處：①可以同時處理測量數(shù)據(jù)中的異常值和背景噪聲；②不需要已知異常值的概率分布；③在測量數(shù)據(jù)中僅疊加有高斯噪聲的情況下依然有效。

眾所周知，式（3）基于l0范數(shù)的優(yōu)化問題是非凸且多項式時間內(nèi)不可解的NP－h(huán)ard問題，因此可以松弛式（3）中的l0范數(shù)為l1范數(shù)約束［16］，以此得到多項式時間內(nèi)可解的凸優(yōu)化問題，即P4

式中，σes為估計得到的噪聲方差［4］。在確定了τ后，參數(shù)λ1的確定僅依賴于異常值矢量的稀疏性，而與信號本身的約束無關(guān)，因此可以參考文獻(xiàn)［5］中的方法進(jìn)行選取。

2．3 算法的運(yùn)算量分析

下面介紹該優(yōu)化問題的解法。在譜估計問題中信號的原子范數(shù)［4］可以表示為正則化參數(shù)λ1控制。

需要注意的是，正則化參數(shù)λ1和τ的選取是否合適對本算法的性能有很大的影響。在優(yōu)化問題P4中，若λ1的選取使得異常值矢量估計準(zhǔn)確，則y－x－o符合高斯分布。此時本文的優(yōu)化問題退化為文獻(xiàn)［4］中不含異常值的數(shù)據(jù)降噪問題，那么，τ可以根據(jù)文獻(xiàn)［4］中給出的方法確定：

式中，算子T（u）表示將矢量u作為第一列構(gòu)成托普利茲矩陣；trace（M）表示矩陣M的跡。

將式（7）代入優(yōu)化問題P4中，則得到

該問題可以采用常見的凸優(yōu)化求解工具來求解，亦可以采用基于交替方向乘子算法（alternating direction method of multipliers，ADMM）的方法來提高算法的速度［17］。ADMM的思想是將總體問題分為若干子問題，通過子問題間的交叉迭代得到最終的解。下面具體分析本優(yōu)化問題的求解過程。

重新書寫上面的優(yōu)化問題為

其拉格朗日函數(shù)為

式中，‖MC×D‖F(xiàn)為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，為任意C×D矩陣。

則ADMM算法包含以下的更新步驟：

式中，l為迭代次數(shù)。

在第一步的更新過程中，再將優(yōu)化問題分解為

式中，y′＝y(tǒng)－ol；y″＝y(tǒng)－xl＋1。

引入標(biāo)記

則t，u，x，o的更新過程為

式中，W是對角矩陣，其對角元素為

T（u）的結(jié)果是第一列為u的托普利茲矩陣；而T＊（u）為T（u）的逆過程，稱為托普利茲近似矢量。對于一個N×N的方陣U，其托普利茲近似矢量為N×1的矢量u［4］。e1＝［1，0，…，0］，N為觀測數(shù)據(jù)的長度。

而算子S的表達(dá)式［15］為

Z的更新過程需求解下述問題：

該問題的解相當(dāng)于把矩陣M投影到正定椎體上。求解該問題只需簡單地對M進(jìn)行特征值分解，并將其負(fù)特征值置為0后重新合成新矩陣。這里矩陣M為

而Λ按照式（8）更新。

從上面的分析可以看出，每次迭代中，復(fù)雜度最高的運(yùn)算為求特征值運(yùn)算，因此本算法的復(fù)雜度取決于實(shí)際的求解特征值方法的復(fù)雜度。

在解優(yōu)化問題P4后，得到降噪的數(shù)據(jù)序列y?，則可以用迭代自適應(yīng)算法（iterative adaptive approach，IAA）［11］，或者其他常見的算法［12－14］來進(jìn)行譜估計。

3 仿真結(jié)果

3．1 仿真條件

在下面的仿真中，假設(shè)復(fù)數(shù)信號x中有K＝4個頻率成分，分別是0．2Hz，0．62Hz，0．8Hz，0．82Hz。對應(yīng)頻點(diǎn)上的幅度為4V，3V，7V，3V。采樣頻率為2Hz，采樣數(shù)據(jù)長度N＝65。下面構(gòu)造兩種觀測數(shù)據(jù)來驗證本文算法的魯棒性：第一種仿真數(shù)據(jù)在原始信號上疊加異常值以及高斯白噪聲；第二種仿真數(shù)據(jù)根據(jù)引言中提及的原因，在原始數(shù)據(jù)上直接疊加上重尾噪聲。下面是兩種仿真數(shù)據(jù)的具體構(gòu)造過程。

3．1．1 在10%的數(shù)據(jù)上疊加異常值

數(shù)據(jù)模型為

式中，n為N×1的高斯白噪聲矢量，均值為0，方差σ2由仿真過程中的信噪比（signal to noise ratio，SNR）和原始信號功率決定

式中，分子為原始信號的平均功率，E｛·｝表示求均值；η為信噪比。o為N×1的異常值矢量，只有N×10%的元素為非零值。這些非零元素是均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為10σ的高斯噪聲，其位置隨機(jī)均勻分布在數(shù)據(jù)序列中?？梢姰惓Ｖ凳噶渴窍∈璧?，且非零值為較大的值，符合異常值的特性。｜z｜表示小于z的最大整數(shù)。

3．1．2 在原始數(shù)據(jù)中疊加上重尾噪聲

（1）符合高斯混合模型的噪聲

將o＋n統(tǒng)一合成噪聲r。rn（n＝1，2，…，N）的概率密度函數(shù)為

（2）α－穩(wěn)定噪聲

α－穩(wěn)定噪聲是另外一種典型的重尾分布噪聲。采用位置參數(shù)為0的對稱α－穩(wěn)定噪聲（SαS）分布產(chǎn)生α－穩(wěn)定噪聲，其特征函數(shù)為

式中，參數(shù)α稱為特征參數(shù)，α∈（0，2］。它決定該分布脈沖特性的程度，值越小，對應(yīng)分布拖尾越厚，相反，值越大，分布拖尾越?。?8］。高斯分布和柯西分布分別對應(yīng)著α＝2和α＝1的情況。仿真中取α＝1．2，分散系數(shù)γ為

式中，x′n，j（n＝1，2…，N）為第j次實(shí)驗恢復(fù)的數(shù)據(jù)序列；xn，j為第j次實(shí)驗的原始信號。

頻譜估計仿真圖中MSE的計算方法為

本文仿真驗證的算法性能包括兩個方面：一是魯棒原子范數(shù)降噪算法在數(shù)據(jù)有異常值的情況下對數(shù)據(jù)恢復(fù)的精度；二是利用恢復(fù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行譜估計的精度和分辨率。衡量標(biāo)準(zhǔn)為均方誤差（mean square error，MSE）。

仿真圖中的每個數(shù)據(jù)點(diǎn)由J＝60次仿真的結(jié)果求平均得到。在數(shù)據(jù)恢復(fù)仿真圖中MSE的計算方法為

式中，f′k，j是第j次實(shí)驗對真實(shí)頻率點(diǎn)fk，j的估計。

算法中用到的正則化參數(shù)λ和τ根據(jù)第2．2節(jié)所述方法選取，ρ＝1。在本文仿真中，譜估計算法采用IAA算法。IAA方法迭代次數(shù)為15次。

3．2 仿真結(jié)果

為方便表述，下面用場景1，場景2和場景3分別指代針對第3．1．1節(jié)測量數(shù)據(jù)，第3．1．2節(jié)中（1）和（2）測量數(shù)據(jù)的仿真過程。

首先給出數(shù)據(jù)恢復(fù)的結(jié)果。圖1～圖3中，橫坐標(biāo)為SNR，范圍為0～25dB；縱坐標(biāo)為數(shù)據(jù)恢復(fù)MSE。從圖中可以看出在場景1、場景2和場景3中本文提出的算法恢復(fù)原始數(shù)據(jù)的性能較原子范數(shù)降噪算法有較大的改進(jìn)。而在α－穩(wěn)定噪聲，場景3中原子范數(shù)降噪的算法的效果很差，在SNR較低的情況下甚至已經(jīng)失效。此外，隨著SNR的提高，兩種算法的恢復(fù)效果都有所提高，并且差距縮小。

圖1 場景1下數(shù)據(jù)恢復(fù)MSE與SNR的關(guān)系

圖2 場景2下數(shù)據(jù)恢復(fù)MSE與SNR的關(guān)系

圖3 場景3下數(shù)據(jù)恢復(fù)MSE與SNR的關(guān)系

圖4～圖6分別為3個場景下直接進(jìn)行IAA譜估計以及降噪后的IAA譜估計的MSE曲線。圖中，橫坐標(biāo)為SNR，范圍為0～25dB；縱坐標(biāo)為頻率估計MSE。從圖中可以看到在這3種場景下本文提出的算法與直接用IAA算法以及原子范數(shù)降噪后的IAA算法相比較，頻率估計的MSE明顯降低，這說明本文算法對真實(shí)頻率點(diǎn)的估計更為準(zhǔn)確，精度提高。而原子范數(shù)降噪后的IAA在場景3下，當(dāng)SNR較低時其效果甚至不如直接進(jìn)行IAA譜估計的結(jié)果。此外，從圖中也可以看出，IAA算法對異常值十分敏感，數(shù)據(jù)中少量的異常值都能使IAA算法的性能大幅下降。而隨著信噪比的提高，3種處理方法的MSE性能同樣都有所提高，且差距縮小。

圖4 場景1下頻率估計MSE與SNR的關(guān)系

圖5 場景2下頻率估計MSE與SNR的關(guān)系

圖6 場景3下頻率估計MSE與SNR的關(guān)系

最后以混合高斯噪聲場景為例，給出SNR為5dB時3種處理方法得到的頻譜圖。在圖7～圖9中，橫坐標(biāo)為歸一化頻率，縱坐標(biāo)為估計得到的頻率點(diǎn)幅度。該頻譜圖由20次仿真得到的頻譜求平均得到。從圖中可以看到，在數(shù)據(jù)中有異常值的情況下，IAA譜估計結(jié)果主瓣較寬，旁瓣也較大。而本文的處理方法能夠很好地抑制頻譜泄漏，提高頻譜估計的分辨率，更好地突出真實(shí)的頻率成分。對比降噪前后IAA譜估計的結(jié)果可以看到，本文降噪方法能夠有效地去除背景噪聲。且從圖7和圖8中可以看到，IAA算法和原子范數(shù)降噪后IAA算法譜估計的頻譜圖中均出現(xiàn)偽峰。但是本文算法的缺陷是，對降噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行IAA譜估計，在信噪比較低的情況下雖然對頻率點(diǎn)估計更為準(zhǔn)確，但對幅度的估計并不是很準(zhǔn)確。在信噪比高的情況下該性能將有所改善。

圖7 IAA算法的平均功率譜圖

圖8 原子范數(shù)降噪結(jié)合IAA算法的平均功率譜圖

圖9 魯棒降噪結(jié)合IAA算法的平均功率譜圖

4 結(jié) 論

針對觀測數(shù)據(jù)中存在異常值的情況，本文提出了一種魯棒的原子范數(shù)降噪方法，并將其應(yīng)用于線譜估計問題。該方法構(gòu)建了一個可以聯(lián)合估計出異常值及降噪信號的優(yōu)化問題，并在此優(yōu)化問題中利用l1范數(shù)和原子范數(shù)分別對異常值的稀疏性和信號本身的特性進(jìn)行約束。通過求解該優(yōu)化問題，獲得降噪后的有效數(shù)據(jù)，進(jìn)而可利用現(xiàn)有的算法對降噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行譜估計。該算法能夠更準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號，而且利用現(xiàn)有算法獲得譜估計的精度和分辨率也有明顯的提高。

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E－mail：12210720037＠fudan．edu．cn

張建秋（1962－），男，教授，博士，主要研究方向為信號處理及其在通信、控制、測量、圖像和雷達(dá)中的應(yīng)用。

E－mail：jqzhang01＠fudan．edu．cn

Robust atomic norm denoising with its applications to line spectral estimation

WANG Jie－jie，ZHANG Jian－qiu
（Department of Electronics Engineering，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433，China）

To estimate the line spectrum of data corrupted with outliers，a robust atomic norm denoising method is proposed．In the method，an optimization problem jointly estimating the outliers and the original signal is formulated．By adding an l1norm penalty on the outliers and an atomic norm penalty on the signal to the cost function，the sparsity in the outliers and the signal own characteristics are constrained．Once the optimization problem is solved，the existed spectral estimation algorithms can be used to estimate the spectrum of the denoised signal．The simulation results indicate that when the observed data are corrupted with outliers，the proposed method can acquire a more accurate original signal estimation，thus the spectral estimation will be of higher precision and resolution．

line spectral estimation；outliers；robust denoising；atomic norm；l1norm

TN 911．72

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．04

王潔潔（1989－），女，碩士研究生，主要研究方向為信號處理及其應(yīng)用。

1001－506X（2015）06－1249－06

2014－05－12；

2014－11－04；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014－12－01。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141201．1951．001．html

國家自然科學(xué)基金（61171127）資助課題