基于傅里葉變換和Gyrator變換的圖像加密

蔡寧　沈?qū)W舉

摘要：基于傅里葉變換和Gyrator變換對圖像進(jìn)行加密。將原始圖像和第一個隨機(jī)相位函數(shù)疊加后做傅里葉變換，然后將頻域信息減去第二個隨機(jī)相位函數(shù)后得到一個復(fù)函數(shù)。復(fù)函數(shù)經(jīng)過Gyrator變換得到加密圖像，將第二個隨機(jī)相位函數(shù)作為相位密鑰，同時將Gyrator變換角度作為密鑰，由此增大了密鑰空間和增強(qiáng)了系統(tǒng)安全性。

通過數(shù)字方法對圖像進(jìn)行加密，解密過程用光學(xué)裝置實(shí)現(xiàn)。計算機(jī)模擬結(jié)果表明，該加密方法解密圖像質(zhì)量好，系統(tǒng)安全性良好。

關(guān)鍵詞：加密； 傅里葉變換； Gyrator變換； 相位密鑰

中圖分類號： O 438 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2015.01.016

Abstract：A novel optical encryption is proposed based on Fourier transform and Gyrator transform. The original image is firstly multiplied with the first random phase function. Then the Fourier transform is performed and the information of the frequency domain minus the second random phase function. A complex function is obtained and the Gyrator transform is performed to get the encrypted image. The transform angle of the Gyrator transform serves as a key and the second random phase function serves as a phase key. The two keys ensure the security of the encryption system. The encryption process is performed digitally and the decryption process can be implemented in the digital and optoelectronic way. The optical decryption scheme is designed. Computer simulations indicate that the decrypted image is of good quality and the encryption system has a high security.

Keywords：encryption； Fourier transform； Gyrator transform； phase key

引 言

近年來，光學(xué)圖像加密技術(shù)因其高處理速度、高并行度，可以提供相位、振幅、偏振態(tài)、波長、空間頻率等多種加密自由度而引起了人們的極大興趣。Refregier等提出雙隨機(jī)相位編碼方法[1]，在空域和頻域?qū)用軐ο筮M(jìn)行編碼，并將輸出平面得到的復(fù)振幅圖像作為加密結(jié)果。雙隨機(jī)相位編碼技術(shù)是光學(xué)信息加密領(lǐng)域中的經(jīng)典技術(shù)，具有較高的安全性和魯棒性，但也存在一些缺點(diǎn)，如系統(tǒng)對精度要求高，容偏能力低，加密結(jié)果為復(fù)振幅，不便于記錄和傳輸?shù)?。研究人員深入研究了雙隨機(jī)相位編碼方法并提出了許多改進(jìn)的或者是新的加密方案。2004年，Situ等根據(jù)菲涅耳夫瑯和費(fèi)衍射，提出了菲涅耳域雙隨機(jī)相位編碼方法[2]，利用兩次菲涅耳變換和兩個隨機(jī)相位模板對原圖像進(jìn)行雙隨機(jī)相位編碼加密。該系統(tǒng)的光學(xué)加密解密裝置和4f系統(tǒng)類似，但是不需要透鏡，并且增加了密鑰空間。分?jǐn)?shù)傅里葉變換和Gyrator變換都是傳統(tǒng)傅里葉變換的推廣形式。基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換，研究人員提出了相應(yīng)的雙隨機(jī)相位編碼方法[3]。其加密解密過程并沒有增加光學(xué)元件，但增加了密鑰空間，大大提高了系統(tǒng)的安全性。1993年，Lohmann深入研究光學(xué)分?jǐn)?shù)傅里葉變換并給出了兩種實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的光學(xué)裝置[4]。2007年，Rodrigo等給出了Gyrator變換的積分定義形式[5]，并設(shè)計了一種Gyrator變換的光學(xué)實(shí)現(xiàn)裝置[6]。Gyrator變換的變換階數(shù)可用作密鑰，并且其變換階數(shù)的改變也是通過繞光軸旋轉(zhuǎn)透鏡實(shí)現(xiàn)的，易于調(diào)節(jié)并減少了光軸校準(zhǔn)帶來的誤差。

本文基于Gyrator變換提出了一種新的加密方法。原圖像先經(jīng)第一個隨機(jī)相位函數(shù)擾亂后，再將其頻域信息歸一化后直接減去第二個隨機(jī)相位函數(shù)，所得的頻域信息經(jīng)Gyrator變換后得到加密圖像。該加密方法中，第二個隨機(jī)相位函數(shù)作為密鑰，Gyrator變換的變換角度作為解密密鑰。該加密方法、加密過程直觀，有較高的安全性。

1 理論分析

1.1 Gyrator變換

加密過程用數(shù)字的方法實(shí)現(xiàn)，解密過程可以用數(shù)字的方法實(shí)現(xiàn)也可以用光電混合系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)裝置如圖2所示。圖中，SLM1和SLM2為空間光調(diào)制器，GT為Gyrator變換的光學(xué)裝置，半透半反棱鏡、全反射鏡、傅里葉透鏡組成逆傅里葉變換的光學(xué)裝置。

將SLM1加載為全息圖E′（x，y），置于Gyrator變換的輸入平面，經(jīng)離軸的參考光照射后做變換角度為-α的Gyrator變換得到恢復(fù)的g（u，v）。將SLM1加載為隨機(jī)相位函數(shù)R（u，v），R（u，v）與恢復(fù)的g（u，v）進(jìn)行相關(guān)疊加。將疊加結(jié)果置于逆傅立葉變換的輸入平面，最后，在逆傅里葉變換的輸出平面用CCD接收得到解密圖像。

2 仿真實(shí)驗(yàn)及性能分析

用MATLAB 7驗(yàn)證方法的正確性和有效性。原圖像“Babara”像素為512×512，灰度值為0到256，如圖3（a）所示。加密過程中，原圖像空域信息被擾亂后，其頻域信息減去隨機(jī)相位函數(shù)R（u，v），得到復(fù)函數(shù)g（u，v），圖3（b）為R（u，v）。取Gyrator變換的變換角度α為1.2，則得到的加密圖像如圖3（c）所示。解密過程中，各個密鑰都正確時，恢復(fù)所得的g（u，v）的實(shí)數(shù)部分如圖3（d）所示，R（u，v）與恢復(fù)的g（u，v）的疊加結(jié)果的實(shí)數(shù)部分如圖3（e）所示，在逆傅里葉的輸出平面，用CCD接收到的解密圖像如圖3（f）所示，可以看出，原始信息完全恢復(fù)。

為研究各個密鑰對系統(tǒng)抗攻擊性能的影響，圖3（g）給出了相位密鑰R（u，v）錯誤時的解密結(jié)果，MSE為7.541×104，解密圖像為噪聲分布，無法得到原圖像信息。圖3（h）為Gyrator變換的變換角度α錯誤時的解密結(jié)果，MSE為7.612×104，無法得到原圖像信息。通過直接觀察及對MSE值分析可得：如果密鑰R（u，v）和Gyrator變換的變換角度α有一個不正確，將無法恢復(fù)原圖像，說明該方法具有較高的安全性。

為了通過原圖像和解密圖像的MSE值與Gyrator變換的變換角度α的偏離之間關(guān)系，研究該加密方法對α的敏感性。為此，改變α，使其變化區(qū)間為[1.1，1.3]，步長為0.005。原圖像和解密圖像的MSE值隨α的變化曲線如圖4所示?？梢钥闯觯晕⒆儞Q一點(diǎn)，就無法得到正確的解密圖像，說明該加密系統(tǒng)對α的變化很敏感，具有較高的安全性。

3 結(jié) 論

本文基于傅里葉變換和Gyrator變換提出了一種圖像加密方法。原圖像的頻域信息減去一個隨機(jī)相位函數(shù)后經(jīng)Gyrator變換得到加密圖像，密鑰為隨機(jī)相位函數(shù)及Gyrator變換的變換角度，并設(shè)計了解密過程的光學(xué)裝置。用計算機(jī)模擬得到了加密圖像，并驗(yàn)證了所有參數(shù)正確時，才可以完全地恢復(fù)原圖像。對于非法用戶，由于沒有正確的密鑰，無法得到正確的解密圖像。研究表明，解密圖像對Gyrator變換的變換角度的敏感性很高，變換角度變化一點(diǎn)，就無法得到正確的解密圖像。該加密系統(tǒng)具有良好的安全性。

參考文獻(xiàn)：

[1] REFREGIER P，JAVIDI B.Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding[J].Optics Letters，1995，20（7）：767-769.

[2] SITU G H，ZHANG J J.Double random-phase encoding in the Fresnel domain[J].Optics Letters，2004，29（14）：1584-1586.

[3] UNNIKRISHNAN G，JOSEPH J，SINGH K.Optical encryption by double random phase encoding in the fractional Fourier domain[J].Optics Letters，2000，25（12）：887-889.

[4] LOHMANN A W.Image rotation，Wigner rotation，and the fractional Fourier transform[J].Journal of the Optical Society of America A，1993，10（10）：2181-2186.

[5] RODRIGO J A，ALIEVA T，CALVO M L.Gyrator transform：properties and applications[J].Optics Express，2007，15（5）：2190-2203.

[6] RODRIGO J A，ALIEVA T，CALVO M L.Experimental implementation of the gyrator transform[J].Journal of the Optical Society of America A，2007，24（10）：3135-3139.

（編輯：劉鐵英）