解析幾何求最值與柯西不等式的友好合作

段雙蓮

柯西不等式在高中教材的《不等式選講》里，一般在高考試卷中是選做題。屬于容易題或中等題。可對(duì)湖北省高考來(lái)說(shuō)，它是必考的范疇。

而且學(xué)生只要掌握了柯西不等式的形式和應(yīng)用條件，解決一般的求最值是沒(méi)有問(wèn)題的，可對(duì)于2014年的湖北省第9題，這題是解析幾何題，本身就是一道難題，它與柯西不等式結(jié)合就更顯得高深莫測(cè)，學(xué)生更是束手無(wú)策。那么它們是怎樣結(jié)合的呢？下面我們一探其真面目。

點(diǎn)評(píng)：解析幾何與不等式是高考中的難題，難點(diǎn)一是解析幾何復(fù)雜的符號(hào)運(yùn)算。難點(diǎn)二是用不等式求最值，此題若能寫(xiě)出兩個(gè)定義式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到兩離心率的表達(dá)式，然后結(jié)合柯西不等式就水到渠成了。要求學(xué)生能把握這兩點(diǎn)之間的聯(lián)系，而且對(duì)柯西不等式的結(jié)構(gòu)掌握得又很牢固，兩者的結(jié)合簡(jiǎn)直就是珠聯(lián)璧合。我們?cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練中應(yīng)多有這方面的結(jié)合，解析幾何的求最值就不僅只有其他的常規(guī)方法，又多了一個(gè)幫手——柯西不等式。下面再看幾例它們的組合。

例2：等腰直角三角形AOB的直角邊長(zhǎng)為1，在三角形中任取一點(diǎn)P，過(guò)P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點(diǎn)的三個(gè)三角形，求這三個(gè)三角形的面積的最小值，以及此時(shí)點(diǎn)P的位置。

點(diǎn)評(píng)：利用柯西不等式的關(guān)鍵構(gòu)建兩個(gè)數(shù)組的平方和的積式。且只有當(dāng)不等式的一邊取定值時(shí)，另一邊才有相應(yīng)的最值，同時(shí)要保證等號(hào)成立。對(duì)于解析幾何，需要挖掘隱含條件找到或創(chuàng)造幾項(xiàng)的平方和或和的平方為定值，才能用柯西不等式求最值，對(duì)學(xué)生的能力要求更高。

縱觀近幾年湖北省高考題，對(duì)柯西不等式的考查，年年考而且是一步一個(gè)臺(tái)階，要求我們?cè)趶?fù)習(xí)備考時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練，牢牢地把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以不變應(yīng)萬(wàn)變。