廣義神經(jīng)傳播方程H1-Galerkin低階 非協(xié)調(diào)混合有限元的超收斂分析

周樹克,王 婷

(1. 河南城建學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 河南 平頂山467036；2. 南陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 南陽473061)

0 引言

神經(jīng)傳播方程是一類重要的非線性發(fā)展方程[1]，神經(jīng)傳播信號(hào)u及它關(guān)于時(shí)間和空間的變化率，在數(shù)學(xué)上呈現(xiàn)為上述非線性擬雙曲方程[2]，其被廣泛應(yīng)用于生物、力學(xué)等領(lǐng)域， 并在理論分析和數(shù)值逼近方面取得了一些重要結(jié)果.其中，文獻(xiàn)[3]討論了該方程解的性質(zhì)；文獻(xiàn)[4]和[5]分別利用五節(jié)點(diǎn)元和帶約束的Qrot元研究了該方程，并得到了O(h2)超逼近和超收斂性質(zhì)；文獻(xiàn)[6]和[7]對(duì)一類非線性廣義神經(jīng)傳播方程利用EQrot元得到了超逼近和整體超收斂結(jié)果.

1 混合有限元的構(gòu)造及性質(zhì)

Vh?

是Vh上模.

定義其范數(shù)為

(1)

2 H1-Galerkin混合有限元的半離散格式及超逼近分析

本文討論如下廣義神經(jīng)傳播方程:

其中X=(x,y);Ω=R2為邊界光滑的有界凸區(qū)域;u0(X),u1(X)為已知光滑函數(shù);fu,gu均為有界函數(shù)且關(guān)于變量u滿足Lipschitz 連續(xù). 令方程(4)的變分形式為：

定理1 方程(6)有唯一解.

將式(7)代入方程(6)，并令vh=φj(x),(j=1,2,…,n) 可得

r(t)B=l(t)N,

(8)

其中r(t)=(r1(t),r2(t),…,rn(t))1×n,l(t)=(l1(t),l2(t),…,ln(t))1×k,B=(φi(X),φj(X))n×n,N=(ψi(X),φj(X))k×n.這是關(guān)于向量r(t)的線性方程組，因?yàn)锽對(duì)稱正定，所以方程(6)存在唯一解.再將式(7)代入方程(6)，并令可得

Al″(t)+Cl′(t)-Cl(t)=F(r),

(9)

這里A=(ψi(X),ψj(X))k×k,C=(·ψi(X),·ψj(X))k×k,F(r)=(fi)k×1,

證明令

u-uh=u-Ihu+Ihu-uh=η+ξ,

在方程(12)中，令vh=ξ, 有

方程(12)兩端對(duì)t求導(dǎo)數(shù),令vh=ξt,類似以上過程,可得

下面對(duì)式(16)右端分別進(jìn)行估計(jì)，首先由Cauchy不等式,ε-Young不等式,再利用式(2)得

由f(u)關(guān)于u滿足Lipschitz連續(xù)有界及插值理論知

同理,

將式(17)-(20)代入式(16),取適當(dāng)小的ε,并利用Gronwall不等式,得

將式(14)-(15)代入式(21),得

再借助于Gronwall引理有

把式(24)代入式(14)得

證畢.

4 整體超收斂

定理3 在定理1和引理1條件下，有下面的整體超收斂結(jié)果：

證明注意到

由引理1得

利用三角不等式，可得式(25).同理，利用引理2和三角不等式，可以得到式(26)的結(jié)果.證畢.

5 結(jié)語

若將本文中的EQrot元換成Q1rot元(正方形剖分情況)，或P1非協(xié)調(diào)矩形元，或帶約束的旋轉(zhuǎn)Q1元，本文的結(jié)果仍然成立.進(jìn)一步,不難驗(yàn)證，若將本文的混合元換為P1-非協(xié)調(diào)三角形元，本文的超逼近和超收斂結(jié)果也成立，雖然自由度是9NP比較大，但對(duì)網(wǎng)格的剖分要求卻寬松了.