提高數(shù)學(xué)能力學(xué)生需具備的幾種意識(shí)

（江蘇省震澤中學(xué)215000）

提高數(shù)學(xué)能力學(xué)生需具備的幾種意識(shí)

曹 菊

（江蘇省震澤中學(xué)215000）

數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)不在于為學(xué)生提供了、設(shè)計(jì)了或是解決了多少數(shù)學(xué)問(wèn)題，而在于是否激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高了學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)了創(chuàng)新意識(shí)。高中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為基礎(chǔ)的，教材中所規(guī)定的基本知識(shí)和基本技能，是繼續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展的重要基礎(chǔ)和必備知識(shí)，因此，教師必須首先培養(yǎng)學(xué)生掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，因?yàn)橹R(shí)量越大，則聯(lián)想、類(lèi)比、想象的空間就越廣，從而產(chǎn)生新思想、新方法的機(jī)會(huì)就越多。要提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力，必須先培養(yǎng)學(xué)生形成以下幾種意識(shí)。

一、善于提問(wèn)的意識(shí)

愛(ài)因斯坦曾經(jīng)指出：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要?！泵绹?guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“對(duì)自己提出問(wèn)題是解決問(wèn)題的開(kāi)始?！币?yàn)閺乃季S的形式看，提出一個(gè)問(wèn)題是開(kāi)放的思維形式，相比較而言，解決一個(gè)問(wèn)題是收斂的思維形式。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)看，提出一個(gè)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)研究的思維領(lǐng)域，而解決一個(gè)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)解題的方法范疇。因此提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是能夠提出一個(gè)內(nèi)涵深刻、價(jià)值較高的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往比解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題難得多。

而現(xiàn)在的學(xué)生學(xué)習(xí)比較被動(dòng)，滿(mǎn)足于上課聽(tīng)講下課做題，缺少主動(dòng)探究的動(dòng)力，缺乏一種發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并有愿望解決它的意識(shí)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)注重鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)題、特別是提有價(jià)值的問(wèn)題。當(dāng)然，一開(kāi)始肯定是教師提問(wèn)并做好示范指導(dǎo)，不斷要求學(xué)生也嘗試提問(wèn)，在教師的不斷“逼迫”下，學(xué)生由開(kāi)始時(shí)的被動(dòng)的提問(wèn)，慢慢變?yōu)榉e極主動(dòng)的提問(wèn)。學(xué)生在不斷經(jīng)歷提問(wèn)的過(guò)程中，問(wèn)題意識(shí)會(huì)明顯增強(qiáng)，提問(wèn)水平也會(huì)不斷提高，逐步變學(xué)生“不問(wèn)”到“敢問(wèn)、善問(wèn)”，直到后來(lái)能提出有創(chuàng)造性的問(wèn)題。不僅僅是在課上課后向教師提問(wèn)解題的思維過(guò)程，可能的方法，需要注意的方面等，還應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生學(xué)著向自己提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，從問(wèn)題中再發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，多考慮問(wèn)題的逆命題，命題條件的加強(qiáng)與放寬，命題結(jié)論的加強(qiáng)與放寬，命題的泛化與特殊化等，讓學(xué)生在善于提問(wèn)中提高自身的數(shù)學(xué)能力。

二、解題求簡(jiǎn)的意識(shí)

“繁”與“簡(jiǎn)”是在解題教學(xué)中經(jīng)常發(fā)生沖突的一對(duì)矛盾。絕大部分題目的解答都不只一種方法，而不同的解法，會(huì)產(chǎn)生完全不同的效果，有人“山窮水復(fù)疑無(wú)路”，卻也有人“柳暗花明”到了“又一村”，不但解題方法精簡(jiǎn)巧妙，對(duì)思維也有很大啟發(fā)。我們倡導(dǎo)學(xué)生廣開(kāi)思路，再將各種不同的思路進(jìn)行對(duì)比分析，擇優(yōu)選擇，這樣有利于開(kāi)闊視野，升華認(rèn)知。數(shù)學(xué)上雖有很多題可用多種方法來(lái)解決，但我們最好還是能選擇最簡(jiǎn)便的方法，因?yàn)楹?jiǎn)便方法不僅簡(jiǎn)潔明了，容易接受，省去繁瑣的過(guò)程，減少錯(cuò)誤發(fā)生的可能，更可節(jié)省時(shí)間。可在具體解題時(shí)并不是所有學(xué)生都能很快想到最簡(jiǎn)最佳的方法，即使有些簡(jiǎn)單的題很多學(xué)生都能想到，仍然會(huì)有個(gè)別學(xué)生可能繞遠(yuǎn)路了，也即簡(jiǎn)題繁解。學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)因方法不當(dāng)而造成解題煩瑣。究其原因，主要是缺乏與解題信息相關(guān)的眾多數(shù)學(xué)能力和意識(shí)。因此，如何減少這種煩瑣的解題過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)，是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中一個(gè)十分重要的問(wèn)題。

要培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)，可以從以下幾個(gè)方面入手：①對(duì)概念的理解要深刻：求簡(jiǎn)意識(shí)經(jīng)常是建立在對(duì)概念深刻理解的基礎(chǔ)上的，只有深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，才能靈活運(yùn)用它來(lái)簡(jiǎn)化解題過(guò)程。②對(duì)思維的運(yùn)用要靈活：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題正面求解比較困難，即使絞盡腦汁也難以奏效，這時(shí)教師若能引導(dǎo)學(xué)生使用逆向思維，反其道而求之，則往往可使問(wèn)題迎刃而解。③對(duì)實(shí)質(zhì)的把握要整體：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，從表面上看需要局部求出各有關(guān)量，但實(shí)質(zhì)上若從整體上去把握，處理這些量之間的關(guān)系，則思路更簡(jiǎn)潔，解法更巧妙。④對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化要等價(jià)：用運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系、發(fā)展的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看待問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的或者容易解決的新問(wèn)題，以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的。⑤對(duì)數(shù)式的研究要借形：數(shù)形結(jié)合雖不能保證數(shù)學(xué)問(wèn)題總能得到解決，但它在大多數(shù)情況下能夠使數(shù)學(xué)問(wèn)題得到較好的解決，尤其是在復(fù)雜情況中能起到良好的直觀(guān)作用，給解題帶來(lái)意料不到的簡(jiǎn)便。

學(xué)生如果養(yǎng)成了求簡(jiǎn)意識(shí)，就能自覺(jué)地去分析題目中的條件和特征，捕捉題目中的重要信息，多角度、多層次地去探索解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

三、融會(huì)貫通的意識(shí)

近年來(lái)的數(shù)學(xué)高考的一個(gè)顯著的特點(diǎn)就是在“知識(shí)的交匯處命題”，當(dāng)然，“交匯”不僅僅指的是知識(shí)與技能，而且也應(yīng)包括思維品質(zhì)、意志品質(zhì)等多種因素的交匯。試卷中許多試題十分注重能力的考查，既注意了章內(nèi)知識(shí)的縱向發(fā)展，又注意了不同章節(jié)知識(shí)之間的綜合交匯，以考查綜合處理問(wèn)題的能力，突出對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容、核心考點(diǎn)的考查，如：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、立幾、解幾等主干知識(shí)每年都是多次考查。對(duì)這些主干知識(shí)應(yīng)該加大復(fù)習(xí)力度，在訓(xùn)練的同時(shí)，要進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的歸納和解題方法的總結(jié)。除此之外，把握縱橫聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，比如關(guān)注三角與向量、解析幾何與向量、數(shù)列與解析幾何、數(shù)列與不等式、概率與方程、函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式、函數(shù)與數(shù)列、立體幾何與方程等各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的融合。知識(shí)技能只有構(gòu)建成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，并時(shí)刻處于待命狀態(tài)，才能發(fā)揮出它的整體功能，在解決問(wèn)題時(shí)才能以整個(gè)系統(tǒng)為后盾，進(jìn)行自然、自動(dòng)、迅速、有效的檢索，提取相關(guān)的知識(shí)和技能，從而更好地解題。

課本中的某些例題、習(xí)題，并不是孤立的，而是前后聯(lián)系、密切相關(guān)的，有時(shí)其他學(xué)科的知識(shí)也和數(shù)學(xué)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，我們要學(xué)會(huì)去發(fā)現(xiàn)、研究和展示這些知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅有助于自己深刻理解課本知識(shí)，有利于強(qiáng)化知識(shí)重點(diǎn)，更重要的是能有效地促進(jìn)自己數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和方法體系的構(gòu)建，使知識(shí)和能力產(chǎn)生良性遷移，達(dá)到觸類(lèi)旁通的效果。因此應(yīng)該切實(shí)領(lǐng)會(huì)教材中的基本解題思想和方法，注重通性通法。應(yīng)立足課本，激活已學(xué)過(guò)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)；經(jīng)?；貧w教材，回顧基本概念、性質(zhì)、公式、定理等；要有計(jì)劃地對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行必要的分類(lèi)整合；要重視并著重加強(qiáng)通性通法的訓(xùn)練和運(yùn)用，要把知識(shí)點(diǎn)與方法對(duì)號(hào)入座，不要盲目追求解題技巧。

高考數(shù)學(xué)題的命題不僅僅是以知識(shí)為中心，更是以問(wèn)題為中心設(shè)計(jì)的。題目的設(shè)計(jì)思想常常定位在知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，代數(shù)、幾何、三角的相互滲透，以及各類(lèi)知識(shí)與技能的綜合應(yīng)用上。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)知識(shí)的系統(tǒng)性和完整性，并且學(xué)會(huì)歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn)和常用的基本方法，了解數(shù)學(xué)各部分知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。一份綜合試卷中知識(shí)點(diǎn)多，注重綜合交叉，重視內(nèi)在融合。因此我們?cè)谄綍r(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)有選擇的、有意識(shí)的、有機(jī)的將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)組合起來(lái)，讓學(xué)生能夠從一種多元的視角，融會(huì)貫通，發(fā)展綜合能力。

因此，通過(guò)探究課本典型例題、習(xí)題的內(nèi)在聯(lián)系，讓我們?cè)谏羁汤斫庹n本知識(shí)的同時(shí)，更有效地形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與方法體系。構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，是貫穿于整個(gè)教學(xué)和學(xué)習(xí)始終的一項(xiàng)系統(tǒng)工程，不可能一蹴而就，其中的重點(diǎn)內(nèi)容更需要在不斷地應(yīng)用、歸納、整合、反思中反復(fù)強(qiáng)化。

四、優(yōu)化思維的意識(shí)

數(shù)學(xué)是訓(xùn)練學(xué)生思維的體操，數(shù)學(xué)思維是以數(shù)和形為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為載體，以認(rèn)識(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維活動(dòng)，是由形象思維、演繹思維、類(lèi)比思維、直覺(jué)思維和函數(shù)思維等思維成分構(gòu)成的一個(gè)綜合體。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相對(duì)于初中來(lái)說(shuō)有著質(zhì)的飛躍。而數(shù)學(xué)知識(shí)體系的綜合性特點(diǎn)要求學(xué)生必須具備一定的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，其思維品質(zhì)要有一定的廣度和深度。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵就是讓學(xué)生在解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)學(xué)會(huì)思考，會(huì)由未知向已知、復(fù)雜向簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，從而快速準(zhǔn)確地解題。

我們經(jīng)常會(huì)碰到這樣的問(wèn)題：課上講題時(shí)學(xué)生理解得很“明白”，可到考試時(shí)學(xué)生自己解題就往往會(huì)處出現(xiàn)思維短路，教師分析完畢，學(xué)生又“恍然大悟”。學(xué)生存在的問(wèn)題不是解答結(jié)果本身太難以致學(xué)生無(wú)法理解，而是學(xué)生無(wú)法找到通向結(jié)果的思路。思路不暢說(shuō)明思維不完善。思維方法一直是高考考查的重點(diǎn)，有時(shí)即使是填空題，也需要考生以簡(jiǎn)縮思維，直覺(jué)猜想，歸納驗(yàn)證等思維方法才能解決。而學(xué)生在思維方面還不夠完善，知識(shí)點(diǎn)之間縱向橫向的聯(lián)系，能力的交叉融合較為欠缺，不善于將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，不習(xí)慣從陌生問(wèn)題中分離出熟悉的問(wèn)題。

教師在教學(xué)中要十分重視思維的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)思維力求近似到一種非條件反射，比如吃飯自然就要拿筷子和碗，而不需刻意去記著吃飯就要有筷子有碗。解題方法和規(guī)律的概括凝結(jié)著數(shù)學(xué)思想方法，也對(duì)學(xué)生思維提出較高的要求，具體應(yīng)該有。

（一）謹(jǐn)防陷阱漏洞，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性

考察問(wèn)題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無(wú)誤，周到細(xì)致的考慮問(wèn)題的各種可能情況，謹(jǐn)防各種漏洞。不漏條件，不看錯(cuò)題，充分利用題設(shè)，注意條件和結(jié)論的變形和引申，使條件與結(jié)論產(chǎn)生必然的聯(lián)系。

（二）鼓勵(lì)大膽質(zhì)疑，訓(xùn)練思維的批判性

在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見(jiàn)解，精細(xì)地檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信、不唯上、不唯書(shū)、不迷信權(quán)威，敢于向人們司空見(jiàn)慣或認(rèn)為完滿(mǎn)無(wú)缺的事物提出懷疑。在解決問(wèn)題時(shí)能打破“自我框框”，想出新穎獨(dú)特解法，能及時(shí)反思，不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，能評(píng)價(jià)解題思路的正誤與優(yōu)劣。

（三）倡導(dǎo)一題多解，訓(xùn)練思維的廣闊性

通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀(guān)察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，在一定程度上開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，克服思維單一、狹窄，提高數(shù)學(xué)思維的廣闊性。

（四）加強(qiáng)變式訓(xùn)練，訓(xùn)練思維的變通性

為了使學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到延伸和擴(kuò)展，在教學(xué)中教師還要圍繞難點(diǎn)、重點(diǎn)或疑點(diǎn)，從不同角度，善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一題多變，把一些題的已知條件和結(jié)論作適當(dāng)?shù)母淖?，加以引申、推廣，得出新的題目，使學(xué)生不但學(xué)會(huì)了一道題的解法，而且學(xué)會(huì)了一組題、一類(lèi)題的解法，這樣有利于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的縱橫聯(lián)系和溝通，鞏固所學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡m時(shí)地運(yùn)用一題多問(wèn)、一題多變、多角度、多方向的思考，使學(xué)生能舉一反三，能以不變應(yīng)萬(wàn)變，更容易誘發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維的能力。

（五）突破常規(guī)解法，訓(xùn)練思維的獨(dú)創(chuàng)性運(yùn)用非常規(guī)解法，如直覺(jué)猜想、數(shù)形結(jié)合、特殊值等方法，可以將結(jié)果較快地猜想或推算出來(lái)，然后再進(jìn)行驗(yàn)證。

（六）運(yùn)用矛盾沖突，訓(xùn)練思維的辯證性

“對(duì)”與“錯(cuò)”是數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見(jiàn)的一對(duì)矛盾沖突，教師可將學(xué)生的錯(cuò)誤當(dāng)作一種教學(xué)資源，抓住契機(jī)，巧妙地利用“對(duì)”與“錯(cuò)”的矛盾沖突，進(jìn)行深入的討論、爭(zhēng)論、辨析、尋根、糾正，對(duì)辨誤糾錯(cuò)的教學(xué)活動(dòng)也可以成為優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)的良機(jī)。

五、回顧學(xué)習(xí)的意識(shí)

美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題?！彼呀忸}過(guò)程分為弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧四個(gè)步驟，在這四個(gè)步驟中，回顧這一重要環(huán)節(jié)常被忽視。學(xué)生不善于回顧反思，缺乏解題后對(duì)解題方法、數(shù)學(xué)思維的概括，致使掌握知識(shí)的系統(tǒng)性較弱、結(jié)構(gòu)性較差，解題能力得不到提高。為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須培養(yǎng)學(xué)生的回顧反思意識(shí)，使他們有時(shí)間、有機(jī)會(huì)對(duì)自己的解題過(guò)程進(jìn)行重新審視。主要可以從以下幾個(gè)方面來(lái)回顧：1．回顧解題思路：此題已知哪些條件，求解什么，條件與求解的關(guān)系如何，考查的是哪些知識(shí)點(diǎn)，有效突破口是什么，思路有沒(méi)有問(wèn)題等。2．回顧解題過(guò)程：解題過(guò)程中遇到了什么問(wèn)題，為何求解這么艱難，有沒(méi)有隱含的條件忽略了等。3．回顧解題方法：此類(lèi)題的常規(guī)方法和特殊方法一般有哪些，選取的方法對(duì)嗎，有沒(méi)有其他方法，是不是最佳最簡(jiǎn)方法等。4．回顧出錯(cuò)原因：對(duì)知識(shí)理解是否有偏差，或由于思維受阻無(wú)法繼續(xù)，或用了繁瑣的方法以致走進(jìn)死胡同，或沒(méi)有找到可以等價(jià)替換的式子以致走了彎路，或中間分情況討論時(shí)漏掉某一環(huán)節(jié)，或是重復(fù)計(jì)算等。

解題的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝?wèn)題的結(jié)果，而是通過(guò)解題能培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的精神，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，并能夠從相關(guān)的題中注意歸納總結(jié)，找出規(guī)律，舉一反三。而這恰恰主要通過(guò)回顧解題的教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中要十分重視解題的回顧，教師應(yīng)經(jīng)常與學(xué)生一起對(duì)解題的過(guò)程和方法進(jìn)行細(xì)致分析，對(duì)解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類(lèi)型問(wèn)題的解法進(jìn)行概括，以使學(xué)生真正提升自己。

學(xué)生的邏輯能力、思辨能力、歸納能力等不是一下就能提高的，需要教師不斷地引導(dǎo)鍛煉，除了上面所提及的幾種意識(shí)，還有其他方面，限于篇幅，不一一贅述。總之，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生自身特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生尋找最佳學(xué)習(xí)方法，學(xué)生才能更好地學(xué)好數(shù)學(xué)。

[1]魏仁洪．論中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新性思維及其培養(yǎng)[D]華中師范大學(xué)，2002．

[2]孔勝濤．在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊：教師版，2012．

[3]姚綱．高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要學(xué)會(huì)融會(huì)貫通[J]．試題與研究：新課程論壇，2013．

[4]潘文娟．?dāng)?shù)學(xué)解題與學(xué)生反思意識(shí)的培養(yǎng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊：教師版，2012．

（責(zé)編 田彩霞）