部分微分中值定理在證明不等式中的應(yīng)用

高鵬艷

（山西師范大學(xué)教育科學(xué)研究院 學(xué)科教學(xué)〈數(shù)學(xué)〉）

部分微分中值定理在證明不等式中的應(yīng)用

高鵬艷

（山西師范大學(xué)教育科學(xué)研究院 學(xué)科教學(xué)〈數(shù)學(xué)〉）

微分中值定理是微積分中的重要組成部分.在微分學(xué)中，微分中值定理占有很重要的位置，且在解題中的應(yīng)用也十分廣泛，有些不等式的證明，特別是某些特殊類型的不等式，用初等數(shù)學(xué)的方法很難達到證明的目的，而用微分中值定理可以實現(xiàn)證明.主要介紹了部分微分中值定理即拉格朗日中值定理、柯西中值定理，不等式的定義及性質(zhì)以及部分微分中值定理在證明不等式中的應(yīng)用。

拉格朗日中值定理；柯西中值定理；不等式

一、部分微分中值定理

（一）拉格朗日中值定理

定理2若函數(shù)f滿足如下條件：

（i）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（ii）f在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

（二）柯西中值定理

定理3設(shè)函數(shù)f和g滿足

（i）在［a，b］上都連續(xù)；

（ii）在（a，b）內(nèi)都可導(dǎo)；

（iii）f（′x）和g（′x）不同時為零；

（iv）g（a）≠g（b）,

二、不等式的定義及性質(zhì)

（一）不等式的定義

用不等號將兩個解析式聯(lián)結(jié)起來所成的式子叫做不等式.

（二）不等式的基本性質(zhì)

1.不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變.

2.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

3.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

三、部分微分中值定理在證明不等式中的應(yīng)用

（一）利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理在證明不等式中有著極其重要的作用，它是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，特別是含有兩個不等號的，可考慮利用拉格朗日中值定理.具體證明通過對不等式結(jié)構(gòu)的分析，選定一個適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)和區(qū)間，對公式進行適當(dāng)?shù)淖兓玫剿C不等式.

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)（ft）=lnt

因為（ft）在閉區(qū)間［x，1+2x］上連續(xù)，在開區(qū)間（x，1+2x）內(nèi)可導(dǎo)，所以根據(jù)拉格朗日中值定理知存在ξ∈（x，1+2x），使

又因為0＜x＜ξ＜1+2x，

例2.證明不等式 sinx-siny≤x-y.

證明：令（ft）=sint，

因為（ft）在閉區(qū)間［x，y］上連續(xù)，在開區(qū)間（x，y）內(nèi)可導(dǎo)，

即sinx-siny=（x-y）cosξ，

兩邊同時取絕對值 sinx-siny=x-y·cosξ，

又因為 cosξ≤1，

所以 sinx-siny≤x-y.

（二）利用柯西中值定理證明不等式

柯西中值定理在不等式的證明中有著極其重要的作用，通過對不等式結(jié)構(gòu)的分析，構(gòu)造某特定區(qū)間的函數(shù)，使其滿足定理的條件，達到證明的目的.

證明：令（fx）=arctanx，g（x）=ln（1+x2）

因為（fx），g（x）在閉區(qū)間［x，1］上連續(xù)，在開區(qū)間（x，1）內(nèi)可導(dǎo)，f（′x），g（′x）在［x，1］內(nèi)每一點都不為零，且g（x）≠g（1）

即atctanx-ln（1+x2）＞ln2，

注意1：柯西中值定理是研究兩個函數(shù)的變量關(guān)系的中值定理，當(dāng)一個函數(shù)（不妨設(shè)此函數(shù)為g（x））取作自變量自身時，它就是拉格朗日中值定理，所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西中值定理來證明，反之則不然，下面舉例來說明.

證明：令（ft）=lnt，g（t）=t.

因為f（t），g（t）在閉區(qū)間［x，1+2x］（x＞0）上連續(xù)，在開區(qū)間（x，1+2x）（x＞0）內(nèi)可導(dǎo)，且g（′t）在［x，1+2x］（x＞0）內(nèi)每一點都不為零，g（x）≠g（1+2x）.

所以由柯西中值定理知存在 ξ∈（x，1+2x）（x＞0）使得

又因為0＜x＜ξ＜1+2x，

例5.對例2的不等式 sinx-siny≤x-y用柯西中值定理來證明.

證明：令（ft）=sint，g（t）=t.

因為（ft），g（t）在閉區(qū)間［x，y］上連續(xù)，在開區(qū)間（x，y）內(nèi)可導(dǎo)，且g′（t）在［x，y］內(nèi)每一點都不為零，所以由柯西中值定理知存在ξ∈（x，y），使得

即sinx-siny=（x-y）cosξ，

兩邊同時取絕對值 sinx-siny=x-y·cosξ，

又因為 cosξ≤1，

所以 sinx-siny≤x-y.

例6.證明 sinx＜ex-1（x＞0）.

證明：令（ft）=sint，g（t）=et，t∈［0，x］

因為（ft），g（t）在閉區(qū)間［0，x］上連續(xù)，在開區(qū)間（0，x）內(nèi)可導(dǎo)，且g（′t）在［0，x］內(nèi)每一點都均不為零，g（0）≠g（x），

所以由柯西中值定理知存在ξ∈（0，y）使得

所以ex-1＞0，即ex＞1，

即 sinx＜ex-1.

注意2：以上的例4和例5說明能用拉格朗日中值定理證明的不等式，一定能用柯西中值定理證明；而例6不等式能用柯西中值定理來證明，但不能用拉格朗日中值定理證明，所以分清拉格朗日中值定理和柯西中值定理，對我們在證明不等式時具有很重要的作用.

通過對本文的研究，可以知道有些不等式的證明對我們來說很難，主要是在證明的思路或者在函數(shù)的構(gòu)造上有難度.而對于不同的不等式證明需要靈活地運用不同的微分中值定理來證明.因此，我們一定要熟練掌握微分中值定理這部分內(nèi)容，以便能在證明不等式時更快地構(gòu)造出合適的函數(shù)，實現(xiàn)我們的證明目的.

另外，通過討論利用部分微分中值定理證明不等式的過程，既發(fā)展了學(xué)者的思維能力，又進一步揭示了微分中值定理是一種實用性很強的數(shù)學(xué)方法和工具，它在證明不等式中得到了很好的應(yīng)用.

［1］侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2000：78-95.

［2］歐陽光中，姚允龍.數(shù)學(xué)分析［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1998：108-113.

［3］D.S.密斯特利諾維奇.解析不等式［M］.北京:科學(xué)出版社，1987.

［4］李中彬.微積分中不等式的證明方法探討［J］.新疆石油教育學(xué)院學(xué)報，2010（2）.

［5］孫學(xué)敏.微分中值定理的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009（10）.

·編輯 薛直艷