一種低復(fù)雜度線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法

熊竹林 劉策倫安建平

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

一種低復(fù)雜度線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法

熊竹林 劉策倫*安建平

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

為降低線性調(diào)頻(LFM)信號(hào)參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜度，該文提出一種二次估計(jì)算法。首先通過(guò)短時(shí)相干積分與非相干累加對(duì)頻率斜升和起始頻率進(jìn)行預(yù)估計(jì)；然后以預(yù)估計(jì)結(jié)果為中心，利用多路并行部分匹配濾波快速傅里葉變換(PMF-FFT)和二次插值對(duì)參數(shù)進(jìn)行精確估計(jì)；最后綜合預(yù)估計(jì)和精確估計(jì)結(jié)果得到參數(shù)的最終估計(jì)值。仿真結(jié)果表明，該算法信噪比門限較低，估計(jì)精度接近克拉美羅下界，其計(jì)算復(fù)雜度和資源消耗均遠(yuǎn)低于頻率斜升試探算法和插值聯(lián)合估計(jì)算法。

信號(hào)處理；線性調(diào)頻；二次估計(jì)；低復(fù)雜度；克拉美羅下界

1 引言

線性調(diào)頻（LFM）信號(hào)作為一種重要的時(shí)變信號(hào)，被廣泛用于雷達(dá)、聲吶、地質(zhì)勘探等領(lǐng)域。頻率斜升和起始頻率作為L(zhǎng)FM信號(hào)的關(guān)鍵參數(shù)，其估計(jì)問(wèn)題一直是信號(hào)處理的重要內(nèi)容。

針對(duì)該問(wèn)題已經(jīng)開展了很多深入研究，早期的很多算法都是基于最大似然(ML)準(zhǔn)則[1,2]，估計(jì)精度高，但運(yùn)算量很大，且可能收斂到局部極值點(diǎn)?；跁r(shí)頻域正交基底變換[3-5]和馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法[6]的非平穩(wěn)信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法具有良好的估計(jì)性能，但這些算法同樣具有計(jì)算復(fù)雜度高的缺點(diǎn)。離散多項(xiàng)式相位域變換法[7]通過(guò)延遲共軛相乘降低LFM信號(hào)的動(dòng)態(tài)階數(shù)，具有較低的計(jì)算復(fù)雜度，但在低信噪比的環(huán)境下，非線性的信號(hào)處理方式會(huì)引入較大的信噪比損失。為了降低差分性能損失，文獻(xiàn)[8]提出一種頻率斜升試探法，將頻率斜升試探和FFT頻率估計(jì)算法相結(jié)合，以實(shí)現(xiàn)對(duì)頻率斜升和起始頻率的聯(lián)合估計(jì)。該算法具有較低的信噪比門限和良好的估計(jì)性能，且計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于ML算法，但算法在低信噪比環(huán)境下需要較長(zhǎng)的相干積分時(shí)間和較小的頻率斜升試探間隔，實(shí)際應(yīng)用依然存在較大難度。后續(xù)研究分別從降低相干積分時(shí)間和增大試探間隔兩方面入手對(duì)該算法進(jìn)行改進(jìn)，文獻(xiàn)[9]提出一種均值估計(jì)算法，通過(guò)降低相干積分時(shí)間進(jìn)行多次估計(jì)來(lái)降低計(jì)算復(fù)雜度，但在低信噪比環(huán)境下性能有所降低。文獻(xiàn)[10]提出一種插值聯(lián)合估計(jì)算法，通過(guò)增大試探間隔和運(yùn)用二次插值來(lái)減少頻率試探支路，與均值估計(jì)算法相比該算法估計(jì)精度較高，但計(jì)算復(fù)雜度也高于前者。本文將均值估計(jì)算法與插值聯(lián)合估計(jì)算法進(jìn)行整合，提出一種低復(fù)雜度的二次估計(jì)算法。首先通過(guò)短時(shí)相干積分和非相干累加對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行預(yù)估計(jì)以確定參數(shù)范圍，然后利用插值聯(lián)合估計(jì)算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行小范圍精確估計(jì)，仿真結(jié)果表明該算法估計(jì)性能和計(jì)算復(fù)雜度均較為理想，具有較大的工程實(shí)用價(jià)值。

本文的結(jié)構(gòu)如下：首先介紹信道模型和插值聯(lián)合估計(jì)算法，然后在此基礎(chǔ)上提出二次估計(jì)算法，最后通過(guò)仿真驗(yàn)證算法的性能。

2 信道模型和插值聯(lián)合估計(jì)算法

為不失一般性，假設(shè)信道為加性高斯白噪聲(AWGN)信道，經(jīng)過(guò)低通濾波和數(shù)字采樣后的LFM信號(hào)可以表示為

式中A為信號(hào)幅度，fs為信號(hào)采樣速率，an為實(shí)際的多普勒頻率斜升值，單位為Hz/s, a為對(duì)an按采樣速率平方歸一化的多普勒頻率斜升，fn為實(shí)際的起始頻率值，單位為Hz, f為對(duì)fn按采樣速率歸一化的起始頻率，θ0為載波初相位，n(k)為零均值復(fù)高斯噪聲，實(shí)部和虛部的方差均為σ2/2。

圖1為插值聯(lián)合估計(jì)算法的實(shí)現(xiàn)框圖。算法首先在頻率斜升an的分布區(qū)間[amin,amax]等間距選取M個(gè)頻率斜升試探值用于構(gòu)造頻率斜升補(bǔ)償支路，然后在每個(gè)補(bǔ)償支路選取Nd點(diǎn)有效數(shù)據(jù)，將有效數(shù)據(jù)補(bǔ)零至G點(diǎn)（G為2的整數(shù)次冪）后進(jìn)行FFT，構(gòu)造MG組本地信號(hào)：

式中，{m|0≤m≤M-1,m ∈Z}表示頻率斜升補(bǔ)償支路，歸一化補(bǔ)償間隔Δa=(amax-amin)/; {g|0≤g≤G-1,g∈Z }表示頻率補(bǔ)償支路，歸一化補(bǔ)償間隔Δf=1/G 。用本地信號(hào)(k)與輸入信號(hào)x(k)共軛相乘后求模值平方，得到

圖1 插值聯(lián)合估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)框圖

通過(guò)比較找出r(m,g)最大值對(duì)應(yīng)的頻率斜升支路me和起始頻率支路ge，得到頻率斜升和起始頻率的估計(jì)值和。為提高頻率斜升的估計(jì)精度，還需要對(duì)r0=r(me,ge), r-=r(me-1, ge), r+=r(me+1,ge)3點(diǎn)進(jìn)行二次插值，得到a~int=a~me+Δa(r+-r-)/ 2(r+-2r0+r-)。頻率斜升和起始頻率的最終估計(jì)值為

由式(2)可知，插值法的計(jì)算復(fù)雜度與頻率斜升支路M和FFT點(diǎn)數(shù)G有關(guān)，其關(guān)鍵參數(shù)滿足[10]

3 二次估計(jì)算法

3.1 預(yù)估計(jì)算法

本文所提二次估計(jì)算法包含預(yù)估計(jì)和精確估計(jì)兩部分，實(shí)現(xiàn)框圖如圖2所示。預(yù)估計(jì)算法是二次估計(jì)的基礎(chǔ)，其作用是確定頻率斜升和起始頻率的大致范圍，為參數(shù)的精確估計(jì)創(chuàng)造條件。從圖2可以看出，與插值聯(lián)合估計(jì)算法的純相干累加不同，預(yù)估計(jì)算法采用相干與非相干相結(jié)合的累加方式，這樣既可以通過(guò)減少相干累加時(shí)間降低算法對(duì)頻率誤差的敏感性，又能夠提供足夠的信噪比增益保證參數(shù)估計(jì)的可靠性。

Lsq為非相干累加帶來(lái)的平方損耗，滿足[13]

式中L(x)=ex/2((1-x)I(-x/2)-xI(-x/ 2))，

圖2 二次估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)框圖

加上非相干累加的次數(shù)I，預(yù)估計(jì)算法在頻率斜升、起始頻率和時(shí)間維等間距構(gòu)建M′G′I組本地信號(hào)：

式中，{m′|0≤m′≤M′-1,m′∈Z }表示頻率斜升補(bǔ)償支路，歸一化補(bǔ)償間隔Δa′=(amax-amin)/M；{g′|0≤g′≤G′-1,g′∈Z }表示頻率補(bǔ)償支路，歸一化補(bǔ)償間隔Δf′=1/G′;{i|0≤i≤I-1,i∈Z }表示非相干累加數(shù)據(jù)段，每個(gè)數(shù)據(jù)段包含個(gè)采樣點(diǎn)。經(jīng)過(guò)相干和非相干累加后的相關(guān)值記為

對(duì)輸入信號(hào)x(k)進(jìn)行預(yù)補(bǔ)償，得到準(zhǔn)基帶信號(hào)

式中，n′(k)為噪聲項(xiàng)，ad和fd分別為x′(k)的殘余頻率斜升和頻偏，當(dāng)非相干累加模塊的輸出信噪比超過(guò)SNRth時(shí)滿足[14]

3.2 精確估計(jì)算法

在確定x′(k)的頻率斜升和頻偏范圍之后，需要對(duì)信號(hào)參數(shù)進(jìn)行精確估計(jì)。精確估計(jì)算法與插值聯(lián)合估計(jì)算法類似，為提高頻率估計(jì)精度，算法在FFT前端添加了L階累加抽取濾波器?？紤]資源復(fù)用，精確估計(jì)算法的頻率斜升支路和FFT點(diǎn)數(shù)均與預(yù)估計(jì)相同，分別為M′和G′。相應(yīng)地，頻率斜升和頻偏的歸一化補(bǔ)償間隔分別為Δa"=4Δa′/M′和Δf"=1/LG′。參與精確估計(jì)的有效數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為Nd，經(jīng)過(guò)L階累加抽取濾波之后的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度=各補(bǔ)償支路的相關(guān)值可表示為r"(m",g")

式中，{m"|0≤m"≤M′-1,m"∈Z }表示頻率斜升補(bǔ)償支路，{g"|0≤g"≤G′-1,g"∈Z }表示頻偏補(bǔ)償支路。通過(guò)比較找出r"(m",g")最大值對(duì)應(yīng)的頻率斜升支路和頻偏支路，并對(duì)r0=r"(,), r-=r"(-1,)和r+=r"(+1,)進(jìn)行二次插值，得到=+Δa"(r+-r-)/2(r+-2r0+r-)。頻率斜升和頻偏的精確估計(jì)值記為

綜合式(12)和式(17)中預(yù)估計(jì)和精確估計(jì)結(jié)果，得到LFM信號(hào)參數(shù)的最終估計(jì)值

3.3 關(guān)鍵參數(shù)

二次估計(jì)算法有兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，分別是預(yù)估計(jì)模塊的相干累加長(zhǎng)度和精確估計(jì)模塊的累加抽取濾波器階數(shù)L。設(shè)η為相同輸入條件下插值聯(lián)合算法與二次估計(jì)算法頻率斜升支路數(shù)的比值(簡(jiǎn)稱頻率斜升支路壓縮比)，由式(5)和式(8)可以得到

設(shè)SNRcoh=SNRin為預(yù)估計(jì)算法中輸入信號(hào)x(k)經(jīng)過(guò)相干累加之后的輸出信噪比(簡(jiǎn)稱相干信噪比)，由于通常情況下Nd和均遠(yuǎn)大于1，式(19)可以化簡(jiǎn)為

將式(6)代入式(20)可得

根據(jù)式(21)畫出頻率斜升支路壓縮比η與相干信噪比SNRcoh的關(guān)系曲線，如圖3所示。

從圖3中可以看出，當(dāng)SNRcoh=1.82(2.6 dB)時(shí)，二次估計(jì)算法具有最少的頻率斜升補(bǔ)償支路，因此將相干累加長(zhǎng)度取為為向下取整符號(hào)。容易證明[15]，當(dāng)LΔf′?1時(shí)，累加抽取對(duì)估計(jì)性能的影響可以忽略不計(jì)，因此本文將累加抽取濾波器的階數(shù)取為L(zhǎng)=

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證算法的有效性，對(duì)本文算法的估計(jì)精度和計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行仿真和分析，并與頻率斜升試探法、插值聯(lián)合估計(jì)算法以及CRLB進(jìn)行比較。選擇衛(wèi)星通信LFM信號(hào)的典型值作為系統(tǒng)參數(shù)[16]：載噪比C/N0≥15 dB·Hz ，最大起始頻率fmax=100 kHz，最大頻率斜升amax=1000 Hz/s，系統(tǒng)噪聲帶寬Bn=2fmax=200 kHz 。輸入信噪比SNRin與載噪比C/N0滿足SNRin=(C/N0)/Bn，計(jì)算可得最低輸入信噪比SNRin=-38 dB，算法的相應(yīng)參數(shù)為：fs=200 kHz, M′=67,=11509, G′=16384, I=30, L=163, Nd=251786。

LFM信號(hào)頻率斜升和起始頻率估計(jì)的CRLB[14]歸一化值滿足

假定歸一化頻率斜升a均勻分布于[-amax/, amax/]，歸一化起始頻率f均勻分布于[-fmax/fs,/fs]，載波初相位θ0均勻分布于[-π,π)。仿真條件：-43 dB≤SNRin≤-28 dB，步進(jìn)為1 dB，單點(diǎn)仿真105次，仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。

從圖4、圖5中可以看出，本文算法和插值聯(lián)合估計(jì)算法的信噪比門限同為-38 dB，略高于頻率斜升試探法。當(dāng)信噪比低于門限時(shí)，二次估計(jì)算法預(yù)估計(jì)模塊平方損耗增大，估計(jì)精度有所降低；當(dāng)信噪比高于門限時(shí)，算法的估計(jì)性能接近克拉美羅限。綜合來(lái)看，二次估計(jì)算法與插值聯(lián)合估計(jì)算法的估計(jì)性能大致相當(dāng)。

3種算法的估計(jì)時(shí)間、計(jì)算復(fù)雜度和硬件資源如表1所示。

從表1中可以看出，雖然本文算法的估計(jì)時(shí)間長(zhǎng)于其它算法，但在實(shí)用性方面優(yōu)勢(shì)明顯。一方面，算法本身具有較低的計(jì)算復(fù)雜度；另一方面，算法采用流水線加模塊化設(shè)計(jì)，非常容易實(shí)現(xiàn)資源復(fù)用。與插值聯(lián)合估計(jì)算法相比，本文算法在不損失估計(jì)性能的前提下計(jì)算復(fù)雜度降低91%，硬件資源減少99.68%。綜上所述，二次估計(jì)算法以適當(dāng)延長(zhǎng)估計(jì)時(shí)間為代價(jià)換取計(jì)算復(fù)雜度和硬件成本的大幅降低，同時(shí)保證良好的估計(jì)性能，非常適用于高動(dòng)態(tài)低信噪比環(huán)境下LFM信號(hào)參數(shù)的精確估計(jì)。

表1 估計(jì)時(shí)間、計(jì)算復(fù)雜度和硬件資源對(duì)照表

圖5 不同信噪比下的起始 頻率估計(jì)均方誤差

圖3 不同相干信噪比下的頻率斜升支路壓縮比

圖4 不同信噪比下的頻率 斜升估計(jì)均方誤差

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本文提出一種二次估計(jì)算法，將LFM參數(shù)估計(jì)拆分為預(yù)估計(jì)和精確估計(jì)兩部分，預(yù)估計(jì)確定參數(shù)范圍，精確估計(jì)確保估計(jì)精度。該算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小、實(shí)現(xiàn)成本低、估計(jì)精度高等優(yōu)點(diǎn)，在低信噪比高動(dòng)態(tài)環(huán)境下能夠保持較低的計(jì)算復(fù)雜度和較高的估計(jì)性能，具有較高的工程實(shí)用價(jià)值。

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熊竹林： 男，1988年生，博士生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航與無(wú)線通信.

劉策倫： 男，1983年生，講師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航與無(wú)線通信.

安建平： 男，1965年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信、通信信號(hào)處理.

A Low Complexity Parameter Estimation Algorithm of LFM Signals

Xiong Zhu-lin Liu Ce-lun An Jian-ping
(School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

A quadratic estimation algorithm is proposed to reduce the complexity of accurate Linear Frequency Modulation (LFM) parameter estimation. First, the frequency rate and initial frequency are estimated coarsely by short time coherent integral and incoherent accumulation. Then, the parallel Partial Matched Filters combined with FFT (PMF-FFT) and quadratic interpolation are utilized to estimate the residuals of the frequency rate and initial frequency. Last, the final estimated values are obtained by synthesizing the results of both estimations. Simulation shows that the proposed algorithm has a low SNR threshold, and the accuracy is close to Cramer-Rao Lower Bound (CRLB). The complexity and hardware consumption of the proposed algorithm are much less than the frequency rate test algorithm and joint estimation algorithm based on interpolation.

Signal proessing; Linear Frequency Modulation (LFM); Quadratic estimation; Low complexity; Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)

TN911.6

A

1009-5896(2015)02-0489-05

10.11999/JEIT140166

2014-01-24收到，2014-05-20改回

國(guó)家863計(jì)劃項(xiàng)目(2012AA01A505)和國(guó)家自然科學(xué)基金(61271258)資助課題

*通信作者：劉策倫 liucelun@bit.edu.cn