關(guān)于函數(shù)對稱性的探究

朱啟東

（云南省會(huì)澤縣茚旺高級(jí)中學(xué)）

充分理解應(yīng)用函數(shù)的對稱性，無論在教師教學(xué)上還是在學(xué)生處理問題上都有較強(qiáng)的輔助作用。

一、函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的對稱性

函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的對稱性主要是單個(gè)函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)對稱和函數(shù)之間關(guān)于點(diǎn)對稱。函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)對稱主要定理為：若有函數(shù)y=f（x）的函數(shù)圖像是關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對稱的，則f（x）+f（2a-x）=2b是其充分必要條件。其必要性可如下證明：點(diǎn)B（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，因?yàn)锽（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對稱點(diǎn)B′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，所以有2b-y=f（2a-x）.即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證。同樣可以利用設(shè)點(diǎn)帶入的方法證明其充分性。函數(shù)間關(guān)于點(diǎn)對稱主要定理有：函數(shù)y=f（x）與y=2bf（2a-x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對稱。函數(shù)間關(guān)于點(diǎn)對稱的函數(shù)表達(dá)形式同函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)對稱相似，區(qū)別在于相對稱的兩點(diǎn)在不同函數(shù)上。

二、函數(shù)關(guān)于直線的對稱性

同函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱相同，函數(shù)關(guān)于直線對稱也分為函數(shù)自身關(guān)于直線對稱和函數(shù)間關(guān)于直線對稱。函數(shù)自身關(guān)于直線對稱定理主要為：若函數(shù)y=f（x）的函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a 對稱，f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）是其充分必要條件。同樣可以使用設(shè)任意點(diǎn)B（x，y）帶入函數(shù)驗(yàn)證的方法分別證明充分性和必要性。函數(shù)間關(guān)于直線對稱的定理主要有：函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a 成軸對稱；函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關(guān)于直線x+y=a 成軸對稱；函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對稱。定理的證明仍以設(shè)任意點(diǎn)帶入函數(shù)驗(yàn)證的方式證明。

三、函數(shù)對稱性的應(yīng)用

在教學(xué)上可以利用函數(shù)的對稱性進(jìn)行函數(shù)教學(xué)，例如，在畫函數(shù)圖像進(jìn)行分析函數(shù)時(shí)，可以利用函數(shù)的對稱性進(jìn)行畫圖；講解函數(shù)奇偶性的時(shí)候可以利用函數(shù)關(guān)于直線對稱的特殊形式（a=0）；反函數(shù)關(guān)于直線y=x 對稱等。學(xué)生解題上可以利用函數(shù)的對稱性，比如函數(shù)極大值、極小值的求解上，若函數(shù)關(guān)于直線對稱，就可求一邊極值點(diǎn)，再對稱寫出另一極值點(diǎn)。

王斌.函數(shù)對稱性的探究［J］.考試周刊，2014（23）.