密砂單剪試驗的非共軸本構(gòu)數(shù)值分析

羅 強(qiáng), 鄭偉花

(1.南陽師范學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，河南 南陽 473061; 2.大連理工大學(xué) 土木工程學(xué)院巖土工程研究所，遼寧 大連 116024)

密砂單剪試驗的非共軸本構(gòu)數(shù)值分析

羅 強(qiáng)1, 2, 鄭偉花1

(1.南陽師范學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，河南 南陽 473061; 2.大連理工大學(xué) 土木工程學(xué)院巖土工程研究所，遼寧 大連 116024)

在土體主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)過程中，主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變增量方向之間存在非共軸現(xiàn)象，傳統(tǒng)的共軸本構(gòu)理論無法合理描述非共軸現(xiàn)象及其對應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。通過有限元二次開發(fā)，在應(yīng)變軟化共軸模型的基礎(chǔ)上引入了角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸理論，對密砂的單剪試驗進(jìn)行數(shù)值模擬及分析，系統(tǒng)地研究了非共軸現(xiàn)象及其影響。數(shù)值分析結(jié)果與試驗結(jié)果的對比表明：非共軸模型能夠合理地反映非共軸現(xiàn)象及其影響，且非共軸現(xiàn)象受到靜止側(cè)壓力系數(shù)、豎向應(yīng)力和流動法則等因素的顯著影響。

非共軸；本構(gòu)理論；應(yīng)變軟化；單剪試驗；數(shù)值分析

1 研究背景

傳統(tǒng)的巖土材料本構(gòu)模型建立在共軸理論上，即主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變增量方向是完全重合的。許多研究表明[1-3]這種理論只適用于各向同性材料，而巖土材料通常是各向異性的，傳統(tǒng)理論并不能準(zhǔn)確地反應(yīng)顆粒材料的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)。事實(shí)上，在土體主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)過程中，主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變增量方向之間并不是完全重合的，即存在非共軸現(xiàn)象，該現(xiàn)象在許多試驗中已被觀測到[4-8]。

國內(nèi)外研究學(xué)者相繼提出和完善了許多顆粒狀材料的非共軸理論，且一些非共軸理論已經(jīng)被應(yīng)用到復(fù)雜巖土工程問題的數(shù)值計算中。Bardet[9]在雙軸加載條件下研究了非共軸現(xiàn)象對砂土剪切帶角度的影響。Papamichos和Vardoulakis[10]在應(yīng)變硬化模型的基礎(chǔ)上引入了非共軸理論，并對砂土剪切帶的角度、形成機(jī)理和圍壓的影響進(jìn)行了研究。Hashiguchi和Tsutsumi[11]采用非共軸模型研究了不排水雙軸壓縮試驗中剪切帶的發(fā)展情況。扈萍、黃茂松等[12]在彈塑性本構(gòu)模型中引入非共軸塑性流動理論來描述非共軸現(xiàn)象，其研究結(jié)果表明非共軸理論的引入使得模型能夠合理預(yù)測主應(yīng)力方向和主應(yīng)變增量方向的變化規(guī)律。黃茂松等[13]將傳統(tǒng)的彈塑性本構(gòu)模型三維化，引入三維非共軸塑性流動理論，建立了粗粒土的非共軸本構(gòu)模型，對粗粒土的單剪試驗進(jìn)行了數(shù)值模擬。Yang和Yu[14]將角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸理論運(yùn)用到有限元數(shù)值計算中，對砂土單剪試驗進(jìn)行了數(shù)值模擬，并研究了非共軸現(xiàn)象對試樣的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。Yang和Yu[15]將角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸理論應(yīng)用到臨界狀態(tài)彈塑性模型[16-17]中，研究了非共軸現(xiàn)象對Erksak砂和Weald黏土在主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)時的力學(xué)特性的影響。

關(guān)于非共軸現(xiàn)象的本構(gòu)模型是當(dāng)前土力學(xué)研究中的熱點(diǎn)問題之一，然而，目前的研究工作大多是在理想彈塑性或應(yīng)變硬化本構(gòu)模型中開展的，很少在密砂的應(yīng)變軟化本構(gòu)模型中對非共軸現(xiàn)象及其影響進(jìn)行研究，也較少針對非共軸現(xiàn)象的影響因素進(jìn)行系統(tǒng)地研究。本文在應(yīng)變軟化本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上引入了角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸理論，對密砂試樣的單剪試驗進(jìn)行了有限元模擬，研究了主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)、非共軸現(xiàn)象、以及非共軸現(xiàn)象對試樣的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。另外，探討了流動法則、靜止側(cè)壓力系數(shù)、豎向壓力等因素對非共軸現(xiàn)象的影響。

2 非共軸本構(gòu)模型的建立

圖1 非共軸、傳統(tǒng)塑性應(yīng) 變增量在屈服面上的關(guān)系

根據(jù)角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸彈塑性理論可知：

(1)

密砂的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系具有顯著的應(yīng)變軟化特點(diǎn)，而且往往不具備單值函數(shù)關(guān)系，因此，反映應(yīng)變軟化特性的數(shù)學(xué)模型一般具有比較復(fù)雜的形式。針對密實(shí)砂的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系特性，Rokonuzzaman和Toshinori[19]提出了一種便于數(shù)值應(yīng)用的應(yīng)變軟化模型，該模型的屈服函數(shù)(f)和塑性勢函數(shù)(g)分別采用Mohr-Coulomb函數(shù)和Drucker-Prager函數(shù)的形式，如下所示:

(2)

(3)

(4)

公式(3)中的洛德角θ表示為

(5)

其中q和J3采用式(6)和式(7)的表述形式,即：

(6)

(7)

式(2)中的函數(shù)μ(ξp)如式(8)所示，即

(8)

其中函數(shù)μp和μr分別采用式(9)和式(10)的表述形式,即：

(9)

(10)

機(jī)動摩擦角?m采用式(11)的表述形式，即

(11)

式(4)中的函數(shù)α(ξp)如式(12)所示，即

(12)

膨脹角φm采用如式(13)表述形式，即

sinφm=α(ξp) 。

(13)式中：q為廣義剪應(yīng)力；J3為偏應(yīng)力張量第三不變量；sij為偏應(yīng)力張量；?ult為內(nèi)摩擦角的峰值；?r為內(nèi)摩擦角的殘余強(qiáng)度；φo為膨脹角的峰值。

塑性硬化模量Kp的表達(dá)形式如下所示:

(14)

其中μ(ξp)如式(8)所示。

應(yīng)變軟化模型的彈性模量如下所示：

(15)

(16)

(17)

式中:e0為材料的初始孔隙比；v為泊松比；常數(shù)項G0為初始模量；Pa=98 kPa為大氣壓力。

(18)

(19)

其中，hnc為非共軸塑性模量，它為累積塑性應(yīng)變ξp的函數(shù)，即

(20)

式中:hnco為初始非共軸塑性模量；b1，b2為模型系數(shù)，其值分別為-16和0.7。

式(19)可以重新表達(dá)為

(21)

(22)

將式(1)、式(18)、式(21)和式(22)結(jié)合在一起，得到非共軸彈塑性本構(gòu)模型的表達(dá)形式為

(23)

基于有限元軟件ABAQUS的二次開發(fā)端口UMAT，采用顯式積分算法和自動分步法，對上述應(yīng)變軟化非共軸本構(gòu)模型進(jìn)行數(shù)值積分，具體思路見羅強(qiáng)等人的文獻(xiàn)[20]。

3 密砂單剪試驗的數(shù)值模擬及分析

3.1 單剪試驗簡介

在單剪試驗中，如圖2所示，方形試樣被放置于標(biāo)準(zhǔn)剪切容器中，試樣的荷載和邊界條件比較簡單明確，許多研究學(xué)者通過該試驗研究主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)，且該試驗比較便于數(shù)值模擬的實(shí)施。

圖2 單剪試驗工作原理

基于大量的單剪試驗結(jié)論，Roscoe[5]認(rèn)為試樣中間1/3部分(圖2中jkmn區(qū)域)內(nèi)的應(yīng)力分布比較均勻，可將該區(qū)域作為整個試樣的代表。

3.2 單剪試驗的數(shù)值模擬

有限元模型采用單一的四邊形平面應(yīng)變單元，其類型為8節(jié)點(diǎn)二次縮減積分單元。在模型頂邊施加水平位移邊界條件，模型的左右兩邊保持直線狀態(tài)；模型底邊的豎向和水平方向位移均被固定；豎向應(yīng)力σyy施加在模型的頂面，并保持不變。

在單剪過程中，由于剪應(yīng)力τxy的作用，模型沿水平方向?qū)a(chǎn)生應(yīng)力變化Δσxx，以及豎直方向的應(yīng)變εyy。由于試樣的受力情況考慮為平面應(yīng)變情況，并且對模型左右兩邊始終保持直徑狀態(tài)，因此，整個模型中的應(yīng)力σxx與σzz是相等的。模型主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)是由剪應(yīng)力的τxy變化引起的。有限元模型及變形形狀如圖3所示。

圖3 單剪試驗有限元模型及變形形狀

主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)如圖4所示，虛線為變形后的狀態(tài)，實(shí)線為初始狀態(tài)，α為主應(yīng)力或塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)角度。

圖4 主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)

在數(shù)值計算過程中，本構(gòu)模型的流動法則主要分為3種情況：相關(guān)聯(lián)流動法則、非關(guān)聯(lián)流動法則和塑性體積應(yīng)變?yōu)?。靜止側(cè)壓力系數(shù)K0采用0.2和0.5。豎向應(yīng)力σyy采用135, 270，405 kPa。

3.3 數(shù)值計算結(jié)果分析

3.3.1 剪應(yīng)力比-剪應(yīng)變關(guān)系

當(dāng)豎向應(yīng)力σyy=135 kPa時，在流動法則的3種情況下，采用不同的靜止側(cè)壓力系數(shù)，由共軸和非共軸模型計算所得到的剪應(yīng)力比-剪應(yīng)變關(guān)系曲線如圖5所示。圖中豎向坐標(biāo)為剪應(yīng)力與豎向應(yīng)力之比，即τxy/σyy。非共軸模型中的hnco/G分別取為0.2，0.4，0.8。

圖5 σyy=135 kPa時數(shù)值計算結(jié)果

由圖5可以發(fā)現(xiàn)：

(1) 在剪切變形的初期，共軸與非共軸模型的計算結(jié)果比較接近；隨著剪切變形的發(fā)展，非共軸模型計算得到的剪應(yīng)力比的增長速度滯后于共軸模型計算結(jié)果的增加速度，并且，兩者之間的差異逐漸顯著；當(dāng)剪應(yīng)力比達(dá)到峰值時，2種模型的計算結(jié)果之間的差異達(dá)到最大；當(dāng)試樣抗剪強(qiáng)度由峰值向殘余強(qiáng)度發(fā)展時，剪應(yīng)力比隨著剪應(yīng)變的增長而減小，2種模型的計算結(jié)果之間的差異逐漸減??；當(dāng)試樣的抗剪強(qiáng)度達(dá)到臨界狀態(tài)以后，2種模型的計算結(jié)果完全一致。

(2) 當(dāng)流動法則相同時，隨著靜止側(cè)壓力系數(shù)的增加，共軸和非共軸模型計算結(jié)果之間的差異產(chǎn)生時所對應(yīng)的剪應(yīng)力比逐漸增加。例如：在圖5(a)和圖5(b)中，靜止側(cè)壓力系數(shù)分別為0.2和0.5，非共軸和共軸模型計算結(jié)果之間的差異分別在剪應(yīng)力比達(dá)到0.3和0.6時開始出現(xiàn)，然而，這種差異均在剪應(yīng)變?yōu)?.15時消失。

(3) 非共軸模型計算得到的剪應(yīng)力比的增長趨勢滯后于共軸模型計算結(jié)果的增長趨勢，該現(xiàn)象隨著hnco/G的減小而越來越明顯。

(4) 在關(guān)聯(lián)和非關(guān)聯(lián)流動法則的計算結(jié)果中，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)變軟化特性比較明顯，隨著hnco/G的減小，剪應(yīng)力比峰值逐漸減小。在塑性體積應(yīng)變?yōu)?時的計算結(jié)果中，應(yīng)變軟化特性不明顯，2種模型計算得到的剪應(yīng)力比峰值比較接近。

當(dāng)作用在試樣的豎向應(yīng)力σyy為270 kPa和405 kPa時，由共軸和非共軸模型對單剪試驗進(jìn)行了數(shù)值模擬，相關(guān)計算結(jié)果表明：①當(dāng)流動法則和靜止側(cè)壓力系數(shù)相同時，隨著豎向應(yīng)力的增加，非共軸與共軸模型計算結(jié)果之間的差異越來越顯著；②在相同的靜止側(cè)壓力系數(shù)和豎向應(yīng)力條件下，當(dāng)流動法則由關(guān)聯(lián)法則變化到塑性體積應(yīng)變?yōu)?時，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)變軟化特性逐漸減弱，非共軸與共軸模型計算結(jié)果之間的差異逐漸減?。虎郛?dāng)流動法則和豎向應(yīng)力相同時，隨著靜止側(cè)壓力系數(shù)的增加，共軸模型和非共軸模型計算結(jié)果之間的差異逐漸減小。

3.3.2 主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)

當(dāng)σyy=135 kPa，K0=0.2時，共軸模型計算所得到的主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)變化，如圖6所示。

圖6 K0=0.2共軸模型計算結(jié)果

由圖6可以發(fā)現(xiàn)：

(1) 主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)變化是完全重合的。

(2) 在相同的靜止側(cè)壓力系數(shù)和豎向應(yīng)力條件下，當(dāng)流動法則由關(guān)聯(lián)流動法則變化至塑性體積應(yīng)變?yōu)?時，主應(yīng)力方向的極值逐漸減小。例如：在圖6中，關(guān)聯(lián)流動法則所得到的主應(yīng)力方向極值為67°，非關(guān)聯(lián)流動法則的結(jié)果為55°，塑性體積應(yīng)變?yōu)?時的結(jié)果為45°。

(3) 當(dāng)流動法則和豎向應(yīng)力相同時，靜止側(cè)壓力系數(shù)對主應(yīng)力方向的極值沒有影響，但是，對其旋轉(zhuǎn)范圍具有影響。例如：在圖6(a)中，當(dāng)K0=0.2時，主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)范圍為0°～67°?？梢姡S著靜止側(cè)壓力系數(shù)的增加，主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)范圍逐漸減小。

3.3.3 非共軸現(xiàn)象分析

當(dāng)hnco/G=0.2，σyy=135 kPa，K0=0.2時，非共軸模型計算得到的主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)變化，如圖7所示。

圖7 K0=0.2非共軸模型計算結(jié)果

由圖7可以發(fā)現(xiàn)：

(1) 非共軸模型能夠反映主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向之間的非共軸現(xiàn)象。

(2) 當(dāng)剪切變形較小時，主應(yīng)力方向的增長趨勢滯后于塑性主應(yīng)變增量方向的增長趨勢，且前者的旋轉(zhuǎn)范圍要低于后者的范圍；隨著剪切變形的增加，主應(yīng)力方向的增長趨勢領(lǐng)先于塑性主應(yīng)變增量方向的增長趨勢，且前者的旋轉(zhuǎn)范圍高于后者的范圍；在剪切變形的后期，塑性主應(yīng)變增量方向與主應(yīng)力方向逐漸重合，非共軸現(xiàn)象逐漸消失。

(3) 在相同的靜止側(cè)壓力系數(shù)和豎向應(yīng)力條件下，當(dāng)流動法則由關(guān)聯(lián)流動法則變化至塑性體積應(yīng)變?yōu)?時，非共軸現(xiàn)象逐漸減弱。

(4) 以關(guān)聯(lián)流動法則的計算結(jié)果為例，在圖7(a)中，當(dāng)K0=0.2時，主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)范圍為0°～67°，塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)范圍為25°～67°?？梢姡?dāng)流動法則和豎向應(yīng)力相同時，隨著靜止側(cè)壓力系數(shù)的增加，主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)范圍之間的差異逐漸減小，非共軸現(xiàn)象逐漸減弱。

3.4 數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果的對比

在豎向應(yīng)力σyy=135 kPa的條件下，Roscoe[5]所進(jìn)行的密砂單剪試驗的結(jié)果，如圖8所示。

圖8 單剪試驗結(jié)果

將圖5、圖7與圖8進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)：①試驗和數(shù)值計算所得到的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系都具有顯著的應(yīng)變軟化特點(diǎn)。②在試驗結(jié)果中，非共軸現(xiàn)象在剪切變形初期比較顯著，這與數(shù)值計算結(jié)論是相一致的。在剪切變形的后期，主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向都達(dá)到了極值，前者的數(shù)值略大于后者，這是由于試驗誤差所引起的；如果能夠消除試驗誤差等因素的影響，兩者應(yīng)當(dāng)是重合的[4]，而這種試驗誤差的影響在數(shù)值計算結(jié)果中則不存在。③當(dāng)選取比較合理的hnco/G時，非共軸模型的計算結(jié)果與試驗結(jié)果比較接近。

4 結(jié) 論

傳統(tǒng)的共軸本構(gòu)理論無法描述主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)過程中的非共軸現(xiàn)象。通過有限元二次開發(fā)，在應(yīng)變軟化共軸模型的基礎(chǔ)上引入了角點(diǎn)結(jié)構(gòu)非共軸理論，針對密砂的單剪試驗進(jìn)行數(shù)值模擬及分析，主要得到以下結(jié)論：

(1) 數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果比較接近，表明非共軸模型能夠合理地反映非共軸現(xiàn)象及其對應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響。

(2) 當(dāng)剪切變形較小時，主應(yīng)力方向的增長趨勢滯后于塑性主應(yīng)變增量方向的增長趨勢；隨著剪切變形的發(fā)展，主應(yīng)力方向的增長趨勢領(lǐng)先于塑性主應(yīng)變增量方向的增長趨勢；在剪切變形的后期，兩者逐漸趨于一致，非共軸現(xiàn)象消失。

(3) 非共軸模型計算得到的剪應(yīng)力比增長趨勢要滯后于共軸模型計算結(jié)果的增長趨勢。非共軸模型所得到的剪應(yīng)力比峰值要低于共軸模型的計算結(jié)果；當(dāng)試樣的抗剪強(qiáng)度達(dá)到殘余強(qiáng)度時，非共軸模型與共軸模型的計算結(jié)果之間沒有差異。

(4) 靜止側(cè)壓力系數(shù)、豎向應(yīng)力和流動法則等因素對非共軸現(xiàn)象具有顯著的影響。

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(編輯：陳 敏)

Numerical Analysis of Simple Shear Test onDense Sand with Non-coaxial Constitutive Model

LUO Qiang1, 2, ZHENG Wei-hua1

(1.School of Civil Engineering and Architecture, Nanyang Normal University, Nanyang 473061, China; 2.Institute of Geotechnical Engineering, School of Civil Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

In the process of rotation of the orientation of principal stress, the non-coaxial phenomenon exists between the orientations of the principal stress and plastic strain rate. However, the traditional constitutive theory could not reflect the non-coaxial phenomenon and its influence on the relationship between stress and strain. The yield vertex non-coaxial theory is adopted into a strain softening coaxial model to research the non-coaxial phenomenon and its influence in the numerical simulations of simple shear test on dense sand. Comparison between numerical result and test result suggests that the non-coaxial model could reflect the non-coaxial phenomenon and its influence reasonably, and also, the roles of non-coaxial model are considerably influenced by static lateral pressure coefficients, vertical stress and flow rules.

non-coaxial; constitutive theory; strain softening; simple shear test; numerical analysis

2013-12-12；

2014-01-05

國家自然科學(xué)基金項目(51079018, 11202109)；河南省科技攻關(guān)重點(diǎn)項目(112102310499)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項目(14B560023)

羅 強(qiáng)(1981-), 男, 河南南陽人, 講師,博士, 主要從事巖土本構(gòu)理論的數(shù)值應(yīng)用和離心模型實(shí)驗方面的研究, (電話)15938448276(電子信箱)luoqiang1212@sina.com。

10.3969/j.issn.1001-5485.2015.05.017

2015,32(05):89-94

TU441

A

1001-5485(2015)05-0089-06