一道無(wú)理函數(shù)值域問(wèn)題的變式探究

邱明武

（江西省信豐縣第七中學(xué)）

函數(shù)值域的求法是高中函數(shù)教學(xué)中的重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)，其常用方法有：觀(guān)察法、反函數(shù)法、分離常數(shù)法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、單調(diào)性法、求導(dǎo)法、函數(shù)的有界性法、數(shù)形結(jié)合法等等.這道題主要考查無(wú)理函數(shù)值域的求法，而無(wú)理函數(shù)值域的常用求法有：?jiǎn)握{(diào)性法、反函數(shù)法、配方法、換元法、求導(dǎo)法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造解析幾何模型法等。首先來(lái)探究一下本題的解決方法，如下：

解法1（單調(diào)性法）

解法2（反函數(shù)法）

這道題的兩種解法平時(shí)教學(xué)多次滲透，學(xué)生也知道求值域的一些基本方法，但就是用起來(lái)達(dá)不到應(yīng)用自如、熟能生巧、舉一反三的地步.觀(guān)察這道題的結(jié)構(gòu)，不難聯(lián)想到這道題的變式題又如何求解？下面就讓我們來(lái)探究一下這道題的變式求解吧.

評(píng)注 這道題雖含根式看似很復(fù)雜，但若分析其單調(diào)性來(lái)求值域就很簡(jiǎn)單了.因此對(duì)某些求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題，可以從函數(shù)的單調(diào)性角度來(lái)考慮.