一類非線性微分系統(tǒng)的嚴(yán)格實(shí)用穩(wěn)定性

葉凱莉,宋 強(qiáng), 陳 晨

(1.信陽師范學(xué)院 a.工商管理學(xué)院; b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 信陽 464000;2.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 河南 信陽 464000)

0 引言

在研究微分系統(tǒng)的數(shù)量關(guān)系時,Lyapunov第二方法是一個基本的技巧.然而如果一個給定的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,這一方法卻不能給出解的衰變率任何信息.因此，我們期待當(dāng)系統(tǒng)的解接近于零解時,其變化下界的估計(jì).為了豐富Lyapunov穩(wěn)定性的理論,文獻(xiàn)[1]定義了嚴(yán)格穩(wěn)定性的概念和討論連續(xù)系統(tǒng)的嚴(yán)格穩(wěn)定性準(zhǔn)則.Lakshmikantham和Mohapatra[1]運(yùn)用嚴(yán)格穩(wěn)定性證明了一致漸近穩(wěn)定性的結(jié)論.Zhang和Fu[2]運(yùn)用變化的Lyapunov函數(shù)研究微分系統(tǒng)嚴(yán)格穩(wěn)定性.通過運(yùn)用Lyapunov函數(shù)和Razumikhin技巧,文獻(xiàn)[3]得到了脈沖微分方程的嚴(yán)格穩(wěn)定性準(zhǔn)則.

以前對微分方程初值問題的研究僅限定在空間變量的擾動，而初始時刻是不變的.在實(shí)際情況中,僅有空間變量的變化而沒有初始時刻的變化是不可能的.因此,在研究微分系統(tǒng)解的穩(wěn)定性時考慮變化的初始時刻就很有必要.然而把Lyapunov第二方法運(yùn)用到微分系統(tǒng)變化的初始時刻時卻是困難的.這種困難是因?yàn)槌跏紩r刻不同的穩(wěn)定性與穩(wěn)定的經(jīng)典概念有很大不同.穩(wěn)定的經(jīng)典概念是關(guān)于零解的穩(wěn)定性,但初始時刻不同的穩(wěn)定性則是關(guān)于初始位置和初始時刻都不同的兩個解的穩(wěn)定性[4].比較和衡量兩個解的不同時有兩個方向.一個方向是該方法的參數(shù)變化.例如,在文獻(xiàn)[4]中,參數(shù)變化的方法被引入來討論這種情況.近來參數(shù)的變化模式化被用來研究初始時刻不同的未擾動和擾動的系統(tǒng). 作者們構(gòu)造了未擾動的微分系統(tǒng)和擾動系統(tǒng)，通過運(yùn)用變化初始時刻的比較系統(tǒng)結(jié)果，得到了初始時刻不同的穩(wěn)定性和指數(shù)漸近穩(wěn)定性.另一方向是運(yùn)用微分不等式技巧.關(guān)于初始時刻微分不等式的問題首先在文獻(xiàn)[4]中提出.運(yùn)用這一方法,人們可以比較從不同的初始點(diǎn)開始的微分系統(tǒng)的解.文獻(xiàn)[5]通過運(yùn)用微分不等式技巧,得到初始時刻不同的微分方程穩(wěn)定性的結(jié)論.就我們所知,初始時刻不同的微分方程的嚴(yán)格穩(wěn)定性目前還沒人研究.為了豐富和推廣Lyapunov穩(wěn)定性的理論[6-7],我們定義了初始時刻不同的嚴(yán)格穩(wěn)定性的概念并討論了幾個嚴(yán)格穩(wěn)定性的準(zhǔn)則.在本文中,我們定義了非線性微分方程初始時刻不同的嚴(yán)格穩(wěn)定性的概念.應(yīng)用兩個Lyapunov函數(shù)的方法，分別給出了非線性微分系統(tǒng)初始時刻不同的各種嚴(yán)格穩(wěn)定性的充分條件.最后我們提出了一個非線性微分方程初始時刻不同的解的比較定理,并運(yùn)用該比較定理證明了非線性微分系統(tǒng)初始時刻不同的嚴(yán)格穩(wěn)定性準(zhǔn)則.

1 定義及引理

在一個實(shí)n維歐幾里得賦范空間考慮微分系統(tǒng)

x′=f(t,x),

(1)

其中f∈C[R+×Rn,Rn].令x*(t)=x*(t,t0,y0)和x(t)=x(t,τ0,x0))分別為系統(tǒng)(1)的過初始值(t0,y0)和(τ0,x0)的解.假設(shè)x*(t)是將要研究穩(wěn)定性準(zhǔn)則給定的解.令η=τ0-t0且記S(x*,ρ)={x∈Rn:‖x-x*(t)‖<ρ},S(ρ)={x∈Rn:‖x‖<ρ}.我們定義下面的函數(shù)類空間:

K={a∈C(R+,R+):a是嚴(yán)格增的且a(0)=0}.

當(dāng)V∈C[R+×Rn,Rn],定義動力系統(tǒng)(1)的廣義導(dǎo)數(shù)為：

hf(t,x))-V(t,x)),

hf(t,x))-V(t,x)).

對于初時時刻不同的非線性動力系統(tǒng)，引入下面的穩(wěn)定性的定義.

定義1 系統(tǒng)(1)的解x*(t)=x*(t,t0,y0)是：

(S1) 嚴(yán)格等價穩(wěn)定的,如果對于任意給定的ε1>0和某個t0∈R+,存在一個δ1=δ1(t0,ε1)>0和σ1=σ1(t0,ε1)>0可由‖x0-y0‖<δ1,|η|<σ1得出‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖<ε1對所有的t≥t0成立,且對每一個0<δ2<δ1,都存在一個0<ε2<δ2和σ2=σ2(t0,ε2)>0,可由δ2<‖x0-y0‖,|η|<σ2得出ε2<‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖對所有的t≥t0成立;

(S2) 嚴(yán)格一致穩(wěn)定的,如果(S1)成立且δ和σ的取值與t0∈R+無關(guān);

(S3) 嚴(yán)格吸引的,如果對于給定的α1>0,ε1>0和某個t0∈R+,對每一個0<α2≤α1,都存在一個ε2<ε1,σ=σ(t0,ε1,ε2)>0和T1=T1(t0,ε1),T2=T2(t0,ε2)可由α2<‖x0-y0‖≤α1,|η|<σ得出ε2<‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖<ε1,對每一個t0+T1≤t≤t0+T2都成立;

(S4) 嚴(yán)格一致吸引的,如果(S3)成立且σ,T1和T2與t0∈R+無關(guān);

(S5) 嚴(yán)格等價漸近穩(wěn)定的,如果(S3)成立且解x*(t)=x*(t,t0,y0)是穩(wěn)定的;

(S6) 嚴(yán)格一致漸近穩(wěn)定的,如果(S4)成立且解x*(t)=x*(t,t0,y0)是一致穩(wěn)定的.

引理1[1]假設(shè)

g1(t,m(t)),t∈R+,其中

(b)r1(t)=r1(t,t0,u0)是u′=g(t,u),u(t0)=u0≥0,t0≥0在[t0,∞)的最大解,

則m(t0)≤u0蘊(yùn)涵著m(t)≤r1(t),t≥t0.

引理2 假設(shè)

g2(t,m(t)),t∈R+,其中

(b)r2(t)=r2(t,t0,v0)是v′=g(t,v),v(t0)=v0≥0,t0≥0在[t0,∞)的最大解.

則m(t0)≥v0蘊(yùn)含著m(t)≥r2(t),t≥t0.

2 主要結(jié)果

下面將給出初始時刻不同的非線性微分方程嚴(yán)格穩(wěn)定性的幾個結(jié)論.

定理1 假設(shè)：

(i) 對每一個V1∈C[R+×S(x*,ρ),R+],V1(t,x)關(guān)于x是局部Lipschitzian的,V1(t,0)≡0且對(t,x)∈R+×S(ρ),有

b1(‖x‖)≤V1(t,x)≤a1(t,‖x‖),a1∈CK,b1∈K

和

D+V1(t,x)≤0;

(2)

(ii)) 對每一個V2∈C[R+×S(x*,ρ),R+],V2(t,x)關(guān)于x是局部Lipschitzian的,V2(t,0)≡0且對(t,x)∈R+×S(ρ),

b2(‖x‖)≤V2(t,x)≤a2(‖x‖),a2,b2∈K

和

D-V2(t,x)≥0.

(3)

那么系統(tǒng)(1)的解x*(t)=x*(t,t0,y0)是嚴(yán)格等價穩(wěn)定的.

證明對于任意給定的0<ε1<ρ和t0∈R+.選擇δ1=δ1(t0,ε1)>0和σ1=σ1(t0,ε1)>0使得

a1(t0,δ1)

(4)

假設(shè)‖x0-y0‖<δ1和|η|<σ1蘊(yùn)涵著

‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖<ε1,t≥t0.

(5)

如果假設(shè)不成立，那么一定存在系統(tǒng)(1)一個解x(t)=x(t,τ0,x0)當(dāng)‖x0-y0‖<δ1,|η|<σ1和t2>t1>τ0時滿足

(6)

由式(2)和引理1,不難證明V1(t,x)關(guān)于t是單調(diào)遞減的，且V1(t,x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0))≤V1(t0,‖x0-y0‖),t≥t0.由式(6)我們得到

b1(ε1)=b1(‖x(t2+η,τ0,x0)-x*(t2,t0,y0)‖)≤

V1(t2,x(t2+η,τ0,x0)-x*(t2,t0,y0))≤

V1(t0,‖x0-y0‖)≤a1(t0,‖x0-y0‖)<

a1(t0,δ1),t≥t0,

這與式(4)矛盾,于是假設(shè)成立.

另一方面,令0<δ2<δ1,選擇ε2=ε2(t0,δ2)<δ2和σ2=σ2(t0,ε2)>0使得

a2(ε2)

(7)

假設(shè)δ2<‖x0-y0‖和|η|<σ2蘊(yùn)含著

ε2<‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖,t≥t0.

(8)

如果假設(shè)不成立，那么一定存在系統(tǒng)(1)一個解x(t)=x(t,τ0,x0)當(dāng)δ2<‖x0-y0‖和|η|<σ2且t4>t3>τ0時滿足

(9)

由式(3)和引理2,不難證明V2(t,x)關(guān)于t是單調(diào)遞減的,且V2(t,x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0))≥V2(t0,‖x0-y0)‖,t≥t0.結(jié)合式(9)，我們得到

a2(ε2)=a2(‖x(t3+η,τ0,x0)-x*(t3,t0,y0)‖)≥

V2(t3,x(t3+η,τ0,x0)-x*(t3,t0,y0))≥

V2(t0,‖x0-y0‖)≥b2(‖x0-y0‖)>

b2(δ2),t≥t0,

這與式(7)矛盾,于是假設(shè)成立.

由式(5)和(8),可以得出系統(tǒng)(1)的解x*(t)=x*(t,t0,y0)是嚴(yán)格等價穩(wěn)定的.證畢.

推論1假設(shè)定理1中a1∈CK,a1(t,λ)被a1∈K,a1(λ)代替，而其余條件成立，那么系統(tǒng)(1)的解x(t)=x(t,t0,x0)是嚴(yán)格一致穩(wěn)定的.

定理2 假設(shè)定理(1)除了條件(2)和(3)分別被

D+V1(t,x)≤-c1(‖x‖),c1∈K

(10)

和

D-V2(t,x)≥-c2(‖x‖),c2∈K

(11)

代替外，其余條件成立，那么系統(tǒng)(1)的解x(t)=x(t,t0,x0)是嚴(yán)格等價漸近穩(wěn)定的.

證明首先，我們指出盡管式(10)能推出式(2)，但式(11)并不能推出式(3).我們只能得出系統(tǒng)(1)的解x(t)=x(t,t0,x0)是等價穩(wěn)定的.即對每一個給出ε1,都存在一個δ1=δ1(t0,ε1)>0和σ=σ(t0,ε1)>0可由‖x0-y0‖<δ1,|η|<σ得

‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖<ε1,t≥t0.

(12)

為了證明定理2，需要證明系統(tǒng)(1)的解是嚴(yán)格吸引的.對任一給定的ε1>0,限定α1=α1(ε1)≤δ1.由式(12)有‖x0-y0‖<α1,|η|<σ蘊(yùn)含著

‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖<ε1,t≥t0.

令‖x0-y0‖<α1和|η|<σ,于是假設(shè)存在一個t*∈[t0,t0+T],其中T=T(ε1)>a1(t0,α1)/c1(α1),使得

‖x(t*+η,τ0,x0)-x*(t*,t0,y0)‖<α1.

(13)

對系統(tǒng)(1)的解x(t)=x(t,τ0,x0)成立.如果假設(shè)不成立，則有

‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖≥α1,

(14)

t∈[t0,t0+T].由定理1(i)和式(14)，我們有

b1(α1)≤b1(‖x(t0+T+η,τ0,x0)-

x*(t0+T,t0,y0)‖)≤

V1(t0+T,x(t0+T+η,τ0,x0)-

x*(t0+T,t0,y0))≤

V1(t0,‖x0-y0‖)-

a1(t0,‖x0-y0‖)-c1(α1)T<

a1(t0,α1)-c1(α1)T

這個矛盾表明存在一個t*∈[t0,t0+T],使得

‖x(t*+η,τ0,x0)-x*(t*,t0,y0)‖<α1.

又由于系統(tǒng)(1)的解x*(t)=x*(t,t0,y0)是等價穩(wěn)定的，可以推出‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖<ε1,t≥t0+T≥t*,這表明存在一個T1>T使得

‖x(t0+η,τ0,x0)-x*(t0,t0,y0)‖<ε1.

(15)

t≥t0+T1.現(xiàn)在對任一0<α2<α1,選擇ε2<ε1,使得

b2(α2)>a2(ε2),0<ε2<α2.

假設(shè)α2<‖x0-y0‖<α1.定義

且T2=T1+t*.由式(15)和定理1(ii),可以得到

a2(‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖)≥

V2(t,x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0))≥

V2(t0,‖x0-y0‖)-

b2(‖x0-y0‖)-

b2(α2)-c2(ε1)(t-(t0+T1))

對任一t∈[t0+T1,t0+T2]成立.又因?yàn)閠-(t0+T1)≥t*,所以可得出

a2(‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖)≥

這就證明了

‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖>ε2,

(16)

t∈[t0+T1,t0+T2].由式(15)和(16)有ε2<‖x(t+η,τ0,x0)-x*(t,t0,y0)‖<ε1,t∈[t0+T1,t0+T2].證畢.

推論2 假設(shè)定理2的條件a1∈CK,a1(t,λ)替換為a1∈K,a1(λ),其余條件不變，那么系統(tǒng)(1)的解x(t)=x(t,t0,x0)是嚴(yán)格一致漸近穩(wěn)定的.

下面，證明一個比較定理.考慮比較系統(tǒng)

(17)

定義2 比較系統(tǒng)(17)是

(S1)嚴(yán)格穩(wěn)定的.如果對于任給的ε1>0和某個t0∈R+,都存在一個δ1=δ1(t0,ε1)>0可由u0<δ1推出u1<ε1,t≥t0,且對每一個0<δ2<δ1,都存在一個0<ε2<δ2可由δ2

(S2)嚴(yán)格一致穩(wěn)定的.如果對所有的t0∈R+,(S1)都成立；

(S3)嚴(yán)格吸引的.如果對于給定的α1>0,ε1>0和t0∈R+,且對每一個0<α2≤α1,都存在一個ε2<ε1和T1=T1(t0,ε1),T2=T2(t0,ε2)可由u0<α1得出u1<ε1;α2

(S4)嚴(yán)格一致吸引的，如果對所有的t0∈R+,(S3)都成立；

(S5)嚴(yán)格一致漸近穩(wěn)定的,如果(S3)成立且比較系統(tǒng)是穩(wěn)定的;

(S6)嚴(yán)格漸近穩(wěn)定的,如果(S4)成立且比較系統(tǒng)是一致穩(wěn)定的.

定理3 假設(shè)定理1除了條件(2)和(3)分別被

D+V1(t,x)≤g1(t,V1(t,x))

(18)

和

D-V2(t,x)≥g2(t,V2(t,x)),

(19)

那么由比較系統(tǒng)(17)的穩(wěn)定性可以推出系統(tǒng)(1)相應(yīng)的各種穩(wěn)定性.

3 結(jié)論

提出了非線性微分系統(tǒng)的初始時刻不同時嚴(yán)格穩(wěn)定性的概念，證明了非線性微分系統(tǒng)初始時刻不同的幾個嚴(yán)格穩(wěn)定性的判定準(zhǔn)則.這在解決初始時刻不同非線性微分系統(tǒng)的問題時能提供更好的前景.