c-可補(bǔ)子群對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響

潘 虹, 周 強(qiáng)

(信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽(yáng) 464000)

0 引言

利用子群的可補(bǔ)性來(lái)研究有限群的結(jié)構(gòu)已經(jīng)有很多結(jié)果.例如,利用某些特殊子群的可補(bǔ)性質(zhì)可得到有限群的可解性[1-4].最近Ballester-Bolinches和Guo[5]證得了具有初等交換Sylow子群的所有有限超可解群所在的群類(lèi)恰好就是每個(gè)極小子群都可補(bǔ)的所有有限群所在的群類(lèi).

本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上,利用子群c-可補(bǔ)的概念及性質(zhì),在較弱的條件下討論群的冪零性.用符號(hào)Gp來(lái)表示G的Sylowp-子群,除此之外,本文中所采用的其他記號(hào)都是標(biāo)準(zhǔn)的,所涉及的群都是有限群.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[6]設(shè)G為有限群,H≤G,稱(chēng)H在G中c-可補(bǔ),如果存在G的一個(gè)子群K使得G=HK且H∩K≤HG,其中HG=∩g∈GHg為包含在H中的G的最大正規(guī)子群.

引理1[6]設(shè)G為有限群,則

(1)如果H在G中c-可補(bǔ)且H≤K≤G,那么H在K中c-可補(bǔ).

(3)令π是一個(gè)素?cái)?shù)集合.設(shè)N為G的一個(gè)正規(guī)π′子群且H為G的一個(gè)π子群.如果H在G中c-可補(bǔ),那么HN/N在G/N中c-可補(bǔ).而且若N正規(guī)化H,那么反之也成立.

引理2[7]設(shè)G為內(nèi)冪零群,則

(1)G的階為pαqβ且p≠q;

(3) 若P為Abel群,則P為初等Abel群;

(4) 當(dāng)p≠2時(shí),expP=p;當(dāng)p=2時(shí),expP≤4, 其中expP表示群P的指數(shù);

(5)c∈P為P的生成元的充要條件是c與a不可換;

(6)Z(G)=Φ(G)=Φ(P)×Φ(Q).

引理3[8]設(shè)G是內(nèi)超可解群,則G有如下結(jié)構(gòu):

(1) 存在正規(guī)子群P∈Sylp(G),使得G=P×M,P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群;

(2) 若p>2,則expP=p;若p=2,則expP≤4且p2/|G|;

(3) 存在c∈PΦ(P),使〈c〉不正規(guī)于G;

(4) 若P為Abel群,則Φ(P)=1;

(5) 若P非交換,則Φ(P)=Z(P)=P′;

(6)G為Sylow塔群或G為冪零群.

2 主要結(jié)果

定理1 如果群G的每一素?cái)?shù)階子群在Z(G)中,且G的4階循環(huán)子群在G中c-可補(bǔ),則G為冪零群.

注1 本定理用G的4階循環(huán)子群的c-可補(bǔ)性代替G的4階子群的c-正規(guī)性推廣了文獻(xiàn)[6]中的定理1,因?yàn)閏-正規(guī)子群一定是c-可補(bǔ)子群,但反之不一定成立.

證明假設(shè)定理不真,選取G為極小階反例.

(1)定理?xiàng)l件是子群遺傳的.

事實(shí)上,設(shè)H

(2)素?cái)?shù)p只能等于2.

若不然,p>2,由引理2(4)知,expP=p,從而由條件知P∩N≤Z(G).又由引理2及條件知G/P∩N?/G×G/N冪零,從而G/Z(G)為冪零群,G為冪零群,矛盾.故素?cái)?shù)p只能等于2.

(3)導(dǎo)出矛盾.

i) 當(dāng)N=G時(shí),由定理1知G為冪零群,矛盾.同樣當(dāng)N=1時(shí),由條件得G為冪零群,也矛盾.

定理3 如果群G的每個(gè)素?cái)?shù)階子群在Z(G)中,且G的4階循環(huán)子群在G中c-可補(bǔ),則G為冪零群.

證明假設(shè)定理不真,選取G為極小階反例.

1) 定理?xiàng)l件是子群遺傳的.

事實(shí)上,對(duì)G的任意真子群H,K為H的p階子群,則K≤Z(G)∩H≤Z(H).由引理1(1)知H的子群在H中c-可補(bǔ).所以H滿(mǎn)足定理?xiàng)l件,由G的取法知，H為冪零群,故G為內(nèi)冪零群，即G=PQ,這里P和Q滿(mǎn)足引理2的條件.

2) 素?cái)?shù)p只能等于2,從而G=2αqβ.

若不然,p>2,則由引理3(4)知expP=p,由條件知P≤Z(G).由文獻(xiàn)[3]中定理VI.2知Z(G)冪零.從而G=PQ=Z(G)冪零,矛盾.

3)G為超可解群.

若不然,必為內(nèi)超可解群.我們斷定:對(duì)任意的a∈PΦ(P)有|a|=4.事實(shí)上,若存在a∈PΦ(P)使|a|=2,設(shè)〈x〉為G的Sylowq-子群,令

M=〈a,ax,…,aqb-1〉≤P,

由引理3(1)知P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群,從而P=MΦ(P)=M.因?yàn)閍xqi∈Z(G),1≤i≤b,所以P≤Z(G),于是由G/P為冪零群知,G/Z(G)為冪零群,從而G為冪零群,矛盾.這樣對(duì)任意的x∈PΦ(P),|x|=4,由條件〈x〉在G中c-可補(bǔ),同樣由定理1的證明〈x〉≤NG(Q),又Z(G)=Φ(G)=Φ(P)×Φ(Q),故對(duì)x∈Φ(P),則x∈Z(G),從而x∈NG(Q).這樣對(duì)任意的x∈P都有x∈NG(Q),從而矛盾.

證明仿照定理2和3易證.證畢.

3 結(jié)論

本文利用有限群中某些特殊子群的c-可補(bǔ)性質(zhì),主要研究有限群的冪零性和p-冪零性,一些相關(guān)的結(jié)果得到了推廣.