對一道物理題目中靜態(tài)平衡和動態(tài)平衡的辨析

王璐珠 郭志君

（湖南師大附中，湖南 長沙 410081）

進入高中階段物理學習后，學生已能初步建立一些理想模型去分析描述運動的3個物理量——位移、速度和加速度的意義以及它們的相互關系，并能夠討論物體在一定力的作用下如何運動等問題，例如復雜的變加速直線運動、曲線運動等，但有時在分析問題和知識遷移過程中也會存在一些誤區(qū).本文通過一道經(jīng)典例題來闡述靜態(tài)平衡點和動態(tài)平衡點的不同之處.

圖1

題目.如圖1所示，質(zhì)量為m的物塊套在光滑豎直桿上，不可伸長的輕繩跨過固定的光滑小滑輪O（大小不計），小滑輪到桿的水平距離OB＝0.3m.繩的另一端掛一質(zhì)量為M＝2m的物塊，當細繩與豎直桿間的夾角為60°時，系統(tǒng)恰可保持靜止狀態(tài).不計輕繩的重力和一切阻力（g取10m/s2），當將m由B點起從靜止開始釋放后，m將在BC間做往復運動，求m的最大速度.

典型錯解：由題意知，m在A位置能處于平衡狀態(tài)，當m從B點靜止釋放后，經(jīng)過A位置時合力為0，加速度為0，物塊的速度最大.則根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒有

錯因分析：做直線運動的物體，經(jīng)過平衡位置時合力為0，加速度為0，而物體的運動速度最大，這是我們的一個解題思路.在本題中，當系統(tǒng)恰可保持靜止狀態(tài)，是當細繩與豎直桿間的夾角為60°時，即圖1中所示A點——靜態(tài)平衡點，而當m在BC間做往復運動時，A點是否仍是BC間運動過程中的動態(tài)平衡點？其實不然，原因在于物體m在往復運動過程中，參與了沿繩方向的運動和繞以滑輪為圓心的圓周運動過程，它的加速度在沿繩方向上應是其向心加速度和物塊M的加速度的矢量和，分析過程如下.

圖2

則物塊m的速度為

經(jīng)過一小段時間Δt后，物塊M和m速度變?yōu)関M′和v′，同理可得

因此在Δt時間內(nèi)速度的改變量為

當Δt→0，有Δθ→0，cosΔθ＝1，sinΔθ＝Δθ，因此

故物塊m的加速度為

其中

因此

證法2：求導法.如圖3所示，x2＋xOB2＝L2，兩邊分別對時間求導，

因此

若再對該方程求導可得

則

圖3

小結：物塊m的加速度在沿繩方向上是其向心加速度和物塊M的加速度的矢量和.倘若A點是BC運動過程中的動態(tài)平衡點，則物塊m在A點時加速度a＝0，此時Tcos60°＝mg，再對物塊M受力分析得到aM＝0.這顯然與實際不符，根據(jù)以上分析可知，當物塊m的加速度為0時，物塊M正處于超重狀態(tài)，有豎直向上的加速度，因此A點并不是在BC往復運動過程中的動態(tài)平衡點.

那么如何求得動態(tài)平衡點——最大速度位置？解題過程如下.

解法1：如圖4所示，設物塊m在E點位置速度最大，此時細繩與豎直桿間的夾角為θ，根據(jù)

a＝0時有

圖4

根據(jù)牛頓第二定律

有

則

即

根據(jù)機械能守恒定律

即

由（1）、（3）式得

解得θ＝67.45°.代入（1）式得v＝1.08m/s.

解法2：直接由機械能守恒定律（2）式得到

當（v2）′＝0時，v有最大值.同樣可解得

θ＝67.45°，v＝1.08m/s.

本文希望這道多本參考資料都曾出現(xiàn)過的物理問題可以給學生帶來一些啟示，不同問題的形式或內(nèi)容存在一定的差異性，學生要善于運用已學過的基礎知識發(fā)現(xiàn)差異，澄清混淆，從而達到從易到難、由淺入深的學習境界.