橢圓分布中均值-方差分析與期望效用理論的一致性研究

文 平，黃薏舟

（1.常州工學(xué)院 理學(xué)院，江蘇 常州 213022；2.新疆財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，烏魯木齊 830012）

均值-方差分析［1-2］是馬克威茨提出的一種分析方法。他指出，投資組合的選擇應(yīng)根據(jù)2個標(biāo)準(zhǔn)：投資組合的均值和投資組合的方差。投資組合的均值用來描述其收益，而投資組合方差用來描述其風(fēng)險。一個投資組合優(yōu)于另一投資組合，假如它有較大的均值和較小的方差。均值-方差分析被提出后，由于其所富有的啟發(fā)性以及容易在實(shí)踐中應(yīng)用等特點(diǎn)，故被金融界廣泛采用，許多金融模型就構(gòu)建在均值-方差分析的基礎(chǔ)之上。

均值-方差分析是不同于期望效用理論的一種決策方法，所以兩者的一致性一直在被研究。例如，是否所有風(fēng)險厭惡的投資者確定的投資組合也是被均值-方差分析所確定的最優(yōu)投資組合。然而，答案是否定的?，F(xiàn)在的觀點(diǎn)是，除非多種投資的聯(lián)合分布是多元正態(tài)分布或效用函數(shù)為二次的，均值-方差分析才與期望效用理論是一致的。然而，正態(tài)分布的假定常有其局限性，因?yàn)槭找娣植纪尸F(xiàn)出“高峰肥尾”的特征。同時，二次效用函數(shù)的假定也不能令人滿意，因?yàn)槎涡в煤瘮?shù)意味著遞增的絕對風(fēng)險規(guī)避程度，以及當(dāng)財富超過某一點(diǎn)時效用隨財富遞減。這不僅限制了均值-方差分析的應(yīng)用范圍，而且動搖了包括投資組合理論和資本資產(chǎn)定價理論在內(nèi)的眾多理論的基礎(chǔ)。

那么，除了投資的聯(lián)合分布是多元正態(tài)分布或效用函數(shù)為二次函數(shù)的情形，是否還存在其他條件且在該條件下均值-方差分析與期望效用理論是一致的呢？即要找到某種條件，在該條件下對于每一個風(fēng)險厭惡的期望效用最大化者，他總是喜歡均值大方差小的隨機(jī)變量，反之亦然。無疑這是一個極其重要且富有挑戰(zhàn)的理論問題，也是一個極具應(yīng)用價值的實(shí)際問題。

Levy等［3-5］指出，進(jìn)一步的理論發(fā)展應(yīng)集中在對分布加以限制或?qū)ζ眉右韵拗?。Meyer［6］證明了LS（Location and Scale）條件下，期望效用可以表示為均值和方差的函數(shù)，而且還證明了在一般情況下，期望效用隨均值單調(diào)遞增隨方差單調(diào)遞減，同時他指出，許多經(jīng)濟(jì)模型都滿足LS條件。但是Meyer沒有能夠在LS條件下直接證明均值-方差分析與期望效用理論的一致性。文平［7］討論了在位置-尺度分布族下，均值-方差分析與期望效用理論的一致性，證明了在位置-尺度分布族中當(dāng)源的支撐可達(dá)到負(fù)無窮時，均值-方差分析與期望效用理論是完全一致的。在此基礎(chǔ)上，本文通過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，可以將均值-方差分析的應(yīng)用范圍拓展至橢圓分布族。

1 位置-尺度分布族中均值-方差分析與期望效用理論的一致性

關(guān)于該問題的討論，已有論述，以下只列出一些結(jié)論，結(jié)論的證明詳見文獻(xiàn)［7］。之所以在這里列出，主要是便于下面的討論。

定義1位置-尺度分布族是其分布函數(shù)形如的隨機(jī)變量組成的集合，其中，μ∈R為位置參數(shù)，σ＞0為尺度參數(shù)，F(xiàn)（·）已知，且是某一個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

在經(jīng)濟(jì)與管理中，為了便于應(yīng)用，位置-尺度分布族通常被定義為由一個隨機(jī)變量經(jīng)過仿射變換Y=μ+σX生成的分布族。這樣任何一個隨機(jī)變量都可生成一個位置-尺度分布族。為討論方便，不妨設(shè)X是均值為0、方差為1的隨機(jī)變量；否則，

此時，Y可視為由X1生成的分布族，而X1是均值為0、方差為1的隨機(jī)變量。由此可得位置-尺度分布族的等價定義。

定義2設(shè)X為隨機(jī)變量，其均值為0、方差為1。S=｛Y|Y=σX+μ，σ＞0，μ∈R｝，稱集合S為以X為源的位置-尺度分布族，稱X為該分布族的源，若Y1、Y2均屬于集合S，則稱Y1、Y2屬于同源位置-尺度分布族。

顯然，若X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則以X為源的位置-尺度分布族就是正態(tài)分布族。若X服從均值為0、方差為1的均勻分布，則以X為源的位置-尺度分布族就是由所有均勻分布組成的分布族。位置-尺度分布族還包括拉柯西分布族、拉普拉斯分布族及穩(wěn)定分布族等。由定義可以看出，任何一個均值為0、方差為1的隨機(jī)變量X都可以生成一個位置-尺度分布族，位置-尺度分布族中的任何一個隨機(jī)變量都是其源X的一個仿射變換。位置-尺度分布族有以下性質(zhì)：

定義3設(shè)X的分布函數(shù)為F（x），則稱（a，b）為X的支撐，其中，

對于正態(tài)分布族，其源X的支撐為（—∞，+∞），即a=b=+∞，所以正態(tài)分布族中的任一隨機(jī)變量的支撐為（—∞，+∞）。同理，拉普拉斯分布族中的任何一個隨機(jī)變量的支撐也為（—∞，+∞）。對于均勻分布族，其源X的支撐為），即a=b=，所以均勻分布中任一隨機(jī)變量Y的支撐為

定理1設(shè)Y1、Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，則有：

（1）Y2一級隨機(jī)占優(yōu)于Y1，即Y2?FSDY1的充要條件為

其中（—a，b）為X的支撐。

（2）Y2二級隨機(jī)占優(yōu)于Y1，但不是一級隨機(jī)占優(yōu)于Y1，即Y2?SSDY1但Y2FSDY1的充要條件為μ2≥μ1且（μ2—μ1）/b≤σ1—σ2，其中（—a，b）為X的支撐。

定理2（Hardar-Ressel定 理）［8］Y1、Y2為2個隨機(jī)變量，則對于任意單調(diào)遞增且凹的效用函數(shù)u（x），E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要條件是Y2二級隨機(jī)占優(yōu)于Y1，即Y2?SSDY1

Hardar-Ressel定理表明，期望效用理論與二級隨機(jī)占優(yōu)是完全一致的。從而只要證明與隨機(jī)占優(yōu)的一致性，就可證明與期望效用理論的一致性。

定理3設(shè)Y1、Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，則對于任意單調(diào)遞增且凹的效用函數(shù)u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要條件為μ2≥μ1且σ1—σ2，其中（—a，b）為X的支撐。

由定理1和Hardar-Ressel定理就可得到定理3。由定理3可知，在位置-尺度分布族中，期望效用理論與均值-方差分析之間是有關(guān)系的。那么何時兩者是完全一致的呢？由定理3的結(jié)論可以看出，只需位置-尺度分布族的源的支撐趨于無窮或均值相等時。因而，有以下結(jié)論。

推論1設(shè)Y1、Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，（—a，b）為源X的支撐，且a=+∞，則對于任意單調(diào)遞增且凹的效用函數(shù)u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要條件為μ2≥μ1且

推論2設(shè)Y1、Y2同屬以X為源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，若μ1=μ2，則對于任意單調(diào)遞增且凹的效用函數(shù)u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要條件為。

推論1、2揭示了一個非常重要的結(jié)論：當(dāng)決策集為同源的位置-尺度分布族時，且源的支撐又可抵達(dá)負(fù)無窮時或均值相等時，均值-方差分析與期望效用理論是完全一致的。該結(jié)論是在一維情形下得到的，能否將之推廣到多維隨機(jī)變量呢？

2 橢圓分布與球形分布

2.1 橢圓分布的定義

眾所周知，隨機(jī)向量X=（X1，X2，…，Xn）T被稱為多元正態(tài)分布，假如它的特征函數(shù)

等價地，可以稱X為多元正態(tài)分布，假如Y=μ+AZ，這里Z=（Z1，Z2，…，Zm）T，是由m個相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布組成的隨機(jī)向量，A是n×m矩陣，μ是n維向量。若隨機(jī)向量X服從參數(shù)為μ和∑的多元正態(tài)分布，則記為X～N（μ，∑）。這里，向量μ是X的均值向量，∑是X協(xié)方差矩陣，而且∑與A之間的關(guān)系為∑=A AT。

類似地，可以定義橢圓分布，橢圓分布是多元正態(tài)分布的自然延伸。橢圓分布的定義與性質(zhì)詳見文獻(xiàn)［9-10］，以下只給出本文要用的內(nèi)容。

定義4隨機(jī)向量X=（X1，X2，…，Xn）T被稱為橢圓分布，假如它的特征函數(shù)

記為X～En（μ，∑，φ），φ稱為X的特征產(chǎn)生器。

隨機(jī)向量的特征函數(shù)總是存在的，并且與分布函數(shù)存在一一對應(yīng)的關(guān)系。因而橢圓分布的特征產(chǎn)生器一旦確定，橢圓分布的密度函數(shù)形式就確定了。橢圓分布包括的多元分布有：柯西分布、拉普拉斯分布、多元正態(tài)分布、Logistic分布、多元Student分布以及部分穩(wěn)定分布等。

對于多元正態(tài)分布而言，若X～N（μ，∑），則對于任何向量X的線性組合ωTX也服從正態(tài)分布，并且ωTX的均值為ωTμ，ωTX方差為ωT∑ω。橢圓分布也有類似的性質(zhì)。

定理4若隨機(jī)向量X～En（μ，∑，φ），則對于任意n維向量w，有ωTX～E1（ωTμ，ωT∑w，φ）。

由定理4可知，若多種資產(chǎn)的投資收益用多元橢圓分布來描述，則多種資產(chǎn)的投資組合收益服從具有相同特征產(chǎn)生器的一維橢圓分布。而一維橢圓分布只要特征產(chǎn)生器相同，其實(shí)就是位置-尺度分布族。這樣就可以在位置-尺度分布族中討論投資組合問題。

2.2 球形分布

n維隨機(jī)向量Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，若Z1，Z2，…，Zn相互獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則Z服從多元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為Z～N（O，In），這里O為n維零向量，In為n階單位矩陣，Z的特征函數(shù)

類似地，可以將多元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布推廣至多元球形分布。

定 義5設(shè)Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，若Z～En（O，In，φ），則稱Z服從特征產(chǎn)生器為φ的n維球形分布，記為Z～Sn（φ）。

由定義可知，若Z～Sn（φ），則Z的特征函數(shù)

設(shè)A=（aij），μ=（μ1，μ2，…，μn）T，若Z～Sn（φ）。令Y=μ+A Z，可以證明Y～En（μ，∑，φ），這里∑=A AT。

定理5設(shè)Z～Sn（φ），則對于任意n維向量w，有

作為定理的一個特例可知，若Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，Z～Sn（φ），則Zi均服從S1（φ）。

3 橢圓分布中均值-方差分析與期望效用理論的一致性

設(shè)有n種金融資產(chǎn)，其資產(chǎn)收益用向量X=（X1，X2，…，Xn）T表示，這里Xi為第i種金融資產(chǎn)的收益。由于收益具有隨機(jī)性，故X1，X2，…，Xn均為隨機(jī)變量，故X為一隨機(jī)向量。設(shè)其均值為μ=（μ1，μ2，…，μn）T，這里EXi=μi，i=1，2，…，n。各種金融資產(chǎn)的收益以某種方式相互依賴，這種依賴可用它們之間的協(xié)方差矩陣表示。設(shè)Xi與Xj的協(xié)方差為

令∑=（σij），則∑為X的協(xié)方差矩陣。

投資決策從本質(zhì)上講為一個投資組合，投資組成由w=（ω1，ω2，…，ωn）T表示，這里ωi為第i種金融資產(chǎn)的投資權(quán)重，因而滿足ωi≥0且ω1+ω2+…+ωn=1。

該組合投資不妨設(shè)為r1，其收益為

由此可知，該組合投資的期望收益為

其方差為

若有另一投資組合r2由v=（υ1，υ2，…，υn）T組成，即r2=υTX，因而其期望收益為

r2的方差為

是否存在二級隨機(jī)占優(yōu)與均值-方差分析的一致性呢？即ωTX?SSDυTX的充分必要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

目前研究的結(jié)論是，只有當(dāng)X服從多元正態(tài)分布時，二級隨機(jī)占優(yōu)與均值-方差分析是一致的。由于二級隨機(jī)占優(yōu)與期望效用理論的一致性，故在多元正態(tài)分布條件下，根據(jù)均值-方差分析所做的投資決策與根據(jù)期望效用理論所做的投資決策是條件是一致的。但是，如前文所述，多元正態(tài)分布的假定存在局限性。正是因?yàn)檫@個原因，人們在不斷探索用其他分布來描述投資收益。

橢圓分布是多元正態(tài)分布的推廣，而且橢圓分布具有與多元正態(tài)分布很多類似的性質(zhì)。既然在多元正態(tài)分布條件下，二級隨機(jī)占優(yōu)與均值-方差分析是一致的，能否將兩者一致性的范圍擴(kuò)大至橢圓分布就成為一個值得研究的課題。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)橢圓分布滿足某種條件二級隨機(jī)占優(yōu)與均值-方差分析是一致的，結(jié)果由下述定理給出。

定理6設(shè)X～En（μ，∑，φ），若X的邊際分布的支撐可抵達(dá)負(fù)無窮，則r1=ωTX二級隨機(jī)占優(yōu)于r2=υTX的充分必要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

證明r1=ωTX則r1～E1（ωTμ，ωT∑w，φ），同理，r1～E1（υTμ，υT∑v，φ）。即r1、r2服從具有相同特征產(chǎn)生器的一維橢圓分布，由于特征函數(shù)與分布的一一對應(yīng)，故r1、r2的分布相同，只是參數(shù)不同。另一方面，由橢圓分布和球形分布的定義可以看出，一維橢圓分布一定為一位置-尺度分布族。當(dāng)橢圓分布的邊際分布的支撐可抵達(dá)負(fù)無窮時，由橢圓分布產(chǎn)生的投資組合r1、r2的支撐也可抵達(dá)負(fù)無窮。根據(jù)定理1，有r1=ωTX二級隨機(jī)占優(yōu)于r2=υTX的充分必要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

推論3在橢圓分布中，若橢圓分布的邊際分布的支撐可抵達(dá)負(fù)無窮，則按期望效用理論進(jìn)行的投資決策與案均值-方差分析進(jìn)行的投資決策是一致的。

證明設(shè)X～En（μ，∑，φ），r1=ωTX，r2=υTX，當(dāng)X的邊際分布的支撐可抵達(dá)負(fù)無窮時，由定理6可知，r1=ωTX二級隨機(jī)占優(yōu)于r2=υTX的充分必要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。根據(jù)Hadar-Ressel定理，對于任意單調(diào)遞增且凹的效用函數(shù)u（x）有E［u（r1）］≥E［u（r2）］的充要條件為ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。即在該條件下，期望效用理論與均值-方差準(zhǔn)則是一致的。

在金融研究中，常假設(shè)投資收益服從正態(tài)分布，多種投資收益的聯(lián)合分布即為多元正態(tài)分布。之所以這樣做，主要是多元正態(tài)分布具有一些非常好的性質(zhì)：①若X=（X1，X2，…，Xn）T服從多元正態(tài)分布，則組合投資ω1X1+ω2X2+…+ωn Xn也服從正態(tài)分布，從而其邊際分布也為正態(tài)分布。②在正態(tài)分布假設(shè)下，投資決策的均值-方差分析方法與期望效用理論是一致的。然而，用正態(tài)分布描述投資收益存在不合理性，實(shí)證表明，投資收益往往呈現(xiàn)高峰肥尾的特征，用多元正態(tài)分布來描述投資收益顯然是不恰當(dāng)?shù)?，必須引進(jìn)其他更為復(fù)雜的分布甚至分布族。面對高峰肥尾現(xiàn)象，國內(nèi)外的解決方法主要是運(yùn)用呈現(xiàn)高峰肥尾特征的分布，諸如柯西分布、多元t-分布、多元拉普拉斯分布以及多元穩(wěn)定分布等。而橢圓分布恰好是包含了這些分布的分布族。因此，推論3的結(jié)論無論從理論上還是從實(shí)際上都具有重要的意義。

4 結(jié)語

均值-方差分析與期望效用理論的一致性自該方法被提出后一直就是一個被研究的問題。一方面，從分布著手，對分布加以限制；另一方面，從效用函數(shù)入手，對效用函數(shù)加以限制。目前，普遍的結(jié)論是當(dāng)分布為多元正態(tài)分布或效用函數(shù)為二次函數(shù)時，兩者才是一致的，而多元正態(tài)分布以及二次效用函數(shù)都有局限性，這樣拓展均值-方差分析的應(yīng)用范圍就非常有必要。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)橢圓分布的邊際分布的支撐可抵達(dá)負(fù)無窮，兩者存在一致性。而橢圓分布所包含的諸如柯西分布、拉普拉斯分布、多元正態(tài)分布、Logistic分布以及多元Student分布均滿足此條件，就可將兩者存在一致性的條件由多元正態(tài)分布拓廣至這些分布。這不僅具有一定的理論意義，而且具有一定的應(yīng)用價值。