Rn+m中極小子流形的剛性定理

韓英波, 李 靜, 方聯(lián)銀

(信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

設(shè)Mn是Rn+m中一個(gè)n維完備極小浸入子流形.當(dāng)m=1時(shí),M稱作穩(wěn)定的,如果

對(duì)于數(shù)δ≥0,M稱作δ穩(wěn)定的,如果

當(dāng)具有更高余維數(shù)時(shí),Spruck[7]得到:對(duì)于一個(gè)變分向量場(chǎng)E=fυ來說,Vol(Mt)的第二變分滿足:

當(dāng)m=1時(shí),超穩(wěn)定的定義與穩(wěn)定的定義相同.

那么M是仿射平面.

本文研究Rn+m中不具有平坦法叢的完備δ超穩(wěn)定極小子流形,得到結(jié)果定理1.

1 預(yù)備知識(shí)

任意ν∈Γ(NM),形狀算子Aν:TM→TM滿足:

〈BXY,ν〉=〈Aν(X),Y〉.

子流形的第二基本形式及曲率張量、法叢的曲率張量及外圍流形的曲率張量滿足下面的Gauss方程、Codazzi方程以及Ricci方程.

〈BXZ,BYW〉,

〈BXei,ν〉〈BYei,μ〉,

其中：{ei}為M的一組局部正交標(biāo)架場(chǎng);X,Y,Z為切向量;μ,ν為M的法向量場(chǎng).在這里以及隨后的運(yùn)算中我們采用求和公約,并約定下列指標(biāo)范圍:

1≤i,j≤n; 1≤α,β≤m.

考慮(m+n)-維歐式空間Rn+m(m≥2)中的n維極小子流形Mn,有下面結(jié)論(見[12])

回憶記號(hào):B=B°Bt°B,其中Bt為B的共軛映射;

當(dāng)余維數(shù)m=1時(shí),它是最優(yōu)估計(jì).當(dāng)m≥2,文獻(xiàn)[13-14]給出精確估計(jì)如下:

把上式代入式(4)得:

因此得出結(jié)論:

(6)

引理1[15]

(7)

由不等式(6)和(7)得:

(8)

2 定理及證明

(a) 如果

(b) 如果

那么M是一個(gè)仿射平面.

△u=u(△logu+|logu|2)=

其中第一個(gè)不等式利用了式(8).由式(11)可得:

(12)

(13)

由式(13),可得

(14)

利用Cauchy-Schwarz不等式,得到:

(15)

由式(14)和(15),可得:

(16)

另一方面,式(1)中用uq+1f替代f,得到:

(17)

(18)

選取充分小的ε′>0,使得

(1+q)(1+q+ε′)δ>0,

令ε→0.由式(18)可得:

(19)

其中

u2+2q|

利用β的任意性,取β充分小,使得下式成立

由式(19)和(20),可得:

其中

對(duì)任意固定的R>0,取一個(gè)光滑函數(shù)f(r),它滿足

其中C0是一個(gè)正的常數(shù).由式(22)可得

令R→,由假設(shè)

以及式(23)可得B=0,即M是仿射平面.

選取充分小的ε′,使得

令ε→0,由式(18)可得:

(25)

其中C4是依賴于n,m,ε′的常數(shù).

3 結(jié)論