“一次函數”中考試題探究

陳平

一次函數在初中數學中的地位很重要，而一次函數在中考中的深度和廣度也是一般內容不能比擬的.本文以近年的部分省市中考題為例，做了一些探究.

一、一次函數圖像的基本性質

例1、 （2014·四川資陽）一次函數y=﹣2x+1的圖象不經過哪個象限（ ）

A.第一象限 B. 第二象限

C.第三象限 D. 第四象限

解析：本題主要涉及一次函數圖像的基本性質.先根據一次函數的解析式判斷出k、b的符號，再根據一次函數的性質進行解答即可.故選C.

點評：本題考查的是一次函數的性質，即一次函數y=kx+b（k≠0）中，當k<0時，函數圖象經過二、四象限，當b>0時，函數圖象與y軸相交于正半軸.

例2、（2014·泰州）將一次函數y=3x﹣1的圖象沿y軸向上平移3個單位后，得到的圖象對應的函數關系式為 .

解析：本題主要涉及一次函數圖象的幾何變換，根據“上加下減”的平移規(guī)律解答即可.故答案為y=3x+2.

點評：此題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，求直線平移后的解析式時要注意平移時k的值不變，只有b發(fā)生變化.解析式變化的規(guī)律是：左加右減，上加下減.

二、一次函數函數關系式的應用

例3、（2014·溫州）一次函數y=2x+4的圖象與y軸交點的坐標是（ ）

解析：在解析式中令x=0，即可求得與y軸的交點的縱坐標.故選B

點評：本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，是一個基礎題.

例4、（2014·四川自貢）一次函數y=kx+b，當1≤x≤4時，3≤y≤6，則k的值是 .

解析：本題主要涉及一次函數的性質.由于k的符號不能確定，故應分k>0和k<0兩種進行解答.當k>0時，此函數是增函數，解得k=2；當k<0時，此函數是減函數，解得k=﹣7.故答案為：2或﹣7.

點評：本題考查的是一次函數的性質，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解.

三、用一次函數圖像描述實際問題

例5、（2014·廣東）汽車以60千米/時的速度在公路上勻速行駛，1小時后進入高速路，繼續(xù)以100千米/時的速度勻速行駛，則汽車行駛的路程s（千米）與行駛的時間t（時）的函數關系的大致圖象是（ ）

解析：根據情境可知，汽車以60千米/時的速度在公路上勻速行駛，1小時后進入高速路，所以前1小時路程隨時間增大而增大，后來以100千米/時的速度勻速行駛，路程增加變快.據此即可選擇.故選：C.

點評：本題主要考查了函數的圖象.本題的關鍵是分析汽車行駛的過程.

四、一次函數與一元一次不等式的結合運用

解析：本題把一次函數與一元一次不等式簡單結合.將點A（m，3）代入y=2x得到A的坐標，再根據圖形得到不等式的解集.故選A

點評：本題考查了一次函數與一元一次不等式，要注意數形結合，直接從圖中得到結論.

解析：本題把一次函數與一元一次不等式利用圖像加以結合.滿足不等式﹣x+m>nx+4n>0就是直線y=﹣x+m位于直線y=nx+4n的上方且位于x軸的上方的圖象，據此求得自變量的取值范圍即可.故選D.

點評：本題考查了一次函數的圖象和性質以及與一元一次不等式的關系，要熟練掌握.

五、根據一次函數圖象獲取信息

例8、（2014·德州，第8題3分）圖象中所反映的過程是：張強從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家.其中x表示時間，y表示張強離家的距離.根據圖象提供的信息，以下四個說法錯誤的是（ ）

A.體育場離張強家2.5千米

B.張強在體育場鍛煉了15分鐘

C.體育場離早餐店4千米

D.張強從早餐店回家的平均速度是3千米/小時

解析：本題結合圖象得出張強從家直接到體育場，故第一段函數圖象所對應的y軸的最高點即為體育場離張強家的距離；進而得出鍛煉時間以及整個過程所用時間.由圖中可以看出，體育場離張強家2.5千米，體育場離早餐店2.5﹣1.5千米；平均速度=總路程÷總時間.故選：C.

點評：此題主要考查了函數圖象與實際問題，根據已知圖象得出正確信息是解題關鍵.通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

六、一次函數在實際生活中的應用

例9、（2014·珠海）為慶祝商都正式營業(yè)，商都推出了兩種購物方案.方案一：非會員購物所有商品價格可獲九五折優(yōu)惠，方案二：如交納300元會費成為該商都會員，則所有商品價格可獲九折優(yōu)惠.

（1）以x（元）表示商品價格，y（元）表示支出金額，分別寫出兩種購物方案中y關于x的函數解析式；

（2）若某人計劃在商都購買價格為5880元的電視機一臺，請分析選擇哪種方案更省錢？

解析：（1）根據兩種購物方案讓利方式分別列式整理即可；（1）方案一：y=0.95x；方案二：y=0.9x+300；

（2）分別把x=5880，代入（1）中的函數求得數值，比較得出答案，選擇方案一更省錢.

點評：此題考查一次函數的運用，根據數量關系列出函數解析式，進一步利用函數解析式解決問題.

七、一次函數綜合題

例10、（2014年江蘇南京）從甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明騎車從甲地出發(fā)，到達乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段時間，假設小明騎車在平路、上坡、下坡時分別保持勻速前進.已知小明騎車上坡的速度比在平路上的速度每小時少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小時多5km.設小明出發(fā)x h后，到達離甲地y km的地方，圖中的折線OABCDE表示y與x之間的函數關系.

（1）小明騎車在平路上的速度為 km/h；他途中休息了 h；

（2）求線段AB、BC所表示的y與x之間的函數關系式；

（3）如果小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h，那么該地點離甲地多遠？

解析：（1）由速度=路程÷時間就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的時間，進而得出途中休息的時間；答案為：15，0.1

（2）先由函數圖象求出小明到達乙地的時間就可以求出B的坐標和C的坐標就可以由待定系數法求出解析式；得y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；y=﹣20x+16.5（0.5

（3）小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h，由題意可以得出這個地點只能在破路上.設小明第一次經過該地點的時間為t，則第二次經過該地點的時間為（t+0.15）h，根據距離甲地的距離相等建立方程求出其解.該地點離甲地5.5km.

點評：本題考查了行程問題的數量關系的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，一元一次方程的運用，解答時求出一次函數的解析式是關鍵.

（作者單位：南師附中江寧分校）