探究函數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)命題

厲曉靈

摘要：函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性有密切的聯(lián)系，可謂知二求一。本文探究了函數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)命題。

關(guān)鍵詞：函數(shù) ? ?奇偶性 ? ?周期性

對(duì)稱性

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中每年都占有一席之地，也一直是高中學(xué)生認(rèn)為比較難學(xué)的內(nèi)容。從現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材來看，函數(shù)y=f（x）的奇偶性、周期性、對(duì)稱性等這一部分內(nèi)容具有抽象性較強(qiáng)的特點(diǎn)，經(jīng)常綜合進(jìn)行考查且容易出現(xiàn)難題。然而教材中涉及不深，僅僅介紹一些概念和簡單的習(xí)題。在教學(xué)過程中，筆者在對(duì)一些函數(shù)問題的研究中發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，做如下總結(jié)。

一、有關(guān)函數(shù)圖像對(duì)稱性判斷的幾個(gè)命題

在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中有如下命題。

定義在R上的二次函數(shù)y=f（x）滿足

f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖像必關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱。

推廣：對(duì)于任意函數(shù)y=f（x），則有命題1：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2a-x），即f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖像必關(guān)于直線x=a對(duì)稱。

命題2：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）= -f（2a-x），即f（a+x）=-f（a-x），則y=f（x）的圖像必關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱。

命題3：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像本身是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，關(guān)于直線對(duì)稱，反之亦然。

命題4：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）= -f（b-x），則y=f（x）的圖像本身是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是（，0），反之亦然。

二、有關(guān)函數(shù)周期性判斷的幾個(gè)命題

函數(shù)的周期性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，學(xué)生在高中三角函數(shù)部分的學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)開始接觸，并在有關(guān)三角函數(shù)習(xí)題的解題中大量應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，可推廣到對(duì)一般的函數(shù)的研究中。

函數(shù)的周期性：若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使f（x+T） =f（x）恒成立，則f（x）叫做周期函數(shù)，叫T做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。

函數(shù)的奇偶性：一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），（1）如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)。（2）如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)。

命題1：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=-f（x），則y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期 T=2a。

命題2：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+a）=，（a≠0），則y=f（x） 必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=2a。

命題3：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=，（a≠0），則y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=2a。

命題4：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=，（其中a≠0，

f（x）≠1），則 y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=4a。

命題5： 定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足 f（x+a）=f（x+b），則y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a-b。

證明：∵f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）

∴y=f（x）為周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a-b。

命題6：函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足 f（x+a）=f（-x），則y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a。

證明：∵y=f（x）是偶函數(shù)，

∴f（-x）=f（x），

又∵f（x+a）=f（-x）=f（x），∴y=f（x）為周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a。

命題7：函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+a）=f（-x），則y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=2a。

命題8：函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且滿足 f（x+a）=f（b-x），則y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a+b。

命題9：函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+a）=f（b-x），則y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a+b。

證明：∵y=f（x）是奇函數(shù)，且

f（-x）= -f（x）。

∴f（x+a）=f（b-x）=f（x-b）

又f[x+（a+b）]=f[（x+b）+a]=f[（x+ b）-b]=f（x）

∴y=f（x）為周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a+b。

（注意：命題中函數(shù)的周期未必是最小正周期。）

在上面的命題中，我們又可以發(fā)現(xiàn)，命題中同時(shí)出現(xiàn)了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性，因此得到下面情形。

三、探究新知，知二求一

以命題8為例，將命題變?yōu)槿齻€(gè)條件：①函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，②滿足f（x+a）=f（b-x），③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a+b。

探究一：①② ③：

證明：∵y=f（x）是R上的偶函數(shù)， ∴f（-x）=f（x）

又f[x+（a+b）]=f[（x+b）+a]=f[b-（x-b）]=f（-x）=f（x）

∴y=f（x）為周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a+b。

探究二：②③ ①：

證明：∵f（x+a）==

f（b-x）=

∴=f（a+b-x）

=f（x）

用-x代替上式中的x，則可得到f（a+b+x）=f（-x）

又∵函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a+b。

則f（a+b+x）=f（-x）=f（x），故函數(shù)y= f（x）是R上的偶函數(shù)。

探究三：①③ ②：

證明：∵f（a+b-x）=f（-x）=f（x），∴函數(shù)y=f（x）以直線為對(duì)稱軸，∴f（x+a）== =f（b-x）。

通過以上證明得到，結(jié)論一：函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+a）=f（b-x），則y=f（x）必是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a+b。結(jié)論二：函數(shù)y=f（x）滿足f（x+a）=f（b-x），且y=f（x）是周期函數(shù)，且其中的一個(gè)周期T=a+b，則f（x）是R上的偶函數(shù)。結(jié)論三：函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且y=f（x）是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=a+b，則

f（x+a）=f（b-x）。

由此，我們可以得到：函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性三者之間應(yīng)該有緊密的聯(lián)系，可謂“知二求一”。