多球平衡問題

邱為鋼

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

多球平衡問題是中學(xué)物理競賽訓(xùn)練常見題目，理想模型是多個(gè)光滑的球，約束在曲面（柱面或半球面）內(nèi)，或者用繩子懸掛起來，求滿足什么樣的條件達(dá)到平衡.問題關(guān)鍵是求解受力平衡方程，常用方法是幾何和三角函數(shù)法.其實(shí)用代數(shù)法（解析幾何法）更加直觀簡單，且容易推廣到三維空間.代數(shù)法是基于這樣的思想：如果一個(gè)物理矢量，例如力，已經(jīng)確定與一個(gè)幾何矢量方向相同，那么這個(gè)物理矢量必定與這個(gè)幾何矢量成比例關(guān)系，它們的分量之間也成比例關(guān)系，且分量之間的比例系數(shù)相同.這個(gè)比例系數(shù)是常數(shù)，有量綱.為集中討論，本文只考慮懸掛多球平衡問題.

先討論3球問題，用兩個(gè)相同長度的繩子拴住兩個(gè)一樣的球，掛在天花板上的同一頂點(diǎn)上，兩球接觸，然后再把第3個(gè)球放在兩球上，松手，看這3個(gè)球能否達(dá)到平衡.（這是假想模型，你試著做做實(shí)驗(yàn)看呢，有問題嗎？）假定3球達(dá)到平衡，設(shè)第3個(gè)球的球心O為原點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，0），半徑為r，質(zhì)量為m.前兩個(gè)球球心為O1，O2坐標(biāo)分別為（x，－y），（－x，－y），半徑為R，質(zhì)量為M.天花板上頂點(diǎn)H坐標(biāo)為（0，h），繩子長度為l，如圖1所示.

兩球的球心距離為OO1＝R＋r，即有

圖1 懸掛了球示意圖

頂點(diǎn)到球心距離為HO1＝l＋R，即有

繩子中張力方向與矢量相同，由對稱性，設(shè)比例系數(shù)都為λ，即

兩球的相互作用力方向與矢量相同，由對稱性，設(shè)比例系數(shù)都為k，即

3個(gè)球受力平衡，兩個(gè)繩子中張力和3個(gè)小球重力矢量和為0，即

對第1個(gè)小球來說，繩子張力，重力和第3個(gè)小球?qū)λ淖饔昧χ蜑?，即

由（6）式解得

由（5）式解得

第3個(gè)小球到繩子的距離d為

考慮實(shí)際約束條件，第3個(gè)小球碰不到繩子，即d＞r，或者

不等式（12）成立的必要條件是對應(yīng)的判別式大于等于0，計(jì)算得到

（13）式含義是質(zhì)量比η越大，半徑比τ越大，越容易達(dá)到平衡位形，這與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相符.如果3個(gè)小球完全一樣，那么（13）式取等號，這就意味著3球平衡問題只能取一種平衡位形，與文獻(xiàn)［1］的結(jié)論一致.

4球受力平衡，3個(gè)繩子中張力和4個(gè)小球重力矢量和為0，即

對第1個(gè)小球來說，繩子張力，重力和第4個(gè)小球?qū)λ淖饔昧χ蜑?，即

由（18）式解得

由（17）式解得

由（19）和（20）式解得

第4個(gè)小球到繩子的距離d是

考慮實(shí)際約束條件，第4個(gè)小球碰不到繩子，即d＞r，或者

（23）式兩邊平方，并利用（1）和（2）式，且定義半徑比為τ＝R/r，那么（23）式化為

不等式（24）成立的必要條件是對應(yīng)的判別式大于等于零，計(jì)算得到

對比（25）和（13）式，說明實(shí)際4個(gè)小球比理想模型3個(gè)小球更加容易達(dá)到平衡，這也符合實(shí)際經(jīng)驗(yàn).如果4個(gè)小球完全一樣，那么（25）式成立，這就意味著4球體系可以存在平衡位形，推廣了文獻(xiàn)［1］的結(jié)論.各個(gè)參數(shù)，例如坐標(biāo)，張力等可以求解（1），（2），（19），（20）得到，不再具體給出.

由此看來，考慮一個(gè)物理問題，我們必須從實(shí)際出發(fā)，而不是只研究簡化模型，例如實(shí)際問題是4球平衡，而為什么常見題目只考慮3球？還有，對于理論模型，能不能真的去實(shí)驗(yàn)一下，看看會不會發(fā)生你意料不到的問題.有問題了，就有可能有新的發(fā)現(xiàn).

1 黃尚鵬.警惕3球平衡問題的陷阱［J］.物理通報(bào)，2014（11）：54－56.