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    基于復(fù)利的基金投資數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

    2015-07-21 18:22:39沈慧李雙東
    信息化建設(shè) 2015年6期
    關(guān)鍵詞:年利率國庫券數(shù)學(xué)模型

    沈慧 李雙東

    摘要:按照最優(yōu)化原則,對基金投資規(guī)劃的問題進(jìn)行了分析和處理,建立了通用的數(shù)學(xué)模型,對存款按復(fù)利計算和按購買國庫券的兩種情形進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,探討了模型所反映的數(shù)據(jù)規(guī)律,根據(jù)基金的使用情況,分析利率的最優(yōu)化。

    關(guān)鍵詞:年利率;數(shù)學(xué)模型;最優(yōu)化庫券;復(fù)利;國庫券

    1問題的引入

    對于一筆資金如何確定其投資方案是數(shù)學(xué)模型研究的熱點,眾多學(xué)者建立多種數(shù)學(xué)模型探討投資方案。在此我們針對這一模型研究以下問題:某企業(yè)拿出[W]元基金,計劃若干年內(nèi)將其投資,每年固定時間用部分本息捐贈給慈善基金會,所捐款額大致相同,若干年年末仍保留原有基金數(shù)額。本文考慮的投資方式若為存入銀行,而銀行存款按復(fù)利計算(注:銀行有自動滾存業(yè)務(wù)到期后自動滾存時是將本金和利息相加視同本金存入的,形成一種事實上的按年計算的復(fù)利形式)。投資方式除了存入銀行,還可用來購買國庫券?,F(xiàn)在要求根據(jù)現(xiàn)有銀行存款及國庫券利率,分兩種情況設(shè)計基金的投資方案,使得每年的捐款盡量多,兩種方式主要有:①只存款不購買國庫券;②可存款也可購買國庫券。查得人民幣存款利率和國庫券利率如表1所示。

    表1 2015年人民幣銀行存款年利率及國庫券年利率

    [項目\&活期\&半年期\&一年期\&二年期\&三年期\&五年期\&銀行存款年利率/%\&0.35\&2.55\&2.75\&3.25\&3.75\&4.00\&國庫券年利率/%\&\&\&\&\&4.92\&5.32\&]

    2主要結(jié)論及證明

    針對這一問題的分析可知,解決這一問題就是求解一定條件約束下的利益最大化問題,將這一問題化為多階段配置的線性規(guī)劃問題。由于企業(yè)每年都要捐贈一定數(shù)額的捐款,故需要以1年為單位進(jìn)行分階段處理。要求經(jīng)過若干年之后原有基金數(shù)額不變,這樣每年的捐款額即為基金的利息所得。由最優(yōu)化原則可知,使定期的捐款額盡量高也就是“使基金的投資收益損失額盡量低”。記:[W]為現(xiàn)有基金總額,[M]為每期的捐款額,[r1]為活期存款年利率,[r0]為半年定期存款年利率,[rj]為[j]年定期的存款年利率,[Rj]為[j]年期國庫券的年利率([j>0])。

    2.1存款模型

    為了建立模型,我們引入一些記號,第[t]個[5]年中,首年年初存款[j]年定期的金額記為[xtj],第[t]個[5]年首年的可用金額記為[Wt],其中[t,j]均為非負(fù)的整數(shù),容易得到[W1=M]。

    設(shè)[n=5t+N,1≤N≤5,t≥0]([t,N]均為整數(shù))。由利息損失最小原則,對前[t]個[5]年,在第[j]個[5]年([0;五年期本息和部分作為第五年的捐款,剩余的本息自動轉(zhuǎn)為下一個五年的初始資金。于是在前[t]個5年中,便可以得到如下[5t]個方程

    [xj1+xj2+xj3+xj5=W1xj1(1+r1)=Mxj2(1+r2)2=M[xj3(1+r3)3-M](1+r1)=M[xj5(1+r5)5-M]=M]

    其中,[1≤j≤t]。

    對最后[N]年,分別做如下處理:

    若[N=1],一年期本息作為第[t+1]個[5]年首年捐款及歸還本金,即

    [xt+1,2=xt+1,3=xt+1,5=0xt+1,1=Wt+1xt+1,1(1+r1)-M=W]

    若[N=2],則第[t+1]個[5]年的第一年捐款可由一年期本息支付,二年期本息除了用來支付第[t+1]個[5]年第二年捐款外,應(yīng)該還保有本金[W],即

    [xt+1,3=xt+1,5=0xt+1,1+xt+1,2=Wt+1xt+1,1(1+r1)=Mxt+1,2(1+r2)2-M=W]

    若[N=3],一,二期本息作為第[t+1]個[5]年第三年捐款及歸還本金[W],即

    [xt+1,5=0xt+1,1+xt+1,2+xt+1,3=Wt+1xt+1,1(1+r1)=Mxt+1,2(1+r2)2=Mxt+1,3(1+r3)3-M=W]

    若[N=4],一、二年本息作為第[t+1]個[5]年首年、次年的捐款,三年本息作為第[t+1]個[5]年第三年捐款,余額存一年的定期,作為第[t+1]個[5]年第四年捐款及歸還本金[W], 即

    [xt+1,5=0xt+1,1+xt+1,2+xt+1,3=Wt+1xt+1,1(1+r1)=Mxt+1,2(1+r2)2=M[xt+1,3(1+r3)3-M](1+r1)-M=W]

    若[N=5],令[Wt+2=W],由第[t+1]個[5]年可得到[5]個方程。

    綜上所述,總共得到[5(t+1)]個方程。

    2.2存款和購國庫券兼容模型

    同樣地,在第[t]個年[6]年中,第一年年初[j]年定期的存款額記為[xtj];第一年購[j]年期國庫券的金額記為[Xtj];第一年可用的投資金額記為[Wk]。設(shè)[n=6t],由所獲利潤最高原則可得

    [xj1+xj2+xj3+xj5=Wjxj1(1+r1)=Mxj2(1+r2)2=M[Xj3(1+R3)3-M](1+R1)=M[Xj5(1+R5)5-M]=Wj+1]

    參考文獻(xiàn):

    [1]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社.2011.

    [2]劉來福,曾文藝.問題解決的數(shù)學(xué)模型方法[M].北京:北京師范大學(xué)出版社.1999.

    [3]楊蕾,鄧道才,李德山,宋華.金融學(xué)[M].北京:安徽大學(xué)出版社.2011.

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