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    2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題創(chuàng)新特色探析

    2015-07-05 12:11:12田祥高
    中國(guó)考試 2015年2期
    關(guān)鍵詞:理科本題命題

    田祥高

    綜觀2014年全國(guó)37套高考數(shù)學(xué)試卷可知,盡管每份試卷80%左右的試題是考查基本知識(shí)、基本技能和基本方法的常規(guī)題型,剩下的為數(shù)不多的試題才是創(chuàng)新試題,但是,由于創(chuàng)新試題具有立意新穎、背景深刻、情境生動(dòng)、設(shè)問(wèn)巧妙等特點(diǎn),富含思維價(jià)值,符合課程改革理念和發(fā)展方向,是檢測(cè)考生個(gè)體理性思維廣度、深度和學(xué)習(xí)潛能的良好載體,它既有利于高校創(chuàng)新人才的選拔,更有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重提高學(xué)生的思維能力、發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)、課程改革的有效實(shí)施和深入推進(jìn),創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

    1 新定義

    新定義問(wèn)題通過(guò)給出新定義,讓考生在全新的情景下分析解決問(wèn)題,既體現(xiàn)了試題的公平性,更有利于考查考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能,以及創(chuàng)新意識(shí)和分析解決問(wèn)題的綜合能力,從而有效地選拔出人才。這類試題按其難易程度可以分為以下幾類。

    1.1 簡(jiǎn)單的新定義問(wèn)題

    【例1】廣東卷文科第10題:對(duì)任意復(fù)數(shù) ω1,ω2,定義 ω1*ω2=ω1,其中是 ω2的共軛復(fù)數(shù),對(duì)任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3,有如下四個(gè)命題:

    則真命題的個(gè)數(shù)是

    A.1 B.2 C.3 D.4

    解決這類簡(jiǎn)單的新定義問(wèn)題的基本方法是“化新為舊”,也就是將新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊知,利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)分析解決問(wèn)題。如本例,只需依據(jù)新定義將它轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算,對(duì)四個(gè)命題一一驗(yàn)證即知①②正確,故選B。

    1.2 需要轉(zhuǎn)化的新定義問(wèn)題

    【例2】山東卷理科第15題:已知函數(shù) y=f(x)(x∈R)。對(duì)函數(shù) y=g(x)(x∈I),定義 g(x)關(guān)于 f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對(duì)任意x∈I,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱。若h(x)是g(x)=關(guān)于 f(x)=3x+b的“對(duì)稱函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是___ _。

    山東卷文科第9題:對(duì)于函數(shù) f(x),若存在常數(shù)a≠0,使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有 f(x)=f(2a-x),則稱 f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù),下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是

    1.3 需要探究的新定義問(wèn)題

    【例3】安徽卷文科第14題:(i)若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件:直線l在點(diǎn)P(x0,y0)處與曲線 C相切;(ii)曲線C在P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C。下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號(hào))

    ①直線l:y=0在點(diǎn)P(0 ,0)處“切過(guò)”曲線C:y=x2

    ②直線l:x=-1在點(diǎn)P(- 1,0)處“切過(guò)”曲線C:y=(x+1)2

    ③直線l:y=x在點(diǎn)P(0 ,0)處“切過(guò)”曲線C:y=sinx

    由新定義知,兩點(diǎn)P1P2間的“L-距離”實(shí)際上是折線P1PP2長(zhǎng)(如圖1所示)。于是:當(dāng)點(diǎn)P在線段F1F2的正上方(下方)時(shí),P到F1,F2的“L-距離”為定值(當(dāng)

    ④直線l:y=x在點(diǎn)P(0 ,0)處“切過(guò)”曲線C:y=tanx

    ⑤直線l:y=x-1在點(diǎn)P(1 , 0)處“切過(guò)”曲線C:y=lnx

    本題是一道暴露目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的新定義題,是命題專家對(duì)中學(xué)“切線”教學(xué)或理解中出現(xiàn)的一些問(wèn)題而精心設(shè)計(jì)的一道好題!通過(guò)定義“切過(guò)”,讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)理解定義,了解其幾何意義,較全面地通過(guò)圖形特征考查了高中階段一些重要而基礎(chǔ)的函數(shù)知識(shí)。本題若直接求解(即先求切線方程,再驗(yàn)證是否在直線兩側(cè)),則其計(jì)算量相當(dāng)大,而勾畫其函數(shù)圖像,觀察其圖像即可得到正確答案為①③④。[1]

    【例4】福建卷文科第12題:在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的“L-距離”定義為則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1,F2的“L-距離”之和等于定值(大于的點(diǎn)的軌跡可以是( )。P在與F1F2平行線段上時(shí))(如圖2所示);當(dāng)點(diǎn)P在線段F1F2的外側(cè)(如圖3所示)時(shí),P到F1,F2的“L-距離”和為為定值,與上面的定值相等。故選A。

    圖1

    圖2

    圖3

    由此可見(jiàn),解決這類需要探究的新定義問(wèn)題關(guān)鍵在于:在準(zhǔn)確理解新定義的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行探究,若探究的難度過(guò)大,則應(yīng)按難易程度將問(wèn)題肢解成幾個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行探究(如本例)。

    2 新情景

    這類創(chuàng)新試題以新穎的情景為背景,考查考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能以及分析解決問(wèn)題的綜合能力。按不同情景為載體,又可以分為以下幾類。

    2.1 以數(shù)學(xué)史料為背景

    【例5】湖北卷理科第8題(文科第10題):《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也。又以高乘之,三十六成一。該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3。那么,近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為 。

    本題以數(shù)學(xué)史為背景,凸顯了湖北的地方傳統(tǒng)文化,考查了圓錐體積公式,更考查合情推理能力。解決這類以數(shù)學(xué)史為背景的試題,不要被描述數(shù)學(xué)史的一大段文字所嚇倒,而應(yīng)靜下心來(lái),事實(shí)上這類試題相當(dāng)簡(jiǎn)單,只要仔細(xì)審題,從中尋找與數(shù)學(xué)有關(guān)的信息,就能找到解決問(wèn)題的突破口,問(wèn)題就能輕松解決。

    【例6】湖北卷理科第13題:設(shè)a是一個(gè)各位數(shù)字都不是0且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。將組成a的3個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I(a),按從大到小排成的三位數(shù)記為D(a)(例如a=815,則 I(a)=158,D(a)=851)。閱讀如圖4所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,任意輸入一個(gè)a,輸出的結(jié)果b= _____。

    圖4

    本題是以數(shù)學(xué)史中的“自復(fù)制數(shù)”為背景的條件開(kāi)放的創(chuàng)新試題。只要任取一個(gè)三位數(shù)a,依題意依次計(jì)算,最多不超過(guò)6次即可得到答案。如取a=815,則b=851-158=693,則b=963-369=594,則b=954-495=495,則 b=954-495=495=a,故 答 案 為495。本題還有進(jìn)一步探究的價(jià)值,如對(duì)于一般的三位數(shù)a最多需要經(jīng)過(guò)多少次計(jì)算能得到答案,最少呢?對(duì)于二位數(shù)、四位數(shù)、……有無(wú)這樣的“自復(fù)制數(shù)”呢?等等。解決這類以隱性的數(shù)學(xué)史為背景的試題,只要認(rèn)真審題,依據(jù)題意分析解決問(wèn)題即可;解決這類條件開(kāi)放的填空題,注意到填空題結(jié)論的唯一性,只要任取其中一個(gè)或兩個(gè)特例試試,即可“途殊歸一”。

    2.2 以實(shí)際問(wèn)題為背景

    【例7】四川卷理科第17題:一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需要擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè),要么不出現(xiàn)音樂(lè);每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分,出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分,沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(獲得-200分)。設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立。

    (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列;

    (2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少?

    (3)玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了。請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因。

    本題以一款擊鼓游戲?yàn)楸尘霸O(shè)置問(wèn)題情境,考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí),特別是第(Ⅲ)題要求運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析并說(shuō)明若干盤游戲后積分減少的原因,引導(dǎo)考生用數(shù)學(xué)的眼光審視游戲過(guò)程,通過(guò)概率和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,對(duì)游戲及其規(guī)則進(jìn)行理性分析,真切體會(huì)“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”的統(tǒng)計(jì)思想方法。解決這類以實(shí)際問(wèn)題為背景的創(chuàng)新試題,應(yīng)認(rèn)真理解題意,聯(lián)想數(shù)學(xué)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí),并靈活地運(yùn)用它分析解決問(wèn)題。

    2.3 以邏輯推理為背景

    【例8】全國(guó)卷Ⅰ理科第14題:甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)B城市;乙說(shuō):我沒(méi)去過(guò)C城市;丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一個(gè)城市。由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)___。

    本題是以邏輯推理為背景的創(chuàng)新試題,“沒(méi)有公式,沒(méi)有原理,沒(méi)有運(yùn)算,只考查推理能力”考試中心數(shù)學(xué)命題專家說(shuō),因此命制以邏輯推理為背景的創(chuàng)新試題是高考的趨勢(shì)。解決這類試題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意,從中尋找解決問(wèn)題的突破口。本例中,由丙知,乙至少到過(guò)一個(gè)城市,由甲知,甲到過(guò)A、C,而乙沒(méi)有到過(guò)C,且乙與甲到過(guò)同一城市,故乙只到過(guò)A城市。再如下面的變式題,解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解“A比B成績(jī)好”與“沒(méi)有一人比另一個(gè)成績(jī)好”的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系。

    【例9】北京卷理科第8題:有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科,成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種。若A同學(xué)每科成績(jī)不低于B同學(xué),且至少有一科成績(jī)比-1高,則稱A同學(xué)比B同學(xué)成績(jī)好。”現(xiàn)有若干同學(xué),他們之間沒(méi)有一個(gè)人比另一個(gè)成績(jī)好,且沒(méi)有任意兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣,數(shù)學(xué)成績(jī)也一樣的。問(wèn)滿足條件的最多有多少學(xué)生( )。[2]

    (A)2 (B)3

    (C)4 (D)5

    2.4 以非常規(guī)考點(diǎn)為背景

    【例10】上海卷理科第16題:如圖5所示,四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱,AB是一條側(cè)棱,Pi(i=1,2,...,8)是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn),則·i(i=1,2,...,8)的不同值的個(gè)數(shù)為( )

    (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

    本題以空間數(shù)量積為背景設(shè)置試題,開(kāi)放的條件使試題立意深刻,富含思維價(jià)值,能有效考查考生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。注意到向量在的投影為定值1,故·的不同值個(gè)數(shù)為1。突破這類以不??嫉睦潼c(diǎn)為背景的試題的有效備考是:其一,備考時(shí),必須“到邊到角”,不留死角。其二,要善于聯(lián)想,將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。如本例中,對(duì)于空間向量數(shù)量積,聯(lián)想平面向量數(shù)量積的幾何意義——投影,于是問(wèn)題輕松解決。其三,要善于轉(zhuǎn)化。如下面的變式題,對(duì)于這類空間幾何體內(nèi)的反射問(wèn)題,考生從未見(jiàn)過(guò),但冷靜分析后,不難分析發(fā)現(xiàn)它實(shí)質(zhì)是平面反射問(wèn)題,化生為熟,問(wèn)題自然而然地解決。

    【例11】江西卷理科第10題:如圖6所示,在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12,一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)b1,遇長(zhǎng)方體的面反射(反射服從光的反射原理),將i-1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為L(zhǎng)i(i=2,3,4),Li=AE將線段L1,L2,L3,L4豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是( )。

    2.5 背景材料十分簡(jiǎn)單

    【例12】福建卷理科第15題:若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四個(gè)關(guān)系:① a=1;② b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一個(gè)是正確的,則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是_________。

    本題背景材料相當(dāng)簡(jiǎn)單,僅涉及較少的數(shù)學(xué)知識(shí)(最原始的數(shù)學(xué)概念),卻對(duì)考生的能力提出了較高的要求。[3]有效的考查了考生的理性思維、邏輯推理、創(chuàng)新意識(shí)和探究能力。若a=1,則①②均正確,與有且只有一個(gè)正確矛盾,故a≠1;若b≠1,則(a,b,c,d)為 (3,2,1,4)或 (2,3,1,4);若 c=2,則(a,b,c,d)為 (3,1,2,4);若 d≠4,則 (a,b,c,d)為(2,1,4,3)或(3,1,4,2)或(4,1,3,2)。故(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是6。解決這類背景材料相當(dāng)簡(jiǎn)單,卻對(duì)邏輯推理能力要求較高的試題,關(guān)鍵在于平時(shí)對(duì)思維的縝密性和嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)。分類討論時(shí)要全面不遺漏,推理時(shí)應(yīng)注意它的嚴(yán)謹(jǐn)性。類似地可解決下面的變式1,而解決變式2的突破口仍在邏輯推理上,即可知有序數(shù)組的5個(gè)數(shù)中僅1個(gè)數(shù)為±1、或僅2個(gè)數(shù)為±1、或僅3個(gè)數(shù)為±1,由計(jì)數(shù)原理及組合知識(shí)可知其數(shù)組(x1,x2,x3,x4,x5)的不同組數(shù)為

    【例13】福建卷文科第16題:已知集合{a ,b,c}={0 ,1,2},且下列三個(gè)關(guān)系:①a≠2②b=2③c≠0有且只有一個(gè)正確,則100a+10b+c= __。

    A.60 B.90 C.120 D.130

    本題背景材料十分簡(jiǎn)單,僅有一個(gè)不等式,卻對(duì)考生能力提出較高的要求。本題的解決既可對(duì)不等式進(jìn)行分類討論,從而得到當(dāng)且僅當(dāng)0≤x≤1且0≤y≤1時(shí)不等式才成立,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。也可以由含絕對(duì)值不等式性質(zhì)入手,即由等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x與x-1異號(hào),即 x(x-1)≤0即0≤x≤1時(shí)成立。同理轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。由此可見(jiàn),解決這類條件十分簡(jiǎn)單的創(chuàng)新試題,關(guān)鍵在于思維的縝密與嚴(yán)謹(jǐn),還要善于聯(lián)想,運(yùn)用發(fā)散思維將問(wèn)題擴(kuò)展開(kāi)來(lái),再運(yùn)用收斂思維分析出問(wèn)題關(guān)鍵所在,然后靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題。

    3 新交匯

    A.(- ∞,-6 )∪(6 ,∞ ) B.(- ∞,-4 )∪(4 ,∞)

    C.(- ∞,-2 )∪(2 ,∞ ) D.(- ∞,-1) ∪(4 ,∞)本題融函數(shù)的極值、三角函數(shù)的圖像性質(zhì)與不等式的能成立問(wèn)題于一體,考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力,設(shè)計(jì)巧妙,背景新穎。注意到 f(x)=m2,解得 |m |>2。故選C。

    p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,

    p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,

    P3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,

    p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1。

    其中真命題是( )。

    A.p2,P3B.p1,p4

    C.p1,p2D.p1,P3

    本題把線性規(guī)劃問(wèn)題融入到全稱命題和特稱命題的真假判斷之中,讓人耳目一新,體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的重要思路。先勾畫出不等式組所表示的可行域,則?(x,y)∈D不等式恒成立?可行域是不等式所表示平面區(qū)域的子集,?(x,y)∈D不等式成立?可行域與不等式所表示平面區(qū)域的交集非空,于是 p1,p2為真命題。

    【例17】陜西卷理科第18題:在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn) A(1,1),B(2,3),C(3,2),點(diǎn)P(x,y)在ΔABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上,

    本題將線性規(guī)劃融于平面向量之中,開(kāi)交匯之先河。解決本題的關(guān)鍵在于有平面向量知識(shí)用x,y表示m,n,即=m+n-所以(x,y)=m(1,2)+n(2,1),即x=m+2n,y=2m+n。解得m-n=y-x。

    解決這類新交匯的創(chuàng)新試題的關(guān)鍵在于膽大心細(xì)。首先在心理上要相信自己,盡管試題新穎但肯定不難,相信一定能解決。其次要善于各個(gè)擊破,即涉及哪一部分內(nèi)容,就利用相關(guān)知識(shí)盡量對(duì)其條件和結(jié)論向前多推幾步,最終就能轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題。

    4 新解法

    【例18】(1)湖北卷理科第10題:已知函數(shù) f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng) x≥0時(shí),f(x)=( |x-a2|+|x-2a2|-3 a2)。若?x∈R,f(x-1)≤ f(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

    (2)湖南卷理科第16題:如圖7所示,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn) A(-1,0),B(0,3),C(3 0)動(dòng)點(diǎn)D滿足

    (3)遼寧卷理科第16題:對(duì)于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足 4a2-2ab+4b2-c=0 ,且使|2a+b|最大時(shí),

    (1)本題可用分類討論方法解決,但計(jì)算量偏大,若勾畫y=f(x)圖像如圖7所示,由圖7可知對(duì)于x∈R ,恒有 f(x-1)≤f(x),所以函數(shù) y=f(x-1)的圖像在函數(shù)y=f(x)圖像的下方,從而有1-3a2≥3a2,解得

    (2)本題若用坐標(biāo)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化代數(shù)問(wèn)題,則計(jì)算較大。如圖8所示,不妨設(shè)D點(diǎn)在以C為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng),故

    (3)對(duì)大部分考生來(lái)說(shuō),可能連題都看不懂。因?yàn)閺念}干上看,比較難發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目到底考的是什么知識(shí)點(diǎn)。從求最小值的表達(dá)式可以聯(lián)想到把三元問(wèn)題一元化,轉(zhuǎn)化的依據(jù)應(yīng)該是|2a+b|取得最大值時(shí)a,b滿足的條件,這樣可以根據(jù)已知條件將其轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題。解題關(guān)鍵是如何找到a,b滿足的條件,如果想不到把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題,則條件很難找到。將已知轉(zhuǎn)化為換元后的圓的(需要較高的恒等變形能力),即可轉(zhuǎn)化為直線系中的截距的絕對(duì)值最大問(wèn)題(相切),進(jìn)而可得到a,b的關(guān)系,最后可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)的最小值問(wèn)題。

    圖8

    解決這類解法全新(一般的“題海”中從未見(jiàn)過(guò))的試題,關(guān)鍵在于冷靜分析,有效轉(zhuǎn)化。如本例(1)利用數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得到有效轉(zhuǎn)化;本例(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Q到圓C上的點(diǎn)距離的最值問(wèn)題就十分簡(jiǎn)單;而本例(3)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題就能找到解題的有效突破口。

    5 新探究

    5.1 探究一般規(guī)律

    【例19】安徽卷理科第15題:已知兩個(gè)不相等的非零向量a,b,兩組向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成。記S=x1y1+x2`y2+x3`y3+x4y4+x5`y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值。則下列命題正確的是____(寫出所有正確命題的編號(hào))。①S有5個(gè)不同的值;②若a⊥b,則Smin與

    5.2 運(yùn)用合情推理探究

    【例20】湖北卷理科第14題:設(shè) f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且 f(x)>0。對(duì)任意 a>0,b>0,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a, f(a)),(b, -f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c, 0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù) f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b)。例如,當(dāng) f(x)=1 (x>0)時(shí),可得Mf(a,b)=,即M(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù)。f

    (Ⅰ)當(dāng) f(x)= __(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);

    (Ⅱ)當(dāng) f(x)= __(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)

    (以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)

    [1] 朱恒元,金建軍.接天蓮葉無(wú)窮碧 映日荷花別樣紅——2014年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)卷的命題特點(diǎn)和復(fù)習(xí)建議[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2014(8):2-10.

    [2] 戈峰,徐睿,徐潔.2014年高考新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)試題評(píng)析[J].新課程教學(xué)(電子版),2014(7):17-21.

    [3] 楊蒼洲,陳中峰.2014年高考“立體幾何”專題分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2014(8):76-85.

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