影響彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)不確定度的因素分析

馬書云

(解放軍理工大學(xué)，江蘇南京 211101)

螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)與伸縮彈簧的勁度系數(shù)類似，是彈簧的基本屬性之一。一般情況下，需要先通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量出其值，然后作為常數(shù)應(yīng)用在相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)中，而如何測(cè)量這一常數(shù)，以及影響測(cè)量的因素分析，目前研究甚少?；诖髮W(xué)物理實(shí)驗(yàn)中“扭擺法測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”實(shí)驗(yàn)，分析影響螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)測(cè)量的因素。有文獻(xiàn)對(duì)影響該實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的因素進(jìn)行了分析［1-3］，分別從不確定度理論分析、光電門放置位置的影響等因素分析，而對(duì)放置不同標(biāo)準(zhǔn)件，對(duì)測(cè)量造成的不確定度影響還未有較深入研究，從螺旋彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)測(cè)量的不確定度傳遞公式出發(fā)，找出彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)測(cè)量的不確定度與不同標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)量、尺寸及周期測(cè)量之間的關(guān)系，提供減小不確定度的基本途徑。

1 實(shí)驗(yàn)原理及方法

扭擺儀的核心部件是薄片狀螺旋彈簧，將彈簧扭轉(zhuǎn)視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為

其中，式中K為彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)。

在實(shí)驗(yàn)中，首先測(cè)出載物空?qǐng)A盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期T0，而后將標(biāo)準(zhǔn)件塑料圓柱、金屬圓筒放置在載物圓盤上(標(biāo)準(zhǔn)件金屬細(xì)桿直接與扭擺儀連接)，測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)周期為Ti，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值Ji，根據(jù)幾何形狀計(jì)算得到，由式(1)得

可以得到彈簧的扭轉(zhuǎn)常數(shù)

2 不確定度傳遞公式的推導(dǎo)

扭擺法測(cè)彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)K是一個(gè)間接測(cè)量量，間接測(cè)量量的不確定度的傳遞公式如下［4］:

塑料圓柱、金屬圓筒、金屬細(xì)桿作為標(biāo)準(zhǔn)件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值為J1、J2、J3，測(cè)得彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)分別為K1，K2，K3，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值和對(duì)應(yīng)扭轉(zhuǎn)常數(shù)分別為

可得到用塑料圓柱、金屬圓筒和金屬細(xì)桿這三種不同標(biāo)準(zhǔn)件測(cè)得的彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)的相對(duì)不確定度分別為

因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中使用同一周期測(cè)定儀測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)周期，所以將由轉(zhuǎn)動(dòng)周期引起的不確定度簡(jiǎn)化為

可以看到，以上(8)(9)(10)三式中根號(hào)下的第一、二、三項(xiàng)分別是由標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)量測(cè)量、尺寸測(cè)量和周期測(cè)量引起的不確定度項(xiàng)，每一項(xiàng)不但與測(cè)量?jī)x器的精度有關(guān)，還與標(biāo)準(zhǔn)件本身的質(zhì)量、長(zhǎng)度與直徑有關(guān)。

3 影響不確定度因素的實(shí)例分析

3．1 實(shí)驗(yàn)基本數(shù)據(jù)

本實(shí)驗(yàn)分別用塑料圓柱、金屬圓筒、金屬細(xì)桿作為標(biāo)準(zhǔn)件，用精度為0．1 g的電子天平測(cè)量它們的質(zhì)量，塑料圓柱直徑、金屬圓筒內(nèi)外徑用精度為0．02 mm的游標(biāo)卡尺測(cè)量，金屬細(xì)桿由毫米刻度尺(最小分度0．5 mm)測(cè)量，轉(zhuǎn)動(dòng)周期由精度為0．001 s的周期測(cè)定儀測(cè)量，表1給出了實(shí)驗(yàn)中的原始測(cè)量數(shù)據(jù)及由實(shí)驗(yàn)儀器造成的相應(yīng)不確定度。

表1 標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)量、尺寸、轉(zhuǎn)動(dòng)周期及相應(yīng)不確定度

3．2 影響因素分析

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和不確定度的傳遞公式，計(jì)算得到彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)的相對(duì)不確定度，如表2所示。總相對(duì)不確定度由標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)量、尺寸和周期三項(xiàng)組成，分別簡(jiǎn)稱為質(zhì)量項(xiàng)a，尺寸項(xiàng)b和周期項(xiàng)d三項(xiàng)，c是由標(biāo)準(zhǔn)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值引起的相對(duì)不確定度項(xiàng)，c=a+b。

表2 用三種標(biāo)準(zhǔn)件測(cè)量彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)的相對(duì)不確定度

從表2數(shù)據(jù)可看出，以三種不同剛體作為標(biāo)準(zhǔn)件，測(cè)得的彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)的相對(duì)不確定度中，金屬圓筒最小，為 0．17%，塑料圓柱最大，為0．28%，但相差不是太大。究其影響相對(duì)不確定度的因素可看出:

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值測(cè)量因素的影響。

影響相對(duì)不確定度的兩項(xiàng)為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值項(xiàng)c和周期項(xiàng)d，塑料圓柱與金屬圓筒都是放置在載物盤上測(cè)量，尺寸測(cè)量與質(zhì)量測(cè)量的方法及儀器相同，影響相對(duì)不確定度的主要因素是周期項(xiàng)d，而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值項(xiàng)c影響較小。而無(wú)需載物盤直接裝在扭擺儀上測(cè)量的金屬細(xì)桿，與前兩者相反，主要影響因素是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值項(xiàng)c。

因此，應(yīng)選擇標(biāo)準(zhǔn)件的長(zhǎng)度或直徑較大，有利于降低不確定度，而測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)件尺寸時(shí)，應(yīng)選用精度較高的儀器。

(2)周期測(cè)量因素的影響

塑料圓柱與金屬圓筒都是放置在載物盤上進(jìn)行測(cè)量的剛體，影響扭轉(zhuǎn)常數(shù)相對(duì)不確定度的主轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的周期測(cè)量。金屬圓筒與塑料圓柱的質(zhì)量差別不大(分別為712．5 g，716．5 g)，而金屬圓筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大，周期較長(zhǎng)，引起相對(duì)不確定度的周期項(xiàng) d較小，d1＞d2。

因此，從周期項(xiàng)考慮，應(yīng)選用精度較高的周期測(cè)定儀，在使用同種周期測(cè)定儀的情況下，應(yīng)選擇周期較大，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大的標(biāo)準(zhǔn)件，引起的相對(duì)不確定度較小。而金屬細(xì)桿的周期測(cè)量時(shí)，沒有塑料圓柱與金屬圓筒。即使設(shè)T3=T1(或T2)，載物盤的標(biāo)準(zhǔn)件的周期T1與空載物盤的周期T0不確定度越大，無(wú)載物盤的標(biāo)準(zhǔn)件(如金屬細(xì)桿)轉(zhuǎn)動(dòng)周期T3越大，引起的相對(duì)不確定度越小。本實(shí)驗(yàn)中，金屬細(xì)桿的周期項(xiàng)遠(yuǎn)小于塑料圓柱和金屬圓筒。

可見，使周期項(xiàng)d減小，同樣條件下，應(yīng)選擇不加載物盤的標(biāo)準(zhǔn)件，也更能減小測(cè)量的相對(duì)不確定度。

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)相對(duì)不確定度公式的推導(dǎo)，從理論上得到了影響彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)測(cè)量不確定度的因素有測(cè)量?jī)x器(包括周期測(cè)定儀、天平、游標(biāo)卡尺等)本身的精度、標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)量m、尺寸D或L(直徑或長(zhǎng)度)、轉(zhuǎn)動(dòng)周期T以及是否有載物盤等。實(shí)驗(yàn)中塑料圓柱、金屬圓筒及金屬細(xì)桿三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件中，金屬圓筒最小，為0．17%，塑料圓柱最大。

實(shí)例分析表明，有載物盤的標(biāo)準(zhǔn)件的不確定度主要由周期測(cè)量決定，而無(wú)載物盤的則主要由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值的測(cè)量決定;標(biāo)準(zhǔn)件的質(zhì)量和尺寸(長(zhǎng)度或直徑)越大，越有利于減小相對(duì)不確定度;周期較大，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大的標(biāo)準(zhǔn)件，引起的相對(duì)不確定度較小;無(wú)載物盤的標(biāo)準(zhǔn)件(如金屬細(xì)桿)轉(zhuǎn)動(dòng)周期越大，引起的相對(duì)不確定度越小;有載物盤的標(biāo)準(zhǔn)件的周期與空載物盤的周期相差較大時(shí)，彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)測(cè)量的相對(duì)不確定度較小。以上這些結(jié)論希望對(duì)實(shí)驗(yàn)中選擇合適的標(biāo)準(zhǔn)件、減小實(shí)驗(yàn)測(cè)量的不確定度有一定幫助。

［1］ 馬亞林，陳建新．扭擺法測(cè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定度分析［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2011，24(1):78-80．

［2］ 王麗香，張兵 扭擺法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀中彈簧扭轉(zhuǎn)常數(shù)的測(cè)定［C］．全國(guó)高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程教育學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集，2009，317-319．

［3］ 鄒紅玉，鄭紅平．扭擺法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中光電門擺放位置的探究［J］．物理實(shí)驗(yàn)，2009，29(1)．

［4］ 白忠，李延標(biāo)，林上金．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］．北京:高等教育出版社，2012:11-20．