相位響應(yīng)固定幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健波束形成方法

虞泓波 馮大政 解 虎

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071）

相位響應(yīng)固定幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健波束形成方法

虞泓波*馮大政 解 虎

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071）

傳統(tǒng)的幅度約束波束形成器是一個非凸問題，需將原始模型化為線性規(guī)劃進(jìn)行間接求解。該文針對均勻線陣提出一種相位響應(yīng)固定幅度響應(yīng)約束（PFMC）的穩(wěn)健波束形成方法。利用權(quán)矢量逆序列對應(yīng)的傳遞函數(shù)與陣列響應(yīng)函數(shù)只差一個相位因子這一性質(zhì)，將陣列響應(yīng)的相位設(shè)置為固定的線性相位，僅對陣列響應(yīng)的實(shí)數(shù)幅度進(jìn)行約束，從而得到一個凸的代價函數(shù)，最優(yōu)權(quán)矢量可以利用內(nèi)點(diǎn)法求出。同時考慮到協(xié)方差矩陣誤差，利用最壞（WC）情況性能最優(yōu)原理提出PFMC-WC算法改善PFMC的性能。與傳統(tǒng)幅度約束波束形成器相比，減少了約束個數(shù)并省掉了恢復(fù)權(quán)矢量過程，從而降低了計(jì)算量。此外，由于相位響應(yīng)得到保證，該文算法相對于傳統(tǒng)算法具有更好的性能。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該文算法的有效性。

陣列信號處理；穩(wěn)健波束形成；相位響應(yīng)固定幅度響應(yīng)約束；最壞情況性能最優(yōu)

OI：10.11999/JEIT141513

1 引言

自適應(yīng)波束形成是陣列信號處理中一項(xiàng)重要任務(wù)［1］。近些年來，為了提高波束形成器抗導(dǎo)向矢量誤差的性能，人們提出了一些穩(wěn)健的波束形成方法。2003年Vorobyov等人［2］提出了基于最壞情況的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，Li等人［3］提出基于不確定集的導(dǎo)向矢量的估計(jì)方法。2008年 Vorobyov等人［4］又提出了基于概率約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，該方法認(rèn)為文獻(xiàn)［2］中最壞情況以一定的概率出現(xiàn)。文獻(xiàn)［2-4］中方法都?xì)w屬于擴(kuò)展的對角加載方法。Hassanien等人［5］基于導(dǎo)向矢量失配模型提出一種迭代求解算法以估計(jì)期望信號導(dǎo)向矢量。Khabbazibasmenj等人［6］對文獻(xiàn)［5］中算法進(jìn)行改進(jìn)，提出一種半正定松弛（SDR）算法進(jìn)行導(dǎo)向矢量估計(jì)，與文獻(xiàn)［5］中算法相比增大了系統(tǒng)自由度，具有更高的輸出信干噪比（SINR）。文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］提出了基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成方法，通過重構(gòu)干擾和噪聲協(xié)方差矩陣提高了協(xié)方差矩陣的有效性，但這類算法目前計(jì)算量很大，需要進(jìn)一步研究降低計(jì)算量的方法。雖然上述方法都在盡力提高波束形成器的穩(wěn)健性，但是大部分方法均不能靈活控制期望信號所在的穩(wěn)健區(qū)域的寬度和波動程度。近年來，基于幅度響應(yīng)約束的波束形成方法［912］-被提出，該方法通過對給定角域內(nèi)的陣列響應(yīng)幅度上下限強(qiáng)加約束，達(dá)到對穩(wěn)健區(qū)域的寬度和波動程度的控制。

本文針對均勻線陣提出一種相位響應(yīng)固定幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健波束形成方法，通過分析發(fā)現(xiàn)陣列響應(yīng)函數(shù)與權(quán)矢量逆序列的傳遞函數(shù)只差一個相位因子，令權(quán)矢量逆序列的傳遞函數(shù)具有線性相位，從而使得陣列響應(yīng)函數(shù)也具有線性固定相位，因此，只需對陣列響應(yīng)的實(shí)數(shù)幅度進(jìn)行約束即可有效控制穩(wěn)健區(qū)域的寬度和波動程度。所提模型為一個凸問題，利用高效的內(nèi)點(diǎn)法容易求解，與文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［12］中算法相比，能有效提高計(jì)算效率。此外，由于將相位響應(yīng)固定為線性相位，使得相位響應(yīng)得到保證，與傳統(tǒng)幅度約束波束形成器相比，所提波束形成器性能更優(yōu)，仿真實(shí)驗(yàn)表明本文方法對加載因子敏感性更低、樣本收斂性更快，并具有更好的抗陣元幅相誤差穩(wěn)健性，從而本文方法更適用于工程應(yīng)用。

2 相位響應(yīng)固定幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健波束形成方法

2.1 問題模型

假設(shè)一個ULA包含N個陣元，陣元間距為d，目標(biāo)及干擾均為窄帶信號，令 x （t）∈CN×1表示陣列接收數(shù)據(jù)矢量，則最小方差無畸變響應(yīng)（MVDR）波束形成器可以表示為

θt為目標(biāo)信號波達(dá)方向，為波長。在實(shí)際應(yīng)用中，通常由采樣協(xié)方差矩陣來估計(jì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，其中L為樣本數(shù)。為了使得濾波器權(quán)矢量在一定的角域范圍內(nèi)維持平穩(wěn)的增益，基于幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健波束形成方法被提出［9-13］：

其中 （）L θ與 （）U θ分別表示幅度響應(yīng)的下界、上界，Θm表示期望的穩(wěn)健角域。顯然，由于存在非凸約束式（3）所示代價函數(shù)是一個非凸的問題，難以直接求解。文獻(xiàn)［9］通過利用權(quán)矢量的自相關(guān)函數(shù)將式（3）轉(zhuǎn)化為凸問題，再利用譜分解方法求解權(quán)矢量，求解過程較為繁瑣且最優(yōu)解受譜分解方法的影響。文獻(xiàn)［12］采用迭代 SOCP算法進(jìn)行求解以逼近原始問題的最優(yōu)解，雖然文獻(xiàn)［12］說明了迭代 SOCP求解式（3）的有效性，但是迭代求解子SOCP問題的方法大大降低了計(jì)算效率，不利于快速計(jì)算。文獻(xiàn)［14，15］等提出穩(wěn)健線性約束最小方差（LCMV）波束形成器及和差波束形成器，探索了波束形成器的相位響應(yīng)，這啟發(fā)我們研究傳統(tǒng)幅度約束波束形成器的相位響應(yīng)。

2.2 相位響應(yīng)固定幅度響應(yīng)約束方法（PFMC）

其中符號*表示卷積。假設(shè)輸入序列為N點(diǎn)，那么在 1N- 時刻的輸出為

對比式（4）與式（6），可以發(fā)現(xiàn)陣列響應(yīng)函數(shù)相當(dāng)于輸入序列經(jīng)過一個單位脈沖響應(yīng)序列為的系統(tǒng)后在 N- 1時刻的輸出，如圖 1所示。圖中N-1 。將陣列響應(yīng)函數(shù)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化：

圖 1 輸入輸出過程示意圖

觀察式（9）可知，固定的陣列響應(yīng)函數(shù)的相位為

這樣，陣列響應(yīng)函數(shù)可以表示為實(shí)數(shù)幅度特性與相位特性的乘積：

由于 Hm（ejΩ）是實(shí)數(shù)，這里令其非負(fù)。根據(jù)式（12），可以將式（3）改寫為

容易看出，式（13）所示約束是凸的。這樣一個新的穩(wěn)健模型可以表示為

虛部為零的約束可以省去，這是由于式（14）中的約束已經(jīng)隱含了是實(shí)數(shù)。顯然式（14）為一個凸優(yōu)化問題，約束部分可以在角域mΘ 內(nèi)通過角度采樣進(jìn)行近似［912］-。這樣式（14）所示代價函數(shù)即可用高效的內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解。關(guān)于代價函數(shù)式（14）有如下推論。

推論 如果權(quán)矢量逆序列的傳遞函數(shù) H（ejΩ）采用形如 φ（ Ω ）= -（ N - 1）Ω/ 2+ Ω0（Ω0為任意常數(shù)）的固定線性相位，那么其對于式（14）所示代價函數(shù)是等效的。

證明 （1）假設(shè)式（14）的最優(yōu)解為optw ，令1=w（相位旋轉(zhuǎn)），則

即1w與代價函數(shù)式（14）的最優(yōu)解等效（目標(biāo)函數(shù)值相等），令angle｛｝·表示取相位，則可以得到。從而

由式（9）可得，權(quán)矢量逆序列的傳遞函數(shù)的相位為

（2）若采用線性相位 φ（ Ω ）= -（ N - 1）Ω/ 2+ Ω0，式（3）所示代價函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為

類似于（1），容易證明其最優(yōu)解經(jīng)過相位旋轉(zhuǎn)后（令

由推論可知，采用式（8b）所示線性相位對于本文算法是等效的。

2.3 最壞情況性能最優(yōu)算法（PFMC-WC）

通常由于樣本數(shù)不足、陣列先驗(yàn)信息不準(zhǔn)確等原因，采樣協(xié)方差矩陣︿R與真實(shí)的協(xié)方差矩陣R存在偏差，這種失配模型可以表示為［12］

其中失配量Δ的Frobenius范數(shù)被一個已知常數(shù)限定，

其中I為N階單位矩陣。容易看出式（21）為一個凸優(yōu)化問題，利用高效的內(nèi)點(diǎn)法容易求解。

3 計(jì)算效率分析

比較PFMC與PFMC-WC算法，可以發(fā)現(xiàn)兩者的區(qū)別在于PFMC-WC算法相對于PFMC算法在目標(biāo)函數(shù)中多了一個正則項(xiàng)，因此，對本文方法計(jì)算復(fù)雜度的分析只需分析式（21）即可。我們將本文方法與文獻(xiàn)［9］，文獻(xiàn)［12］中的方法進(jìn)行對比，假設(shè)所有方法中對角域mΘ 的采樣點(diǎn)數(shù)均為K，那么本文方法共有2K個線性約束，利用內(nèi)點(diǎn)法求解每次迭代的計(jì)算復(fù)雜度為 O（ N3+ 2K N2）；而文獻(xiàn)［9］中的凸問題有3K N+ 個線性約束，利用內(nèi)點(diǎn)法求解每次迭代的計(jì)算復(fù)雜度為此外還需要利用基于FFT的譜分解方法恢復(fù)權(quán)矢量，其計(jì)算量為 O（ N log N ）［9］；文獻(xiàn)［12］采用迭代求解子SOCP問題（Iterative-SOCP）進(jìn)行求解，求解每個子SOCP問題的計(jì)算復(fù)雜度為表1給出了3種算法的計(jì)算效率比較。文獻(xiàn)［12］指出迭代求解子SOCP問題需要5步以上［12］，而用內(nèi)點(diǎn)法求解本文方法與文獻(xiàn)［9］方法一般需要迭代10步左右［2］。從表1可以看出，與文獻(xiàn)［9］相比，本文方法可以減少線性約束的個數(shù)，并省掉利用譜分解方法恢復(fù)權(quán)矢量的過程；與文獻(xiàn)［12］相比，本文方法只需求解一個二階凸優(yōu)化問題，而文獻(xiàn)［12］獲得權(quán)矢量需求解的SOCP問題在5個以上，因此本文方法有效提高了計(jì)算效率。綜合來看，與文獻(xiàn)［9］，文獻(xiàn)［12］相比，本文方法具有更高的計(jì)算效率，更利于實(shí)際工程應(yīng)用。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

假設(shè)一個由10個陣元組成的ULA，陣元間距均為半個波長?？臻g遠(yuǎn)場處存在兩個干擾，方向分別為 30- °，50°，干噪比（INR）均為30 dB。假定的目標(biāo)信號方向?yàn)?°，而真實(shí)的目標(biāo)信號方向?yàn)?3-°。陣列響應(yīng)幅度的上下限分別根據(jù)公式 U（θ） =10rdb/20，

給出，其中 rdb（單位為dB）為穩(wěn)健區(qū)域波動程度。為了與本文方法進(jìn)行對比，還考慮了最優(yōu)波束形成器，文獻(xiàn)［9］方法，文獻(xiàn)［12］中Iterative-SOCP算法，Worst-Case算法［2］，以及對角加載算法（LSMI）。Worst-Case算法的誤差界選取ε= 3［2］，LSMI算法的加載水平為10倍噪聲功率。除實(shí)驗(yàn)1與實(shí)驗(yàn)3外，其余實(shí)驗(yàn)均為100次實(shí)驗(yàn)取平均值的結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)1 比較不同算法的陣列響應(yīng)函數(shù)的相位

假定信噪比SNR=10 dB，樣本數(shù)為200。本文方法選取波束寬度15°，選取 6γ= （本文實(shí)驗(yàn)中γ的數(shù)值均為噪聲功率的倍數(shù)），波動因子 rdb= 0.2 dB ，角域范圍為［-7：0.2：8］°，在［- 7°，8°］內(nèi)以0.2°為間隔進(jìn)行采樣。

圖2給出了5種算法在［-7°，8°］范圍內(nèi)的陣列相位響應(yīng)特性，從圖中可以看出，最優(yōu)波束形成器的相位響應(yīng)曲線在角域范圍內(nèi)為一條直線，而文獻(xiàn)［9］中方法及Iterative-SOCP算法在角域范圍內(nèi)的相位響應(yīng)曲線有所彎曲，且曲線斜率與最優(yōu)相位響應(yīng)曲線有較大偏差。本文方法在角域范圍內(nèi)相位響應(yīng)曲線為一條直線，且斜率與最優(yōu)響應(yīng)曲線幾乎相等。圖2說明了本文將陣列響應(yīng)函數(shù)設(shè)定為線性相位的有效性。

實(shí)驗(yàn) 2 觀察本文算法性能隨加載因子γ的變化情況

假設(shè)波束寬度為20°，穩(wěn)健角域選為［-1 0°，10°］，波動因子 rdb= 0.2dB，加入Iterative-SOCP文獻(xiàn)［9］中算法與本文算法進(jìn)行對比。圖3給出了3種算法在SNR=10 dB時樣本數(shù)為100時輸出SINR隨加載因子γ的變化。從圖3可以看出，本文方法在低加載量時輸出SINR與高加載量時輸出SINR相差較小，而Iterative-SOCP文獻(xiàn)［9］方法低加載量時輸出SINR與高加載量時輸出SINR相差較大，這說明本文方法對加載量的敏感性小于 Iterative-SOCP與文獻(xiàn)［9］方法。

表1 計(jì)算效率對比

圖2 相位特性

圖3 輸出SINR隨加載因子γ的變化曲線

實(shí)驗(yàn) 3 觀察本文方法對穩(wěn)健區(qū)域的寬度和波動程度的控制能力

樣本數(shù)為200，選取 6γ= ，分別考慮在確定的波動因子下不同穩(wěn)健區(qū)域?qū)挾?，以及在確定穩(wěn)健區(qū)域?qū)挾认虏煌▌右蜃訒r的波束方向圖（說明：圖4（c）、圖4（d）分別為圖4（a）、圖4（b）的局部放大圖）。

圖4給出了在不同穩(wěn)健區(qū)域?qū)挾群筒▌映潭认卤疚姆椒ǖ牟ㄐ螆D。從圖4（a）和圖4（b）中可以看出，波形圖的穩(wěn)健區(qū)域和波動程度與所設(shè)置的參數(shù)相匹配，這說明本文方法能夠靈活控制波束寬度和波動程度。同時，所有波形圖在干擾方向均形成零限，意味著對干擾有較好的抑制能力。

實(shí)驗(yàn)4 觀察算法的輸出SINR與樣本收斂性將本文算法的協(xié)方差矩陣加載因子γ設(shè)置為γ= 6，波動因子 rdb= 0.2 dB，波束寬度為20°。為了公平比較，文獻(xiàn)［9］與文獻(xiàn)［12］中算法設(shè)置為同樣的參數(shù)。

圖5給出了樣本數(shù)為200時輸出SINR隨輸入SNR變化曲線，從圖中可以看出在低SNR區(qū)域本文PFMC-WC算法與Iterative-SOCP和文獻(xiàn)［9］中算法的輸出SINR相當(dāng)，在15 dB到20 dB的SNR區(qū)域，本文PFMC-WC算法有著更高的輸出SINR。圖6給出了在SNR=10 dB時輸出SINR隨樣本數(shù)變化曲線，樣本數(shù)從10開始，從圖6可以看出，在小樣本情形，本文算法相對于Iterative-SOCP和文獻(xiàn)［9］算法輸出SINR更高，這說明本文算法有著更快的樣本收斂性。

實(shí)驗(yàn)5 觀察陣元幅相誤差對本文算法的影響

在實(shí)際應(yīng)用中，由于陣元尺寸、位置等誤差，會造成陣列導(dǎo)向矢量存在幅相誤差。本文 PFMCWC算法、Iterative-SOCP與文獻(xiàn)［9］算法中的參數(shù)設(shè)置如同實(shí)驗(yàn)4，樣本數(shù)為200。假設(shè)各陣元存在服從高斯分布的隨機(jī)幅相誤差，圖7給出了SNR=10 dB時5種算法隨陣元幅相誤差方差的變化曲線。

圖4 本文方法對穩(wěn)健區(qū)域?qū)挾群筒▌映潭瓤刂?/p>

圖5 輸出SINR隨輸入SNR變化曲線

圖6 輸出SINR隨樣本數(shù)變化曲線

圖7 輸出SINR隨陣元幅相誤差的方差變化曲線

從仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，本文方法能靈活控制穩(wěn)健區(qū)域的寬度和波動程度，且與傳統(tǒng)幅度約束波束形成器相比，對加載因子敏感性更低、樣本收斂性更快、具有更好的抗陣元幅相誤差穩(wěn)健性。這是由于對于均勻線陣，其導(dǎo)向矢量的空域角頻率類似于時域離散信號的頻率，本文在設(shè)計(jì)相位響應(yīng)時，將波束形成過程類比到時域離散系統(tǒng)的FIR濾波器設(shè)計(jì)，因此本文方法本質(zhì)上是傳統(tǒng)幅度約束波束形成器與FIR濾波器的結(jié)合，通過人為固定線性相位響應(yīng)，使得相位響應(yīng)得到保證，而傳統(tǒng)幅度約束波束形成器僅對幅度響應(yīng)進(jìn)行約束但沒有考慮相位響應(yīng)，故不能保證得到足夠好的相位響應(yīng)（實(shí)驗(yàn)1也驗(yàn)證了這一點(diǎn)），因此本文方法相對于傳統(tǒng)算法具有更好的性能。

5 結(jié)束語

本文針對均勻線陣的特性，將其陣列響應(yīng)函數(shù)的相位設(shè)置為固定線性相位，通過對角域內(nèi)的實(shí)數(shù)幅度進(jìn)行約束構(gòu)建穩(wěn)健PFMC模型。本文方法無需模型轉(zhuǎn)化，與傳統(tǒng)幅度約束波束形成器相比減少了線性約束個數(shù)，省去了譜分解方法恢復(fù)權(quán)矢量的過程，進(jìn)一步減小了計(jì)算量，更利于工程應(yīng)用。本文提出的PFMC-WC進(jìn)一步改善PFMC的性能。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在線性相位保證下，本文方法能靈活控制穩(wěn)健區(qū)域的波束寬度和波動程度，對加載因子敏感性低，樣本收斂速度更快，且對陣元幅相誤差也有較好的穩(wěn)健性。

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虞泓波： 男，1988年生，博士生，研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?、空時自適應(yīng)信號處理.

馮大政： 男，1959年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)陣列信號處理、盲信號處理、MIMO雷達(dá)信號處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等.

解 虎： 男，1987年生，博士生，研究方向?yàn)榭諘r自適應(yīng)信號處理.

Robust Beamforming with Phase Response Fixed and Magnitude Response Constraint

Yu Hong-bo Feng Da-zheng Xie Hu

（National Laboratory of Radar Signal Processing， Xidian University，Xi'an 710071，China）

The conventional magnitude constraints beamformer is a non-convex issue which is reformulated as a linear programming issue. A robust beamformer with Phase response Fixed and Magnitude response Constraint（PFMC） is proposed for Uniform Linear Array （ULA）. Making use of the property that there is only a phase factor difference between the transfer function of the inverse sequence of the weight vector and the array response function，the phase response is set to be linear and the real magnitude response is constrained. Thus，a convex optimization cost function is established whose optimal solution can be found out by highly efficient interior point method. The PFMC-WC method against covariance matrix error is proposed based on Worst Case （WC）performance optimization to improve the performance of PFMC. Compared with the conventional magnitude response constraint beamformer，the proposed method reduces the number of constraints and leaves out the processing of recovering the weight vector，therefore，the calculation cost is reduced. In addition，due to the guarantee of the phase response，the proposed beamformer has better performance than the traditional magnitude constraint beamformer. Simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed beamformer.

Array signal processing；Robust beamformer；Phase response Fixed and Magnitude response Constraint （PFMC）；Worst-Case （WC） performance optimization

TN911.7

A

1009-5896（2015）07-1688-07 D

2014-11-27收到，2015-03-11改回，2015-06-01網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

國家自然科學(xué)基金（61271293）資助課題

*通信作者：虞泓波 beyond_hongbo@126.com