一類解析函數(shù)的性質(zhì)

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 滁州239000)

·基礎(chǔ)學(xué)科·

一類解析函數(shù)的性質(zhì)

郭 棟，黃金超

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 滁州239000)

令H表示形如

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

定義1 設(shè)λ≥0，α>0，定義

(2)

其中-1≤B

在U內(nèi)有一個(gè)單葉解，其中

(3)

如果φ(z)=1+c1z+c2z2+...在U內(nèi)解析且滿足

(4)

則

φ(z)q(z),

且q(z)是(4)的最佳控制。

引理2[2]設(shè)-1≤B1≤B2

引理3[3]設(shè)f(z)∈H,g(z)∈H,F(z)∈K,若f(z)F(z),g(z)F(z),0≤λ≤1,則

λf(z)+(1-λ)g(z)F(z)。

引理4[4]假設(shè)p(z)=1+c1z+c2z2+...在U內(nèi)解析,且p(z)≠0(z∈U)。如果存在一個(gè)點(diǎn)z0∈U滿足

則

1 主要結(jié)果及證明

(5)

(6)

且q(z)是(5)的最佳控制。

(7)

則p(z)=1+αa2z+…在U解析，對(duì)式(7)兩邊取對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)，得

(8)

由式(1)和(8)得

(9)

則p(z)滿足微分從屬(4)，所以由引理1，得

p(z)q(z)。

(10)

其中q(z)由式(6)給出，A=1-2ρ，B=-1。

因?yàn)?1≤B1≤B2

(11)

(12)

同時(shí)

(13)

定理3 假設(shè)α>0,λ>0,γ>0。如果f(z)∈H滿足

(14)

證明假設(shè)

其中φ(0)=1。由式(14)易得φ(z)≠0(z∈U)。事實(shí)上如果φ(z)在z=z1∈U有一個(gè)m級(jí)零點(diǎn)，則φ(z)能寫成如下形式：

φ(z)=(z-z1)mq(z),(m∈N+={1,2,3,...}),

其中φ(z)是U內(nèi)的解析函數(shù)且φ(z1)≠0，所以有

(15)

然而，當(dāng)z→z1時(shí)，式(15)的虛部取到任意小的值，這與(14)相矛盾，所以，若存在一點(diǎn)z0∈U滿足

則有p(z0)≠0。由引理4和式(15),得：

則與式(14)相矛盾。所以有Reφ(z)>0(z∈U),即f(z)∈α-S*。

定理4 假設(shè)α>0,0≤ρ<1.如果f(z)∈H滿足

(16)

(17)

R(λ,ρ)的界是最佳的。

證明由式(16)得

(18)

其中u(z)=1+u1z+u2z2+...是U內(nèi)解析的正實(shí)部函數(shù)。對(duì)式(18)兩邊對(duì)數(shù)求導(dǎo)，得

(19)

在式(19)中應(yīng)用我們熟悉的估計(jì)[4]

得

其中R(λ,ρ)由(17)給出。

要證明R(λ,ρ)的界是最佳的，假設(shè)f(z)∈H且滿足

注意到

則R(λ,ρ)的界是最佳的。定理得證。

(20)

并且不等式是精確的。

1+n(α+nλ)an+1zn+…

1+(A-B)z+…,

所以由引理5和-1≤B

(21)

3 結(jié)論

本文利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得到一類新的函數(shù)類, 然后通過利用Briot-Bouquet微分從屬的方法研究其一些性質(zhì)。本文給出新的函數(shù)類的構(gòu)造過程,有利于新的函數(shù)論的研究。

[1]Miller S S，Mocanu P T. Univalent Solutions of Briot-Bouquet Differential Subordination[J]. Differential Eqns, 1985,58:297-309.

[2]劉名生.關(guān)于p-葉型β級(jí)近于凸函數(shù)類的一個(gè)子類[J].數(shù)學(xué)研究,1997,30(1):102-104.

[3]劉名生.關(guān)于某類解析函數(shù)[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002(4):15-20.

[4]Macgregor T H. The Radius of Univalence of Certain Analytic Functions[J]. Proc Amer Math Soc, 1963,14:514-520.

[5]Rogosinski W W. On the Coefficients of Subordinate Functions[J]. Proc London Math Soc, 1943,48:48-82.

(編校：葉超)

PropertiesforaSubclassofAnalyticFunctions

GUO Dong,HUANG Jin-chao

(FoundationsDepartment,ChuzhouVocationalAndTechnicalCollege,Chuzhou239000China)

2014-03-18

安徽省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(KJ2013Z252);安徽省高等學(xué)校省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目(2014jyxm515)

郭棟(1976—)，男,講師,碩士,主要研究方向?yàn)閺?fù)分析及其應(yīng)用。

：A

：1673-159X(2015)02-0036-5

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.02.007