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    基于虛擬信息的滾動軸承可靠性估計

    2015-07-30 01:41:16樓洪梁陳磊李興林但召江陳炳順
    軸承 2015年11期
    關(guān)鍵詞:先驗(yàn)時刻壽命

    樓洪梁,陳磊,李興林,但召江,陳炳順

    (1.中國計量學(xué)院 質(zhì)量與安全工程學(xué)院,杭州 310018;2.杭州軸承試驗(yàn)研究中心有限公司 博士后科研工作站,杭州 310022;3.杭州誠信汽車軸承有限公司,杭州 310024)

    隨著產(chǎn)品質(zhì)量不斷提高,在軸承等機(jī)械產(chǎn)品的可靠性定時截尾試驗(yàn)中,常會出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù),特別是在高可靠性、小樣本試驗(yàn)中,滾動軸承的壽命可以認(rèn)為近似服從Weibull分布。在壽命試驗(yàn)過程中,如果沒有取得失效數(shù)據(jù),則使用傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法,如極大似然法、最佳線性不變估計等,不能對其可靠性進(jìn)行有效評價。所以,對無失效數(shù)據(jù)情況下軸承的可靠性估計方法展開研究具有重要的理論意義和實(shí)用價值。

    文獻(xiàn)[1]最先對無失效數(shù)據(jù)下產(chǎn)品的可靠性展開研究,并取得一定的成果。文獻(xiàn)[2-5]利用修正似然函數(shù)的思想,給出了無失效數(shù)據(jù)下參數(shù)估計的方法。隨后,Bayes方法逐漸成為處理無失效數(shù)據(jù)的主流方法。文獻(xiàn)[6-8]分別取均勻分布、Beta分布和Gamma先驗(yàn)分布對ti時刻的失效概率Pi進(jìn)行Bayes估計,用加權(quán)最小二乘法配布一條Weibull曲線,從而獲得分布參數(shù)的點(diǎn)估計,最后獲得可靠性和壽命的估計。Bayes估計方法中,選取不同的先驗(yàn)分布會對估計結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重影響[9]。文獻(xiàn)[10-12]用Beta分布作為失效概率P的先驗(yàn)分布,對該取值作了解釋,并討論了該取值方法對估計結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[13]提出了一種綜合估計方法,在k組無失效數(shù)據(jù)后,再加入一組虛擬的數(shù)據(jù),并在其中引進(jìn)失效信息對無失效數(shù)據(jù)下的估計進(jìn)行修正。文獻(xiàn)[14-15]將文獻(xiàn)[7]中的先驗(yàn)分布由Beta分布改為不完全Beta分布,但沒有給出這種改變的理論依據(jù),也沒有對估計結(jié)果的穩(wěn)定性進(jìn)行討論。

    下文在以上研究的基礎(chǔ)上,引入虛擬失效信息,結(jié)合試驗(yàn)信息,通過Bayes方法得出新的估計結(jié)果。

    1 無失效數(shù)據(jù)模型

    2 Weibull分布參數(shù)與可靠度的估計

    獲得k組數(shù)據(jù)后,就可通過加權(quán)最小二乘法得出參數(shù)m,η的估計。令

    yi=lnti,

    (1)

    由此可得

    得到Weibull分布參數(shù)后,對壽命和可靠度作出估計

    (2)

    (3)

    3 引入虛擬失效信息的方法

    3.1 t1時刻r1的Bayes估計

    對于可靠度r1,選擇不完全Beta分布作為其先驗(yàn)分布,由于沒有失效數(shù)據(jù),根據(jù)工程實(shí)踐和專家經(jīng)驗(yàn)給r1取下限μ(0≤μ<1),取r1的先驗(yàn)分布為(μ,1)的不完全Beta分布為

    (4)

    式中:a,b為超參數(shù),a>0,b>0。

    由于試驗(yàn)過程中無樣本失效,可知r1大的可能性大,小的可能性小,所以π(r1|a,b)為r1的增函數(shù)。當(dāng)a>1,0

    從Bayes估計的穩(wěn)定性來看,參數(shù)c的取值不宜過大,一般取(2,8)比較適宜[14]。

    r1的先驗(yàn)密度函數(shù)π(r1)為

    。(5)

    由于t1是第1個截尾時間點(diǎn),故可引入r1的估計無虛擬失效信息,在失效數(shù)服從二項(xiàng)分布的情況下,t1時刻的似然函數(shù)q(A1|r1) =r1s1(A1為t1時刻有s1個樣品未失效事件)。

    r1的后驗(yàn)分布為

    (6)

    其中邊緣分布函數(shù)

    在平方損失函數(shù)下r1的Bayes估計為

    (7)

    3.2 ti(i>1)時刻ri的Bayes估計

    第i-1組樣品在ti-1時刻未出現(xiàn)失效,但在ti時刻可能出現(xiàn)l個失效,將這一虛擬失效信息和ti時刻無失效數(shù)據(jù)綜合起來對ril做出估計。

    假設(shè)ni-1個樣本在ti時刻的失效個數(shù)服從二項(xiàng)分布,則ni-1個樣本在ti時刻出現(xiàn)了l個失效的概率P(Bil|ril)(Bil為ti-1時刻的ni-1個無失效樣本在ti時刻出現(xiàn)了l個失效事件)為

    ,(8)

    式中:C,D分別為第i-1組樣品在ti-1時刻未失效和在ti時刻未失效的事件;P(C),P(D)分別為第i-1組樣品在ti-1和ti時刻的可靠度;P(D|C)為第i-1組樣品在ti時刻沒有失效的概率,顯然P(C|D)=1,因此

    (9)

    由于在試驗(yàn)中每組試驗(yàn)樣品都是相互獨(dú)立的,即引入的虛擬失效信息Bil和ti時刻有si個樣品沒有失效這2個事件也是相互獨(dú)立的,所以在ti時刻有si個樣品沒有失效的概率為P(Ai|ril) =rilsi。引入虛擬失效信息后ril的似然函數(shù)q(AiBil|ril)(Ai為ti時刻有si個樣品未失效事件)為

    q(AiBil|ril)=P(Bil|ril)P(Ai|ril)=

    (10)

    。(11)

    在Bil虛擬失效信息下,ril的先驗(yàn)分布為

    (12)

    ril的后驗(yàn)分布為

    (13)

    其中邊緣分布函數(shù)m(AiBil)為

    在平方損失函數(shù)下ril的Bayes估計為

    (14)

    由此可得

    (15)

    4 案例分析

    以6006軸承為例,其壽命服從二參數(shù)的Weibull分布,為便于比較,使用文獻(xiàn)[6]中的定時截尾試驗(yàn)無失效數(shù)據(jù),見表1。表中,si=∑ni,i=1,2,…,6。

    表1 無失效數(shù)據(jù)

    由表2可以看出,不同c值下估計結(jié)果有一定的波動。由表3可以看出,在不同的c值下,文中方法得到的特征壽命和形狀參數(shù)估計值波動很小,形狀參數(shù)最大波動0.160 4,特征壽命最大波動153.6,而方法1與方法2的形狀參數(shù)與特征壽命最大波動分別為0.618 4,1 447與0.394 9,334.4。

    表2 不同c值下參數(shù)m,η的估計結(jié)果與可靠度

    表3 不同方法得到的參數(shù)m,η的估計

    c=5時用不同方法得到的Weibull分布失效概率密度圖如圖1所示。由圖可以看出,c=5時,文中方法所得到的形狀參數(shù)與特征壽命均介于另2種方法之間。綜上所述,文中方法在超參數(shù)c變化時具有更好的穩(wěn)定性。

    圖1 c=5時不同方法下失效概率密度圖

    5 結(jié)束語

    提出了一種適合于滾動軸承等機(jī)械產(chǎn)品在無失效數(shù)據(jù)條件下,估計其分布參數(shù)及可靠度與可靠壽命的方法,即在滾動軸承截尾試驗(yàn)中出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù)時,在每個截尾時間點(diǎn)的可靠度估計過程中,引入前一個截尾時間點(diǎn)的無失效樣本的虛擬失效信息。實(shí)例分析表明,當(dāng)超參數(shù)c變化時,該方法的估計結(jié)果波動最小,具有更好的穩(wěn)定性與相對準(zhǔn)確性。Bayes估計的結(jié)論在很大程度上取決于先驗(yàn)分布的選取,文中提出的估計方法還需要在生產(chǎn)實(shí)踐中進(jìn)行檢驗(yàn)。

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