解題中分類思想方法的應(yīng)用

福建省龍巖初級中學(xué) 張麗萍

數(shù)學(xué)上的分類就是把一定的數(shù)學(xué)對象（全集），按某種標(biāo)準(zhǔn)將其元素分成不同的類（子集），每一元素屬于且只屬于其中的一類。任何一個數(shù)學(xué)對象，只要選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，一般都可以進(jìn)行分類的。把一個數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分類，研究這些類所構(gòu)成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，就能達(dá)到研究全集的目的，并歸納得到全集的性質(zhì)；或者對全集的一般性質(zhì)，進(jìn)一步研究它在子集上的具體表現(xiàn)和特殊的地方，從而獲得對一般性質(zhì)更具體更豐富的認(rèn)識，這就是數(shù)學(xué)上的分類思想方法。

分類思想方法在解題上的應(yīng)用主要有兩種情況，一種是通過分類把一般性的問題轉(zhuǎn)化為子集上的較特殊的問題，將抽象問題轉(zhuǎn)化為子集上的具體問題，從而達(dá)到分而治之，各個擊破。

例1：單位正方形周界上任意兩點之間連一曲線，如果將正方形分成面積相等的兩部分，則這條曲線的長度不小于1。

分析：這樣的問題著手似乎很難，但只要我們考慮正方形周界上兩點的位置情況，即對兩點的位置情況進(jìn)行分類，就不難找到證明的辦法。如圖一，單位正方形ABCD周界上任意兩點M、N的分布有且只有三種情況，如圖1。

（1）M、N在一組對邊（如AD、BC）上；

（2）M、N在同一邊（如AB）上；

（3）M、N在相鄰兩邊（如AD、AB）上。

對于（1），過N作NE∥AB,連結(jié)MN,則曲線MN≥MN≥EN=1。

對于（2），取AD、BC的中點E、F，連結(jié)EF，因為曲線將正方形分成面積相等的兩部分，則曲線與EF必相交，設(shè)P為其一個交點，作曲線PM關(guān)于EF的對稱曲線PM’，則M’∈DC，且曲線PM’與曲線PM相等，于是問題轉(zhuǎn)化為（1）。

對于（3），只要把（2）中的EF改為對角線BD，問題同樣可轉(zhuǎn)化為（1）。

綜合以上三種情況，命題即得證。

解：（略）

另一種應(yīng)用是有一些數(shù)學(xué)問題，給定的條件較寬或約束條件較少，在解題進(jìn)行到某一步后，不能再以統(tǒng)一的方法處理，必須在條件所給出的全集內(nèi)，正確地分成若干個子集，再分別在各個子集內(nèi)繼續(xù)進(jìn)行求解，直到使問題獲得完滿的解決，這也就是所謂的“分類討論”。如：

例2:分式方程有且僅有一個實根。求a的值。

分析：解分式方程的基本方法是去分母變?yōu)檎椒匠?，原方程化為ax2+2x+(a-2)=0 ①

方程①可能是一次方程或者二次方程，①的解可能是原方程的根，也可能是增根。由題設(shè)原方程有且僅有一個實根，這唯一的實根必是①的根，根據(jù)這一實根存在的情況可進(jìn)行如下的分類，而且這樣分類是不漏不重的。

（1）方程①是一元一次方程，它的根中有唯一一個是原方程的根。

（2）方程①是一元二次方程。

i）①有兩個相等的實根，它們是原方程的根（分式方程不計重根）。②有兩個不相等的實根，但一個是原方程的根，另一個是原方程的增根。

解：原方程去分母，整理得

ax2+2x+(a-2)=0 ①

1、當(dāng)a=0時，原方程為2x-2=0，有唯一根x=1，經(jīng)檢驗x=1是原方程根。

2、若a≠0，①是一元二次方程。

i）當(dāng)①有兩個相等的實數(shù)根時，則△=4-4a（a-2）=0，得

當(dāng)①的根為經(jīng)檢驗是原方程的根。

當(dāng)①的根為經(jīng)檢驗是原方程的根。

ii）若①有兩個不相等的實根，且一個是原方程的根，另一個是增根。

設(shè)x=0是方程①的根，它是原方程的增根，此時a=2，①的另一根為x=-1，經(jīng)檢驗是原方程的根。

又設(shè)x=2是方程①的根，它也是原方程的增根，此時①的另一個根為x=3，經(jīng)檢驗是原方程的根。

綜上可得，a可取的值為0，

數(shù)學(xué)教育正朝著解決現(xiàn)實問題，強化應(yīng)用的方向改革，影響問題的現(xiàn)實條件是多種多樣，錯綜復(fù)雜的，遠(yuǎn)非書本上的練習(xí)題可比。對這些條件進(jìn)行全面考慮，有條理地給予較完備的分類，往往是解決問題的前提。因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視分類思想方法，加強應(yīng)用練習(xí)，是有意義和完全必要的。