具有相同反射函數(shù)的微分方程類(lèi)

周 堅(jiān)，趙士銀

(宿遷學(xué)院 教師教育系，江蘇 宿遷 223800)

0 引 言

眾所周知，客觀(guān)世界中物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律通?？蓺w為研究時(shí)變微分系統(tǒng)，

的解的性態(tài).而在一般情況下，這并不是一件容易的事情.當(dāng)系統(tǒng)(1)為周期系統(tǒng)時(shí)，即，

X(t +2ω，x)= X(t，x)，ω ＞0，

數(shù)學(xué)家Poincaré 和Lyapunov 提出了用變換法來(lái)研究該周期系統(tǒng)的解的性態(tài)，但對(duì)于有些周期系統(tǒng)，比如不可積系統(tǒng)，這種方法應(yīng)用起來(lái)則非常困難.1981年，Mironenko［1－3］首先創(chuàng)建了反射函數(shù)理論，并借助反射函數(shù)這一最新工具來(lái)尋找周期系統(tǒng)(1)的Poincaré 映射，這為研究微分系統(tǒng)(1)，即使系統(tǒng)(1)為不可積系統(tǒng)，的解的幾何性質(zhì)提供了新的方法.在此基礎(chǔ)上，周正新［4－7］對(duì)此作了深入研究，并取得了豐富的研究成果.結(jié)合反射函數(shù)的理論，可以看出不同的微分方程可能具有相同的反射函數(shù)，通過(guò)建立以同一個(gè)函數(shù)為反射函數(shù)的周期方程類(lèi)，可以判斷這些方程的周期解是否具有相同的幾何性質(zhì).另外，為了探討一些帶擾動(dòng)項(xiàng)的復(fù)雜微分方程的周期解的幾何性質(zhì)，只需研究與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單微分方程的周期解的幾何性質(zhì)［8－9］.所以，微分方程的等價(jià)性對(duì)于研究一些復(fù)雜微分方程的解的性態(tài)具有非常重要的意義.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［3］稱(chēng)連續(xù)可微函數(shù)，F(xiàn)(t，x)= φ(－ t;t，x)，(t，x)∈D 為微分系統(tǒng)(1)的反射函數(shù).由文獻(xiàn)［3］知，可微函數(shù)F(t，x)∶D →Rn為微分系統(tǒng)(1)的反射函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它為偏微分方程，

的解，稱(chēng)式(2)為關(guān)于反射函數(shù)的基本關(guān)系式.

引理1［3］(基本引理) 設(shè)微分系統(tǒng)(1)為關(guān)于t 的2ω-周期系統(tǒng)，F(xiàn)(t，x)為其反射函數(shù)，則系統(tǒng)(1)在［－ ω，ω］上的Poincaré 映射T(x)可以定義為，T(x)= F(－ ω，w)= φ(ω;－ ω，x)，從而系統(tǒng)(1)在［－ω，ω］上有定義的解，x(t)為2ω-周期解，當(dāng)且僅當(dāng)F(－ ω，x)= x.

定義2［3］若微分系統(tǒng)x·= Y(t，x)與微分系統(tǒng)(1)具有相同的反射函數(shù)，則稱(chēng)它們是等價(jià)的，具有相同反射函數(shù)的微分系統(tǒng)稱(chēng)為同一等價(jià)類(lèi).

引理2［3］若微分系統(tǒng)，

中，函數(shù)Δ(t，x)是偏微分方程，

的解，則方程(3)和微分系統(tǒng)(1)等價(jià)，其中，δ(t)是任意連續(xù)奇函數(shù).

引理3［3］若方程(3)和微分系統(tǒng)(1)等價(jià)，它們都為2ω-周期系統(tǒng)，則它們的Poincaré 映射相同，且它們?cè)冢郏?ω，ω］上有定義的解x(t)為2ω-周期解，當(dāng)且僅當(dāng)，F(xiàn)(－ ω，x)= x.

2 主要定理

考慮分式微分方程，

其中，αi(t)，βi(t)，(i = 0，1，2，3，t ∈R)連續(xù)可微，α0(t)α3(t)≠0.

為了討論方便，簡(jiǎn)記，

定理1 若，

其中，

定理2 若定理1 的條件成立，且分式微分方程(5)為2ω-周期方程，則有，

①當(dāng)a(－ ω)≠0 時(shí)，分式微分方程(5)存在2個(gè)2ω-周期解;

②當(dāng)a(－ ω)= 0，b(－ ω)= 1 時(shí)，分式微分方程(5)存在無(wú)窮多個(gè)2ω-周期解;

③當(dāng)a(－ ω)= 0，b(－ ω)≠1 時(shí)，分式微分方程(5)存在唯一一個(gè)2ω-周期解.

這樣，由F(－ω，x)= x，即，(b(－ω)－1－a(－ω)x)= 0，可得到要證的結(jié)論.

例1 分式微分方程，

研究微分方程之間的等價(jià)性對(duì)于探討某些復(fù)雜微分方程的周期解的幾何性質(zhì)具有重要意義，文獻(xiàn)［5，8］已取得了一些很好的結(jié)果.在此基礎(chǔ)上，本研究探討當(dāng)函數(shù)Δ(t，x)分別為，

Δ(t，x)= b0(t)+ b1(t)x + b2(t)x2，

與

a0a1≠0 時(shí)，方程(3)與方程(5)之間的等價(jià)性.

定理3 若函數(shù)bi(t)，i = 0，1，2 滿(mǎn)足以下條件:

則當(dāng)，Δ(t，x)= b0(t)+b1(t)x +b2(t)x2，bi(t)為連續(xù)可微的函數(shù)時(shí)，方程(3)與方程(5)等價(jià).

其中，c0、c1、c2均為任意常數(shù)，d1= α3β0－α0β3，d2=α1β3－α3β1，d3= α2β3－α3β2，d4= α2β1－α1β2，di+5= αiα3，(i = 0，1，2)，d8= α1β0－ α0β1，d9=d2，d10= d3.

此外，若方程(3)與方程(5)的系數(shù)均為2ω-周期的，那么二者具有相同的Poincaré 映射，其周期解的性態(tài)也相同.

證明 將函數(shù)，Δ(t，x)= b0(t)+ b1(t)x +b2(t)x2代入關(guān)系式(4)并比較等式兩端關(guān)于x 的同次冪的系數(shù)，即可推得定理結(jié)論.

同理可得.

定理4 設(shè)函數(shù)ai:= ai(t)，bj:= bj(t)，i = 0，1;j = 0，1，2，均連續(xù)可微且滿(mǎn)足以下條件:

b2= ca1

其中，d0= α0β3－α3β0，d1= α1β3－α3β1，d2= α2β1－α1β2，d3= α3β2－α2β3，di+4= αiα3，(i = 0，1，2)，d7= α1β0－α0β1，d8= α2β0－α0β2，d13= α3β3，dj+9= dj，(j = 0，1，2，3).

例2 分式微分方程，

等價(jià)于，

容易證出方程(6)具有反射函數(shù)F(t，x)=xesint.故方程(6)的Poincaré 映射可表示為T(mén)(x)=F(－ π，x)≡x.則方程(6)定義在［－ π，π］上的所有解都為2π-周期解.再由引理3 知，當(dāng)δ(t)是以2π 為周期的連續(xù)可微奇函數(shù)時(shí)，方程(7)定義在［－π，π］上的所有解也為2π-周期解.

［1］Mironenko V I.Ordinary differential equation［M］.Moscow:Science Press，1971.

［2］Mironenko V I.On the method that allows one to determine the initial data of periodic solution of differential systems and to compare the mappings for a period［J］.Diff Eq，1980，14(11):1985－1994.

［3］Mironenko V I.Reflective function and periodic solution of the differential system［M］.Minsk:University Press，1986.

［4］Zhou Z X.The reflective function represented by three exponential matrixes［J］.Bull Kor Math Soc，2010，47(1):53－61.

［5］Zhou Z X.Equivalence of differential system［J］.Acta Math Appl Sin，2004，20(1):85－92.

［6］Zhou Z X.On the Poincaré mapping and period solutions of nonautonomous differential systems［J］.Pure Appl Ana，2007，60(2):541－547.

［7］Zhou Z X.On the relationship between quadratic polynomial differential system and the Bernoulli equation［J］.Appl Math Comp，2011，217(6):8716－8721.

［8］Zhou J.Differential systems with the same reflecting functions［J］.Appl Math Comp，2011，218(7):3144－3148.

［9］周堅(jiān).一類(lèi)三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的周期解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，27(2):426－432.