基于應(yīng)急期權(quán)的供應(yīng)鏈魯棒訂貨設(shè)計

李 彬 ，季建華，王文利

（1.中國建設(shè)銀行 博士后科研工作站，北京 100032；2.上海交通大學(xué) 中美物流研究院，上海 200030；3.太原科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，太原 030024）

麥肯錫近期發(fā)布的一項報告顯示，有近2/3的 受訪制造企業(yè)表示，在近2年內(nèi)發(fā)生過生產(chǎn)所需原料或部件的供應(yīng)風(fēng)險事件。由于外部突發(fā)事件或者自身運行的不確定性，供應(yīng)不確定性現(xiàn)象普遍存在。當(dāng)面對供應(yīng)不確定性時，買方企業(yè)可以通過購買應(yīng)急期權(quán)來分散風(fēng)險。供應(yīng)鏈中傳統(tǒng)的期權(quán)模式是指買方企業(yè)單純購買期權(quán)，本文提出一種全新的應(yīng)急期權(quán)模式，即買方企業(yè)在向傳統(tǒng)供應(yīng)商提供訂單的同時向外部可靠市場購買應(yīng)急期權(quán)，以備發(fā)生不確定性風(fēng)險時執(zhí)行期權(quán)來補充供應(yīng)缺口，定義為單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式。這種全新的應(yīng)急期權(quán)模式能夠?qū)⑵跈?quán)在分散風(fēng)險方面的作用和單源采購在價格數(shù)量折扣方面的優(yōu)勢結(jié)合起來，逐漸受到關(guān)注。例如，我國香港最大的進(jìn)出口貿(mào)易公司利豐公司就對其所需產(chǎn)品實行該種訂貨模式，他們從一個主要的供應(yīng)商處訂貨，同時向國際市場購買該種產(chǎn)品的期權(quán)。

供應(yīng)鏈魯棒訂貨策略是指買方企業(yè)在面對供應(yīng)不確定性時，采取的能夠?qū)嶋H收貨率穩(wěn)定維持在較高水平并實現(xiàn)較高的供應(yīng)鏈?zhǔn)找娴挠嗀洸呗?。關(guān)于魯棒訂貨策略，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行過一系列的研究。Tang［1］回顧了近年關(guān)于不可靠供應(yīng)鏈下魯棒訂貨策略的研究并作了展望；Poojari等［2］研究了供應(yīng)鏈的魯棒選址和魯棒配送路線設(shè)計問題；Pan等［3］研究了不確定性下敏捷制造系統(tǒng)的魯棒供應(yīng)鏈設(shè)計問題；Wang等［4］基于投資改善可靠性研究了應(yīng)對不確定性風(fēng)險的最優(yōu)訂貨及投資策略問題；Hahn等［5］建立了基于供應(yīng)鏈經(jīng)濟(jì)附加值的魯棒優(yōu)化模型；Xanthopoulos等［6］分別研究了雙源供應(yīng)體系下風(fēng)險中性與風(fēng)險規(guī)避決策者的魯棒訂貨決策；Vlajic等［7］提出了設(shè)計魯棒性食品供應(yīng)鏈的總體框架。徐家旺等［8］研究了供應(yīng)鏈系統(tǒng)動態(tài)情景問題并分析了其魯棒控制策略；田俊峰等［9］建立了從上游供應(yīng)商選擇到下游設(shè)施選址和需求分配的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計魯棒優(yōu)化模型。

關(guān)于應(yīng)對供應(yīng)不確定性風(fēng)險的期權(quán)問題，Moutaz［10］研究了加入應(yīng)急期權(quán)的報童問題；Babich［11］研究了供應(yīng)不可靠條件下各供應(yīng)商之間存在競爭時替代期權(quán)的價值問題，得到替代期權(quán)對于買方企業(yè)庫存再訂貨點的影響；Xu［12］研究了市場需求隨機(jī)定價和供應(yīng)不確定下，買方企業(yè)需求價格實現(xiàn)前購買期權(quán)和需求價格實現(xiàn)后購買期權(quán)兩種模式下的期權(quán)合同設(shè)計問題；Buzacott等［13］提出了傳統(tǒng)的供應(yīng)鏈訂貨模型的缺點，研究了不確定性下基于不同供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)特征的期權(quán)問題。寧鐘等［14］分析了供應(yīng)鏈期權(quán)在增強(qiáng)信息流和促進(jìn)風(fēng)險共擔(dān)方面的作用，并對如何應(yīng)用期權(quán)協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈上各個主體進(jìn)行了研究；李琳等［15］基于不同的信用違約條件建立了供應(yīng)鏈各主體的決策模型，研究了市場需求和價格不確定性下的供應(yīng)鏈期權(quán)式契約協(xié)調(diào)問題。

綜上可知，對于應(yīng)急期權(quán)，現(xiàn)有文獻(xiàn)集中于研究買方企業(yè)用期權(quán)完全替代不可靠供應(yīng)商來應(yīng)對風(fēng)險的模式，而向傳統(tǒng)供應(yīng)商訂貨同時向外部可靠市場購買應(yīng)急期權(quán)這種更有實踐應(yīng)用價值的模式則很少涉及。本文對傳統(tǒng)應(yīng)急期權(quán)進(jìn)行創(chuàng)新，研究買方企業(yè)面對供應(yīng)不確定性風(fēng)險的魯棒性訂貨設(shè)計問題，首先建立該種模式下的買方企業(yè)訂貨模型，求解最優(yōu)訂貨量和期權(quán)購買量，并與單純購買期權(quán)的模式進(jìn)行比較。最后，對該種模式下的最優(yōu)訂貨策略進(jìn)行魯棒敏感性分析。

1 模型參數(shù)設(shè)定和基本假設(shè)

本文引入應(yīng)急期權(quán)，研究單周期下面對供應(yīng)不確定性時買方企業(yè)的魯棒性訂貨模式設(shè)計問題。在單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下，買方企業(yè)首先向單源供應(yīng)商訂貨，同時購買應(yīng)急期權(quán)，當(dāng)不確定性風(fēng)險發(fā)生且市場需求實現(xiàn)后，買方企業(yè)將視實際送貨量和實際需求之間的差距決定是否執(zhí)行期權(quán)以及執(zhí)行多少期權(quán)。單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式的事件發(fā)生順序如圖1所示。

圖1 單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式示意圖

1.1 模型參數(shù)設(shè)定

在單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下，設(shè)定買方企業(yè)所面對的市場需求ω是隨機(jī)的，其分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為F（ω）和f（ω）。面對由突發(fā)事件或供應(yīng)商運行不確定性所造成的潛在供應(yīng)不確定性風(fēng)險，供應(yīng)商不是完全可靠的，向買方企業(yè)的實際送貨數(shù)量小于或等于訂貨量，本文定義實際送貨數(shù)量占訂貨量的比例表示該供應(yīng)商的供應(yīng)可靠性r，這里r≤1，通常買方企業(yè)在選擇供應(yīng)商并決定訂貨量時掌握其供應(yīng)可靠性的過往信息，根據(jù)這些數(shù)據(jù)得出可靠性服從g（r）的分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為和σ（σ≤）。本文中表示供應(yīng)商的正常供應(yīng)不受突發(fā)事件或其他不確定性影響的水平，而σ表示該水平值的離散程度。買方企業(yè)從單個傳統(tǒng)供應(yīng)商處訂貨，同時向其他市場購買應(yīng)急期權(quán)。本文設(shè)定買方企業(yè)從單個供應(yīng)商處的訂貨量為q，采購單價為c；當(dāng)供應(yīng)不確定性發(fā)生并且市場需求實現(xiàn)后，買方企業(yè)可以選擇執(zhí)行應(yīng)急期權(quán)，應(yīng)急期權(quán)總的采購單價為co，買方企業(yè)需要分2次支付期權(quán)價格，期權(quán)預(yù)購單價為αco，期權(quán)執(zhí)行單價為（1—α）co，這里α表示在不確定性發(fā)生前購買期權(quán)時所需支付的預(yù)購單價占總的期權(quán)單價的比例。產(chǎn)成品的銷售單價為p，剩余未能銷售的產(chǎn)成品的單位殘值為s，單位需求缺貨損失為u。期權(quán)購買量為M，期權(quán)執(zhí)行量為m，顯然，m≤M。設(shè)定買方企業(yè)的利潤為π，其決策的目標(biāo)就是確定最優(yōu)的訂貨量和應(yīng)急期權(quán)購買量，使面對產(chǎn)品或部件供應(yīng)不確定性風(fēng)險及不確定市場需求時的銷售利潤實現(xiàn)最大化。

1.2 模型基本假設(shè)

（1）假設(shè)訂貨提前期為0。

（2）供應(yīng)可靠性服從g（r）分布，為方便研究，本文假設(shè)該概率密度函數(shù)是二階可微的。

（3）假設(shè)不存在完全穩(wěn)定的供應(yīng)可靠性，即σ＞0。

（4）與報童模型一致，本文假設(shè)p＞c＞s。

（5）假設(shè)應(yīng)急期權(quán)的可靠性為100%。

（6）假設(shè)采購價格較低的供應(yīng)商通常擁有較低的供應(yīng)可靠性，由于應(yīng)急期權(quán)具有100%的供應(yīng)可靠性，故假設(shè)co≥c。

（7）為了防止買方企業(yè)無所顧忌地執(zhí)行全部期權(quán)，本文假設(shè)（1—α）co＞s。

2 單源采購配合應(yīng)急期權(quán)魯棒訂貨模式

2.1 基本模型

借助報童模型，首先建立買方企業(yè)單周期利潤模型，并給定相關(guān)的非負(fù)限制條件。

根據(jù)上式，建立最大化買方企業(yè)單周期期望利潤的模型：

式（2）是面對供應(yīng)不確定性風(fēng)險時買方企業(yè)構(gòu)建單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式的利潤最大化模型，現(xiàn)在需證明最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)應(yīng)急期權(quán)購買量的存在性，并得到這2個最優(yōu)解。通過分析證明，得到定理1。

定理1在單源供應(yīng)配合應(yīng)急期權(quán)模式下，若產(chǎn)成品市場需求服從［a，b］之間的均勻分布，則提供給單源采購商的最優(yōu)訂貨量和外部可靠市場的最優(yōu)期權(quán)購買量分別為：

證明將式（2）分別對q和M求導(dǎo)，得：

引入ω～U［a，b］，并對q和M求導(dǎo)，得：

聯(lián)立以上兩式求解最優(yōu)的q*和M*，得到式（3）、（4）。 證畢

通過定理1及其證明過程可知，在供應(yīng)可靠性服從一般分布下，無論面對何種需求，買方企業(yè)都存在最優(yōu)的訂貨量和應(yīng)急期權(quán)購買量使利潤取最大值，最優(yōu)訂貨量和應(yīng)急期權(quán)購買量與供應(yīng)可靠性和采購價格相關(guān)。關(guān)于供應(yīng)可靠性，這里只需知道其均值和方差（這2個參數(shù)可以根據(jù)以往數(shù)據(jù)估算出來）就能得到最優(yōu)訂貨量和應(yīng)急期權(quán)購買量，而不需要知道可靠性的具體取值或具體分布，即在該均值和方差所限定的范圍內(nèi)，無論供應(yīng)可靠性受突發(fā)事件影響如何變動，模型優(yōu)化得到的最優(yōu)訂貨策略和應(yīng)急期權(quán)策略都能使得買方企業(yè)的收益穩(wěn)定維持在較高水平。

無論外部條件如何變動，通過實施這個最優(yōu)的訂貨量和期權(quán)購買量，買方企業(yè)的訂單需求都能夠得到最大滿足，有效應(yīng)對供應(yīng)不確定性風(fēng)險，同時還能夠盡量減少不確定性風(fēng)險對其收益造成的損失，符合系統(tǒng)魯棒性的內(nèi)在涵義，因此，該訂貨策略是一種魯棒訂貨策略。

2.2 模型分析

由定理1可見，最優(yōu)的訂貨量和期權(quán)購買量除了與傳統(tǒng)供應(yīng)商的采購單價及供應(yīng)可靠性相關(guān)以外，還與供應(yīng)可靠性離散程度、期權(quán)價格及期權(quán)預(yù)購價格比例相關(guān)。通過對定理1的分析，得到如下結(jié)論。

推論1當(dāng)滿足以下條件時，買方企業(yè)應(yīng)當(dāng)放棄購買應(yīng)急期權(quán)，轉(zhuǎn)而從單源采購商處訂貨，構(gòu)建單源采購模式：

由推論1可見，單源采購商的可靠性離散程度（σ2）對于選擇購買應(yīng)急期權(quán)具有重要的意義，當(dāng)該離散程度較小時，買方企業(yè)應(yīng)該放棄從外部可靠市場購買應(yīng)急期權(quán)，單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式轉(zhuǎn)變?yōu)閱卧床少從Ｊ?。關(guān)于可靠性離散程度對最優(yōu)訂貨量和期權(quán)購買量的具體影響，本文通過數(shù)值方法進(jìn)行研究，設(shè)p=1.2，s=0.1，u=0.1，a=20，b=120，并設(shè)c=0.6，co=1=0.8，σ2=0.06，α=0.5，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可見，隨著傳統(tǒng)供應(yīng)商的供應(yīng)可靠性離散程度增大，買方企業(yè)應(yīng)不斷縮減提供給該單供應(yīng)商的訂單，同時轉(zhuǎn)向外部市場尋求更多的應(yīng)急期權(quán)。

圖2 供應(yīng)可靠性離散程度對最優(yōu)訂貨量和期權(quán)購買量的影響

接下來，研究應(yīng)急期權(quán)價格對于單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式的影響，得到推論2。

推論2當(dāng)滿足以下條件時，買方企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)品采購模式從單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式變?yōu)閱卧床少從Ｊ?，?/p>

由推論2可知，當(dāng)應(yīng)急期權(quán)的價格相對于來自供應(yīng)商的采購單價足夠高時，買方企業(yè)應(yīng)該放棄購買應(yīng)急期權(quán)，轉(zhuǎn)而只從單個供應(yīng)商處采購原料，構(gòu)建單源采購模式。管理學(xué)上的解釋是：此時期權(quán)帶來的買方企業(yè)滿足市場需求的收益低于購買期權(quán)所花費的成本。關(guān)于應(yīng)急期權(quán)價格對最優(yōu)訂貨量和期權(quán)購買量的具體影響，通過數(shù)值方法進(jìn)行研究，設(shè)p=1.2，s=0.1，u=0.1，a=20，b=120，并 設(shè)c=0.6=0.8，σ2=0.06，α=0.5，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3可見，隨著外部可靠市場應(yīng)急期權(quán)價格的上升，最優(yōu)的期權(quán)購買量不斷下降，而提供給傳統(tǒng)供應(yīng)商的最優(yōu)訂貨量不斷增加。

圖3 期權(quán)價格對最優(yōu)訂貨量和期權(quán)購買量的影響

關(guān)于最優(yōu)的訂貨量和期權(quán)購買量與期權(quán)預(yù)購單價比例之間的關(guān)系，本文通過數(shù)值方法來研究。設(shè)co=1，c=0.6=0.8，σ2=0.06，研究α在0～1之間的變動對最優(yōu)值的影響，如圖4所示。由圖4可見，當(dāng)購買應(yīng)急期權(quán)時需要提前支付的期權(quán)預(yù)定價格占期權(quán)總單價的比例越來越高時，買方企業(yè)應(yīng)當(dāng)減少期權(quán)購買量，同時，為了維持供應(yīng)量盡量滿足市場需求，買方企業(yè)需要提高提供給單供應(yīng)商的訂貨量。當(dāng)期權(quán)預(yù)定價格占期權(quán)總價格的比例提高到一定程度時，買方企業(yè)應(yīng)該放棄購買應(yīng)急期權(quán)，從而轉(zhuǎn)為單源采購模式。

圖4 期權(quán)預(yù)購價格比例對最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)期權(quán)購買量的影響

3 與單純購買期權(quán)模式的比較

單純購買期權(quán)模式是指買方企業(yè)不選擇從有供應(yīng)風(fēng)險的傳統(tǒng)供應(yīng)商處訂貨，而是只選擇購買期權(quán)來應(yīng)對來自需求端的不確定性，從而完全規(guī)避來自傳統(tǒng)供應(yīng)商的供應(yīng)風(fēng)險。但該模式會因為較高的期權(quán)價格而使得買方企業(yè)收益大幅降低。這是一種傳統(tǒng)的期權(quán)模式，從前一節(jié)的分析可知，買方企業(yè)在運用單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式來應(yīng)對供應(yīng)不確定性風(fēng)險時，可能會放棄從外部可靠市場購買期權(quán)，由此來規(guī)避期權(quán)的較高價格。那么它會不會也由于某種原因放棄從存在交貨風(fēng)險的傳統(tǒng)供應(yīng)商處訂貨，從而規(guī)避供應(yīng)風(fēng)險，構(gòu)建單純購買期權(quán)模式呢？本節(jié)首先從訂貨量的角度進(jìn)行分析，得到推論3。

推論3在單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下，買方企業(yè)從單源采購商處的最優(yōu)訂貨量始終大于0（q*＞0），即在單源采購商的供應(yīng)存在不確定性風(fēng)險下，無論該種風(fēng)險多大，購買應(yīng)急期權(quán)與否，買方企業(yè)都應(yīng)該從該供應(yīng)商處訂貨。

證明由式（3），因為co≥c，可得

所以，

推論3結(jié)論的原因可能在于較低的供應(yīng)商采購價格（相對期權(quán)價格），以及選擇單源采購商時，供應(yīng)不確定性風(fēng)險和需求不確定性可能發(fā)生的相互抵消作用。而因為（1—α）co＞s，所以期權(quán)也要面對預(yù)購量大于需求的風(fēng)險，這種風(fēng)險并沒有供應(yīng)不確定性風(fēng)險與其相抵消。

接下來，再對兩種模式進(jìn)行收益比較。首先借助報童模型，建立單純購買期權(quán)模式下買方企業(yè)單周期利潤模型，并給定相關(guān)的非負(fù)限制條件，即

根據(jù)上式，建立最大化買方企業(yè)單周期期望利潤模型：

通過分析證明，可以得到式（18）中買方企業(yè)的期望利潤函數(shù)對期權(quán)購買量M是凹函數(shù)，最優(yōu)期權(quán)購買量M*服從

證明過程略。

同樣設(shè)定產(chǎn)成品的市場需求ω～U［a，b］，得

通過數(shù)值仿真對兩種模式進(jìn)行收益比較，設(shè)p=1.2，s=0.1，u=0.1，a=20，b=120，并 設(shè)co=1，c=0.6，σ2=0.06，α=0.5，分別研究及α的變動對收益的影響，如圖5所示。由圖5可見，無論單供應(yīng)商的供應(yīng)可靠性如何，單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下買方企業(yè)收益都高于單純購買期權(quán)模式。

圖5 兩種模式下買方企業(yè)收益的比較

4 魯棒敏感性分析

魯棒性的內(nèi)在涵義是系統(tǒng)在一定的參數(shù)攝動下，穩(wěn)定維持某些性能處于一定水平的特性。進(jìn)行魯棒敏感性分析就是觀察相關(guān)參數(shù)的變動對于這種系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。為了研究所得到的單源采購配合應(yīng)急期權(quán)訂貨策略的魯棒性究竟如何，結(jié)合式（1）、（2）及式（8）、（9），對該種模式進(jìn)行魯棒敏感性分析，分析最優(yōu)訂貨策略下，供應(yīng)鏈系統(tǒng)中供應(yīng)可靠性的變動對于系統(tǒng)收益穩(wěn)定性的影響。收益越穩(wěn)定，該訂貨策略所具有的魯棒性就越高。

設(shè)p=1.2，s=0.1，u=0.1，a=80，b=120，c=0.6，co=1，σ2=0.06，并設(shè)突發(fā)事件影響下的供應(yīng)可靠性服從正態(tài)分布，r～N（0.6，0.06），仿真得到單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下買方企業(yè)收益，并與單純購買期權(quán)模式作比較，如圖6、7所示。

圖6 單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下買方收益的波動

圖7 單純購買期權(quán)模式下買方收益的波動

由圖6、7可見，在單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下，隨著供應(yīng)可靠性的變動，買方企業(yè)收益始終能夠穩(wěn)定地維持在較高水平。對比單純購買期權(quán)模式，單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下收益的波動較小。接下來，用收益變動范圍內(nèi)的百分比來詳細(xì)分析其魯棒敏感性，如表1所示。

表1 單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式最優(yōu)訂貨策略的魯棒敏感性 %

由表1可見，在單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式下，隨著供應(yīng)可靠性的變動，絕大多數(shù)情況下，買方企業(yè)收益位于平均值附近10%區(qū)間內(nèi)，而極少出現(xiàn)較大的波動，即買方企業(yè)收益對于供應(yīng)商可靠性的變化不敏感，該種訂貨策略具有較高的魯棒性。

5 結(jié)語

本文研究買方企業(yè)面對供應(yīng)不確定性風(fēng)險時具有魯棒性的訂貨模式設(shè)計問題，在傳統(tǒng)訂貨模式上引入應(yīng)急期權(quán)，構(gòu)建單源采購配合應(yīng)急期權(quán)模式，并對該種模式做詳細(xì)研究。建立了該種模式下的買方企業(yè)訂貨模型，求解最優(yōu)的訂貨量和期權(quán)購買量并進(jìn)行分析，然后與單純購買期權(quán)模式進(jìn)行比較。最后，對該種模式下的最優(yōu)訂貨策略進(jìn)行魯棒敏感性分析。研究表明：①無論購買應(yīng)急期權(quán)與否，買方企業(yè)都應(yīng)首先從傳統(tǒng)供應(yīng)商處訂貨，應(yīng)急期權(quán)策略不應(yīng)單獨使用，單源采購配合應(yīng)急期權(quán)的模式優(yōu)于單純購買期權(quán)的模式；②隨著單源供應(yīng)商供應(yīng)可靠性離散程度不斷提高，買方企業(yè)的期權(quán)購買量應(yīng)不斷增加，向單源供應(yīng)商提出的訂貨量則應(yīng)不斷降低；③魯棒敏感性分析的結(jié)果表明，對于供應(yīng)可靠性的波動，買方企業(yè)收益能夠穩(wěn)定地維持在較高水平，該種訂貨策略具有較高的魯棒性。

本研究關(guān)注如何在單源供應(yīng)上引入應(yīng)急期權(quán)，進(jìn)一步的研究方向包括雙源供應(yīng)配合應(yīng)急期權(quán)模式設(shè)計以及期權(quán)提前執(zhí)行的問題。