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    歐拉積分性質(zhì)及應用

    2015-07-29 19:21:31盧路加張君會趙志穩(wěn)
    亞太教育 2015年20期
    關(guān)鍵詞:性質(zhì)應用

    盧路加++張君會++趙志穩(wěn)

    摘 要:現(xiàn)在我們很多時候解決問題的工具還是初等函數(shù),這給我們的一些研究帶來了很多不便。含參量積分是解決問題的另一重要工具,同時含參變量積分也是引進非初等函數(shù),構(gòu)造新函數(shù)的一個重要途徑,歐拉積分就是在應用中經(jīng)常出現(xiàn)的含參量積分表示的函數(shù),它雖身為含參量積分的一種特例,但本身也是許多積分的抽象概括,能為相關(guān)積分的計算帶來方便。歐拉積分在理論和實踐上的地位僅次于初等函數(shù),應用十分廣泛。

    關(guān)鍵詞:含參量積分;歐拉積分;性質(zhì);應用

    一、歐拉積分的基本知識

    格馬(Gamma)函數(shù):Γ(s)=xs-1e-xdx,s>0.

    貝塔(Beta)函數(shù):B(p,q)=xp-1(1-x)q-1dx,p>0,q>0

    (一)Γ函數(shù)的性質(zhì)

    1.定義域:Γ函數(shù)在s>0時收斂,即定義域為s>0.

    2.連續(xù)性:在任何閉區(qū)間[a,b](a>0)上一致收斂,所以Γ(s)在s>0上連續(xù)。

    3.可微性:

    Γ(s)在s>0上可導,且Γ(1)(s)=xs-1e-xIn xdx,Γ(n)(s)=xs-1e-x(In x)ndx.

    4.遞推公式:Γ(s+1)若s為正整數(shù)n,則Γ(n+1)=n!

    5.Γ(s)的其他形式:

    令x=y2,就有Γ(a)=xa-1e-xdx=2y2a-1edy(a>0)

    令x=py,則有Γ(a)=xa-1e-xdx=paya-1e-pydy(a>0,p>0)

    特別地當時,并且有

    6.余元公式:揭示了函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系

    7.倍元公式:

    (二)B函數(shù)的性質(zhì)

    1.定義域:B(p,q)的定義域為p>0,q>0.

    2.連續(xù)性:B(p,q)在p>0,q>0內(nèi)連續(xù).

    3.對稱性:B(p,q)=B(q,p)

    4.遞推公式:

    B(p,q)=B(p,q-1)(p>0,q>1)

    B(p,q)=B(p-1,q)(p>1,q>0)

    B(p,q)=B(p-1,q-1)(p>1,q>1)

    B(p,q)=B(p+1,q)B(p,q+1)(p>-1,q>-1)

    5.B(p,q)的其他形式:

    令x=cos2t

    B(p,q)=2,特別的當p=q=,B(p,q)=B(,)=

    令x=

    B(p,q)=dt=dt+dt

    6.余元公式:

    特別的

    (三)Γ函數(shù)與B函數(shù)之間的關(guān)系

    當m,n為正整數(shù)時,反復應用B函數(shù)的遞推公式可得:B(m,n)=

    一般地,對于任何正實數(shù)p、q也有相同的關(guān)系:B(p,q)=

    二、歐拉積分的應用

    通過式子的變形將積分變成歐拉積分的形式,也可以利用換元法將未知積分化為歐拉積分,再利用歐拉積分的相關(guān)性質(zhì),計算出該積分的值。

    (一)應用一直接將積分變成歐拉積分

    1.求積分dx

    解:原式=dx

    ==

    2.求積分dx

    解:原式=dx4=dx4=

    3.求積分dx(a>0)

    解:原式==

    (二)應用二利用換元法將未知積分化為歐拉積分

    1.求積分

    解:設x3=t,則=

    再作代換,即得

    =

    2.求積分(n>0)

    解:設xn=t,

    則=

    應用三歐拉積分性質(zhì)的應用(1)

    求積分

    解:設t=sinx,則=dt

    再作代換t=,即得=

    =

    參考文獻:

    [1]華東師范大學數(shù)學系,《數(shù)學分析》[M],(上,下冊)北京:高等教育出版社,2007.

    [2]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,1993.

    [3]費定輝,周學圣等,吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解(五)[M],濟南:山東科學技術(shù)出版社,1999.

    [4]錢吉林.數(shù)學分析題解精粹[M].崇文書局,2003.

    (作者單位:河南師范大學)endprint

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