稠油油藏水平井冷采試井模型半解析求解方法

孫玉豹，劉義剛，鄒 劍，張 偉，張衛(wèi)行

（ 1.中海油田服務(wù)股份有限公司油田生產(chǎn)事業(yè)部，天津 300450；2.中海油有限天津分公司渤海石油研究院采油工藝所，天津 300450）

目前， 水平井試井?dāng)?shù)學(xué)模型的求解方法可分為解析法和數(shù)值法。由于數(shù)值試井常出現(xiàn)數(shù)值彌散，計算發(fā)散等情況， 解析或半解析法是試井優(yōu)先使用的一種解法。 對于存在啟動壓力梯度的稠油油藏水平井冷采數(shù)學(xué)模型，目前解法集中在差分、有限元等數(shù)值方法，缺少一種可應(yīng)用于試井解釋的半解析求解方法。 本文從基于源函數(shù)的水平井試井?dāng)?shù)學(xué)模型入手， 提出了完整的水平井壓力分布半解析求解方法。

1 稠油油藏水平井冷采無井儲井底壓力求解

1.1 源函數(shù)的確定

根據(jù)Newman 乘積方法， 可將存在啟動壓力梯度的稠油油藏水平井冷采壓力響應(yīng)源函數(shù)歸結(jié)為一個板源函數(shù)和一個存在啟動壓力梯度線源函數(shù)的疊加，即：

式中：S（ M，t）-存在啟動壓力梯度的稠油油藏水平井冷采壓力響應(yīng)源函數(shù)；SX（ X，t）-對應(yīng)的板源函數(shù)；Sλ（ r，t）-對應(yīng)的存在啟動壓力梯度線源函數(shù)。

板源函數(shù)SX（ X，t）由不同的外邊界條件確定，可在文獻(xiàn)中查得[1]。 存在啟動壓力梯度的線源函數(shù)Sλ（ r，t）按照（ 2）式對不同油藏假設(shè)下的實空間壓力變化分布Δp（ r，t）求導(dǎo)得到。

式中：φ-孔隙度，小數(shù)；c-總壓縮系數(shù)，atm-1；q-水平井產(chǎn)量，cm3/s；L-水平井水平段半長，cm；r-徑向坐標(biāo)；t-時間。

一般情況下，為了使數(shù)學(xué)模型簡單并可解析求解，壓力變化分布Δp（ r，t）中不考慮井儲。

1.2 實空間無井儲井底壓力解

式中：pi-地層原始壓力，atm。

2 稠油油藏水平井冷采有井儲井底壓力求解

將得到的實空間無井儲壓力分布p1（ r，t）轉(zhuǎn)化至Laplace 空間，即可使用杜哈美原理、Stehfest 數(shù)值反演將其變?yōu)閷嵖臻g有井儲壓力分布p2（ r，t）。

2.1 實空間無井儲井底壓力解的離散化

將在產(chǎn)量q 下的井底壓力曲線p1（ rwe，t）（ 見圖1）離散化成若干段， 其壓力變化分別為：dp1，dp2，dp3…dpn。 其中：rwe-等效井筒半徑，cm。

圖1 壓力曲線離散化示意圖

則p1（ rwe，t）可被表示為：

2.2 實空間有井儲井底壓力解的構(gòu)造

其中，無因次定義式為：

式中：k-有效滲透率，μm2；h-油層厚度，cm；pi-原始地層壓力，atm；p-壓力，atm；q-產(chǎn)量，cm3/s；B-體積系數(shù)，無因次；μ-粘度，mPa·s；t-時間；φ-孔隙度，小數(shù)；rwe-等效井徑，cm，rwe=rwe-s；rw-井筒半徑，cm；S-表皮因子，無因次；λb-啟動壓力梯度，atm/cm；下標(biāo)D-無因次化后的變量。

根據(jù)杜哈美原理，可按照（ 7）式構(gòu)造Laplace 空間有井儲井底壓力解

然后再次利用無因次化定義式和stehfest 數(shù)值反演，即可得到實空間有井儲井底壓力解p（ rwe，t）。

3 稠油油藏水平井冷采試井響應(yīng)規(guī)律分析

使用本文提供的稠油油藏水平井冷采半解析求解方法，選取典型的稠油油藏水平井冷采基礎(chǔ)參數(shù)（ 見表1）， 分析了井筒儲集系數(shù)和啟動壓力梯度對壓力響應(yīng)曲線的影響。

表1 存在啟動壓力梯度水平井冷采基礎(chǔ)參數(shù)表

特別地，除常規(guī)的壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線外，針對水平井提出標(biāo)準(zhǔn)化壓力

3.1 井儲壓力響應(yīng)規(guī)律

井儲考慮0.1、0.5、1、2 m3/MPa 四個水平， 得到了對應(yīng)的壓力-壓力導(dǎo)數(shù)、 壓力-標(biāo)準(zhǔn)化壓力雙對數(shù)曲線（ 見圖2、圖3）。分析圖2、圖3，井儲對水平井冷采壓力響應(yīng)的影響規(guī)律表現(xiàn)為：井儲系數(shù)越大，壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線前期直線段數(shù)值越小， 壓力導(dǎo)數(shù)和壓力曲線的分離時間越早，壓力-標(biāo)準(zhǔn)化壓力水平段越長，標(biāo)準(zhǔn)化壓力第一個峰越不明顯。

圖2 不同井儲時壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線

圖3 不同井儲時壓力-標(biāo)準(zhǔn)化壓力雙對數(shù)曲線

3.2 啟動壓力梯度壓力響應(yīng)規(guī)律

啟 動 壓 力 梯 度 考 慮10-3、10-4、10-5MPa/m 三 個 水平，得到了對應(yīng)的壓力-壓力導(dǎo)數(shù)、壓力-標(biāo)準(zhǔn)化壓力雙對數(shù)曲線（ 見圖4、圖5）。分析圖4、圖5，啟動壓力梯度對水平井冷采壓力響應(yīng)的影響規(guī)律表現(xiàn)為： 主要影響測試中期、后期；啟動壓力梯度越大，壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期數(shù)值越大， 壓力導(dǎo)數(shù)和壓力曲線后期上翹越明顯，標(biāo)準(zhǔn)化壓力第二個峰值數(shù)值越小。

圖4 不同啟動壓力梯度壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線

4 結(jié)論

（ 1）針對存在啟動壓力梯度下稠油油藏水平井冷采試井?dāng)?shù)學(xué)模型求解困難，利用壓力離散化、杜哈美原理、Stehfest 數(shù)值反演等工具進(jìn)行了半解析求解。 使得水平井試井參數(shù)的快速、準(zhǔn)確反演成為可能。

圖5 不同啟動壓力梯度壓力-標(biāo)準(zhǔn)化壓力雙對數(shù)曲線

（ 2）通過分析不同井儲系數(shù)時稠油油藏水平井冷采壓力響應(yīng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)井儲系數(shù)越大，壓力導(dǎo)數(shù)和壓力曲線分離時間越早， 壓力-標(biāo)準(zhǔn)化壓力水平段越長，標(biāo)準(zhǔn)化壓力第一個峰越不明顯。

（ 3）通過分析不同啟動壓力梯度時稠油油藏水平井冷采壓力響應(yīng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)啟動壓力梯度越大，其對壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期的影響越明顯， 壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期上翹幅度越大， 標(biāo)準(zhǔn)化壓力第二個峰值數(shù)值越小。

［ 1］ 孔祥言.高等滲流力學(xué)［ M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1999：165-166.

［ 2］ Harald Stehfest.Numerical inversion of laplace transforms［ R］.ACM13（ 1）：47-49.

［ 3］ 吳明錄，姚軍，賈維霞.水平井流線數(shù)值試井解釋模型及應(yīng)用［ J］.新疆石油地質(zhì)，2010，31（ 4）：408-412.

［ 4］ 劉立明，廖新維.油氣兩相壓降數(shù)值試井模型及其典型曲線的規(guī)律［ J］.石油勘探與開發(fā)，2002，29（ 4）：77-80.

［ 5］ Odeh A S，Babu D K.Comprising of solutions for the nonlinear and linearized diffusion equations［ J］.SPE Reservoir Engineering，1998，3（ 4）：1202-1206.

［ 6］ 李樹松，段永剛，陳偉，等.壓裂水平井的試井解釋理論和方法［ J］.油氣井測試，2005，14（ 5）：5-9.