一個(gè)離散可積族的可積耦合及其H am ilton結(jié)構(gòu)

徐秀麗

(棗莊科技職業(yè)學(xué)院高級(jí)技工部，山東棗莊 277500)

一個(gè)離散可積族的可積耦合及其H am ilton結(jié)構(gòu)

徐秀麗

(棗莊科技職業(yè)學(xué)院高級(jí)技工部，山東棗莊 277500)

由位移算子通過(guò)二次型恒等式直接得到離散可積族的耦合及其Hamilton結(jié)構(gòu).這種方法具有普遍性，可應(yīng)用于其他離散方程族.

可積耦合;二次型恒等式;Hamilton結(jié)構(gòu)

1 引言

近年來(lái)，Lattice可積族成為可積系統(tǒng)理論研究的焦點(diǎn)，備受關(guān)注.許多非線性Lattice可積族［1－8］及其哈密頓結(jié)構(gòu)的離散路徑已經(jīng)建立［8］，同時(shí)很多離散可積族的可積耦合的建立方法已被提到［9－14］.然而，如何建立一些離散可積族的哈密頓結(jié)構(gòu)仍是非常重要和有趣的課題.郭?？淌诤蛷堄穹褰淌谔岢隽硕涡秃愕仁剑?5－16］，為建立連續(xù)可積耦合的Hamilton結(jié)構(gòu)提供了理論依據(jù).由于不存在換位運(yùn)算，我們無(wú)法直接通過(guò)二次型恒等式直接得到離散可積耦合的Hamilton結(jié)構(gòu)［15］.基于以上問(wèn)題，我們盡力利用位移算子構(gòu)建類(lèi)似于連續(xù)可積族的換位運(yùn)算，從而利用二次型恒等式得到離散可積族的Hamilton結(jié)構(gòu).

及其靜態(tài)零曲率方程

若Γ1和ΓV2(3)同階解滿足Γ1=γΓ2，［a，b］T=aTR(b)，a，b∈，對(duì)稱(chēng)矩陣F=(fij)S×S，要求滿足:

由二次型恒等式

構(gòu)造李代數(shù)

其中

易證G滿足矩陣乘法具有封閉性［10］.a=(a1，a2，…，a8)T，b=(b1，b2，…，b8)T.定義交換算子為

本文通過(guò)構(gòu)造新的loop代數(shù)，借助于二次型恒等式得到了離散可積族的可積耦合及其哈密頓結(jié)構(gòu)，這種方法非常新穎，可廣泛應(yīng)用于其他離散可積族.

2 Hamiltonian結(jié)構(gòu)

設(shè)計(jì)對(duì)等譜問(wèn)題

得遞推關(guān)系

易證

也就是說(shuō)(9)中的第三個(gè)方程可由其他的推出來(lái).

定義

方程(8)可以寫(xiě)成

直接計(jì)算得

取Γ(m)=Γ(m)+，由零曲率方程Unt－(EΓ(m))Un+UnΓ(m)=0直接計(jì)算得

從(6)可得

利用二次型恒等式，我們可求得對(duì)稱(chēng)矩陣

為建立(11)的哈密頓結(jié)構(gòu)，規(guī)定

其中

因此，利用二次型恒等式

得

其中

為確定常數(shù)γ，在上式兩端令，n=0得γ=0，于是有

(11)可寫(xiě)成

其中

因此，(18)可寫(xiě)成Hamiltonian形式

族(21)中的第一個(gè)非線性Lattice方程為

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The Integrable Couplings of a Discrete Integrable Hierarchy and Its Hamiltonian Structure

XU Xiu－li
(Department of Senior Technology，Zaozhuang Vocational College of Science and Technology，Zaozhuang，277500，China)

The integrable couplings of a discrete integrable hierarchy and its Hamiltonian structure are obtained by the quadratic－form identity with shift operator.Thismethod can be used to produce the Hamiltonian structure of the other discrete integrable couplings.

integrable couplings;quadratic－form identity;Hamiltonian structure

O175.8

A

1672－2590(2015)03－0011－07

2015－03－27

徐秀麗(1982－)，女，山東棗莊人，棗莊科技職業(yè)學(xué)院高級(jí)技工部講師.