用觀察法求二階微分方程的非零特解*

裴海杰，杜宛娟

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

用觀察法求二階微分方程的非零特解*

裴海杰，杜宛娟

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

運(yùn)用觀察法求解二階微分方程的非零特解.一方面對(duì)歐拉方程進(jìn)行推廣；另一方面對(duì)一些帶有特殊系數(shù)、結(jié)構(gòu)上具有某種對(duì)稱形式的二階微分方程在求取非零特解的問(wèn)題進(jìn)行了探討，得到了一些相關(guān)的結(jié)論.而這些方法將有助于我們對(duì)微分方程的求解.

二階微分方程；非零特解；特殊系數(shù)；觀察法

微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課，更是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要方向.而對(duì)微分方程的求解一直都是研究的熱點(diǎn).基于此，一系列新方法、新手段的產(chǎn)生正不斷豐富著微分方程的內(nèi)容.用觀察法求解微分方程的非零解便是其中的一個(gè)方面.文獻(xiàn)[1]對(duì)二階齊次線性微分方程的通解作了一定程度的探討.作者設(shè)出相應(yīng)的微分方程為f(x)y″+p(x)y′+q(x)y=0,主要針對(duì)f(x)+p(x)+q(x)=0,p(x)=-xq(x)以及p(x)=f(x)+q(x)，p(x)=0,可化為歐拉方程等五類情形進(jìn)行研究.而文獻(xiàn)[2]主要對(duì)歐拉方程推廣，并運(yùn)用特征方程的方法來(lái)求出非零特解，此外還給出了當(dāng)方程的變系數(shù)滿足某些關(guān)系時(shí)的非零特解.本文在此進(jìn)一步給出歐拉方程又一推廣下的非零特解，并對(duì)幾類帶有特殊系數(shù)的二階微分方程利用觀察法求解非零特解的問(wèn)題進(jìn)行探討.期待這些結(jié)論能夠?yàn)槲⒎址匠糖蠼鈳?lái)諸多便利.

1 主要結(jié)論

1.1Euler方程的推廣

二階Euler方程

x2y″+a1xy′+a2y=0

(I)

對(duì)二階Euler方程推廣，有

(1)(kx+b)2y″-m(kx+b)y′+nky=0，其中k≠0,n≠0，且m=n，則方程(I)有非零特解y=kx+b，結(jié)論顯然成立.

例1 (5x+2)2y″-100(5x+2)y′+500y=0. 解 (5x+2)2y″-100(5x+2)y′+100·5y=0.由(I)知道，方程有一個(gè)非零特解y=5x+2.

(2)f(x)y″+f′(x)y=0(f(x)=kx+b,k>0)，則方程(I)有非零特解y=lnf(x).結(jié)論易證.

例2 求方程(3x+2)y″+3y′=0的一個(gè)非零特解.

解 因?yàn)?3x+2)′=3，只需令f(x)=3x+2，則f′(x)=3滿足題設(shè)前提，所以該方程有一個(gè)非零特解y=ln(3x+2).

(3)如果

f(x)y″+p(x)y′-q(x)y=0

(Ⅱ)

例3 求方程3x2y″+(2x+3)y′-2y=0的一個(gè)非零特解.

(b)如果p(x)=0，且f(x)-q(x)=0,那么方程(Ⅱ)有非零特解y=ex.

例4 求方程(3x7+5x3+7)y″-(3x7+5x3+7)y=0的一個(gè)非零特解.

解 這里p(x)=0，且f(x)=q(x)=3x7+5x3+7滿足條件(b),故上述方程有非零特解y=ex.

1.2 含有正余切系數(shù)的二階微分方程

(1)形如或可變形為y″+y′(k2-1)tankx+y=0,(k≠1且k≠0)的方程有非零特解y=sinkx.

例5 求方程y″+(3tan2x)y′+y=0的一個(gè)非零特解.

解 令k=2，則(k2-1)tankx=3tan2x，由結(jié)論(1)得，該方程有非零特解y=sin2x.

(2)形如或可化為ky″-y′(k2-1)cotkx+ky=0,(k≠1且k≠0)的方程有非零特解y=coskx.

例6 求方程2y″-(3cot2x)y′+2y=0的一個(gè)非零特解.

解 令k=2，則(k2-1)cotkx=3cot2x，當(dāng)然其滿足(2)，所以該方程有非零特解y=cos2x.

(3)當(dāng)(1)與(2)中的k=1時(shí)，相應(yīng)方程等價(jià)于y″+y=0，容易知道它的兩個(gè)非零特解y1=sinx，y2=cosx,并且這兩個(gè)解是線性無(wú)關(guān)的,則方程的通解為y=c1sinx+c2cosx，其中c1,c2為任意常數(shù).

1.3 帶有正余弦系數(shù)的微分方程

(1)如果方程(I)有形如或者可化為y″+y′sinkx+k2coskx+ksin2kx=0,(k≠0)的形式，那么該方程有非零特解y=coskx.特別地，當(dāng)k=0時(shí)，上述方程等價(jià)于y″=0，方程的通解顯然為y=ax+b，其中a,b為任意實(shí)數(shù).

例7 求解方程y″+y′sin2x+4cos2x+2sin22x=0的一個(gè)非零特解.

解 令(I)中k=2，則有y″+y′sin2x+4cos2x+2sin22x=0，由條件(I)知，該方程有非零特解y=cos2x.

(2)如果方程(1)有形如或者可化為y″-y′coskx+k2sinkx+kcos2kx=0,(jk≠0)的方程有非零特解y=sinkx. 特別地，當(dāng)k=0時(shí)，上述方程等價(jià)于y″-y′=0，方程的通解顯然為y=c1ex+c2，其中c1,c2為任意實(shí)數(shù).

例8 求方程y″-y′cos2x+4sin2x+2cos22x=0的一個(gè)非零特解.

解 令(2)中k=2，則有y″-y′cos2x+4sin2x+2cos22x=0，由條件(2)知，該方程有非零特解y=sin2x.

1.4 某些在結(jié)構(gòu)上具有對(duì)稱性的微分方程[3]

(1)對(duì)于形如f(x)y″-yf″(x)+f(x)y′-yf′(x)=0的二階微分方程，其中f(x)≠0，它有一個(gè)非零特解y=f(x).

例9 求方程(4x3-3x)y″-24xy+(4x3-3x)y′-3(4x2-1)y=0的一個(gè)非零特解.

解 考察函數(shù)f(x)=4x3-3x，那么f′(x)=3(4x2-1)，f″(x)=24x,與原方程系數(shù)相比較，恰好滿足條件(1)，故原方程有非零特解y=4x3-3x.

2 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)二階歐拉方程作了進(jìn)一步推廣,并得到相應(yīng)的非零特解.此外還研究了帶有正余切系數(shù)、正余弦系數(shù)、在結(jié)構(gòu)上具有對(duì)稱性的微分方程非零解問(wèn)題.而許多微分方程的非零特解問(wèn)題至今仍有待解決，期待更多人的加入，能得到更好的結(jié)果.

[1]李中平.用觀察法求二階變系數(shù)齊線性方程的非零特解[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(3):24-25.

[2]張清芳,庫(kù)在強(qiáng).用觀察法求二階變系數(shù)齊線性方程的非零特解[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005,8(3):47-48.

[3]王高雄,等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.08.011

2015-04-20

四川省教育廳自然科學(xué)項(xiàng)目“生物種群模型中的拋物方程解的行為分析”(14ZB0143)；西華師范大學(xué)大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目“非局部擴(kuò)散在生物中的應(yīng)用”(42714081)

裴海杰,四川廣安人,西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院在讀碩士研究生.

杜宛娟,女,四川宣漢人,副教授.

O

A

1008-7974(2015)04-0026-02