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    狀態(tài)觀測(cè)器在直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用

    2015-07-02 00:15:38馬燕徐立軍
    山東工業(yè)技術(shù) 2015年12期

    馬燕++徐立軍

    摘 要:本文利用了MATLAB仿真平臺(tái)對(duì)設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行仿真,并將其應(yīng)用在直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)中,證明了控制器設(shè)計(jì)的正確性與有效性;最后在基于狀態(tài)觀測(cè)器的倒立擺閉環(huán)控制系統(tǒng)上施加了隨機(jī)擾動(dòng),通過(guò)SIMULINK仿真分析狀態(tài)觀測(cè)器的抗干擾能力。

    關(guān)鍵詞:直線一級(jí)倒立擺;狀態(tài)觀測(cè)器;抗擾性

    0 引言

    對(duì)于完全能控的線性定常系統(tǒng),可以通過(guò)線性狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn),并使系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下漸進(jìn)穩(wěn)定。但由于種種原因(外界干擾等),系統(tǒng)的狀態(tài)變量不能直接測(cè)量, Luenberger提出的狀態(tài)觀測(cè)器理論,解決了在確定性條件下受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題。當(dāng)系統(tǒng)完全可觀時(shí),狀態(tài)反饋成為一種現(xiàn)實(shí)的控制律,狀態(tài)觀測(cè)器的物理實(shí)現(xiàn)成為可能[2]。倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)、通過(guò)人為控制使其處于動(dòng)態(tài)平衡的一種擺,是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、自然不穩(wěn)定系統(tǒng),是重心在上、支點(diǎn)在下控制問(wèn)題的抽象,使其更具有研究?jī)r(jià)值和意義。

    1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性

    1.1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模型

    倒立擺系統(tǒng)是一種復(fù)雜的要求快速性很高、有很強(qiáng)的非線性系統(tǒng)。為了簡(jiǎn)化直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)分析,在建立實(shí)際數(shù)學(xué)模型過(guò)程中,基于以下假設(shè):

    (1)忽略空氣阻力;(2)將系統(tǒng)抽象成小車(chē)和均質(zhì)剛性桿組成的系統(tǒng);(3)忽略擺桿與支點(diǎn)之間等的各種次要摩擦阻力;(4)皮帶輪與傳送帶之間無(wú)滑動(dòng),傳送帶無(wú)伸長(zhǎng)現(xiàn)象。

    通過(guò)簡(jiǎn)化倒立擺模型,可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為:

    其中,x—表示小車(chē)的位置;—表示小車(chē)的位移;—表示擺桿與垂直方向的夾角;—表示小車(chē)的角速度。

    假定系統(tǒng)物理參數(shù)設(shè)計(jì)如下表所示。

    將其在Matlab/Simulink里面搭建仿真模型[2],如圖1所示,仿真結(jié)果如圖2所示。

    由SIMULINK仿真結(jié)果可以看出,直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。

    1.2 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的能控能觀性

    在MATLAB環(huán)境中,編寫(xiě)如下輸入程序:

    A=[0 1 0 0;0 -0.0914849 0.689655 0;0 0 0 1;0 -0.234577 26.8966 0]

    B=[0;0.914849;0;2.34577]

    C=[1 0 0 0;0 0 1 0]

    M=ctrb(A,B)

    N=obsv(A,C)

    p=rank(M)

    q=rank(N)

    [n,m]=size(A);

    if p==n

    disp(‘系統(tǒng)是能控的)

    else disp(‘系統(tǒng)是不能控的)

    end

    if q==m

    disp(‘系統(tǒng)是能觀的)

    else disp(‘系統(tǒng)是不能觀的)

    end

    運(yùn)行結(jié)果如下:

    p=4

    q =4

    系統(tǒng)是能控的

    系統(tǒng)是能觀的

    綜上所述,得出這樣一個(gè)結(jié)論:直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的但能控能觀的系統(tǒng)。

    2 狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

    2.1 全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

    狀態(tài)反饋能任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn),有效地改善系統(tǒng)的性能。要利用狀態(tài)反饋,必須要得到系統(tǒng)內(nèi)部的各個(gè)狀態(tài)變量x(t),可是系統(tǒng)的狀態(tài)變量一般是難以獲取的,甚至無(wú)法測(cè)量,這個(gè)時(shí)候就需要設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)[1]。

    在SIMULINK環(huán)境中,搭建其模型并進(jìn)行仿真[3],仿真結(jié)果如圖3所示。

    由仿真結(jié)果可知,系統(tǒng)最終達(dá)到穩(wěn)態(tài),擺桿角度最終為零,即擺桿保持豎直向上不倒,小車(chē)最終也達(dá)到平衡位置。

    2.2 降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

    直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型是四階的,但rank(C)=2,即小車(chē)位移x和倒立擺的角度 直接由輸出傳感器測(cè)量,因而無(wú)需估計(jì),可以設(shè)計(jì)降維(二維)狀態(tài)觀測(cè)器。

    在Matlab中搭建降維觀測(cè)器的系統(tǒng)框圖,其仿真結(jié)果如圖4所示。

    從上圖仿真結(jié)果來(lái)看,倒立擺系統(tǒng)最終保持平衡。小車(chē)的位移和單擺的角度都達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能都得到了有效地改善,控制效果較好。

    3 狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性能分析

    3.1 全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性分析

    由于降維狀態(tài)觀測(cè)器中y通過(guò)增益陣直接傳遞到其輸出端,所以若y中包含干擾時(shí)它們將全部出現(xiàn)于x中;而在全維狀態(tài)觀測(cè)器中,y需要經(jīng)積分器濾波后才傳送到輸出端,從而x中由y包含的干擾所引起的影響已大為減少。因此,理論上分析可知全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性能要優(yōu)越于降維狀態(tài)觀測(cè)器。

    對(duì)倒立擺系統(tǒng)施加了隨機(jī)擾動(dòng)信號(hào)“Random Number”,即相當(dāng)于小車(chē)和擺桿受到了一個(gè)隨機(jī)的擾動(dòng)。

    給整個(gè)系統(tǒng)施加了一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)后,系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處產(chǎn)生了振蕩,變得有些不穩(wěn)定,不過(guò)由于控制器發(fā)生了良好的控制作用,擺桿和小車(chē)仍然保持在平衡點(diǎn)附近,振蕩的幅度較小,這充分說(shuō)明了全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性是比較及時(shí)的,抗擾性能比較好。

    3.2 降維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性分析

    在基于降維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)上,也同樣施加了一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)信號(hào),

    在基于降維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)上施加了隨機(jī)擾動(dòng)之后,系統(tǒng)失去了原先的平衡,并在平衡點(diǎn)處產(chǎn)生了振蕩,由于降維狀態(tài)觀測(cè)器的控制作用,擺桿和小車(chē)始終保持在平衡點(diǎn)的附近。但是與全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾動(dòng)性能相比較,振蕩比較劇烈,幅度明顯要大一些。這充分證明了全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性能要優(yōu)越于降維狀態(tài)觀測(cè)器。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    采用狀態(tài)空間的極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控制器,實(shí)現(xiàn)了對(duì)倒立擺系統(tǒng)的平衡控制,方案設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,容易實(shí)現(xiàn)。仿真結(jié)果也表明,系統(tǒng)的綜合性能優(yōu)良,不僅動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能良好,而且魯棒性也比較強(qiáng)。目前,一階倒立擺控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可由多種方法和理論來(lái)實(shí)現(xiàn)其系統(tǒng)的穩(wěn)定控制,如自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、模糊控制和智能控制等。可以嘗試采用不同的控制策略有效地改善基于狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)帶來(lái)的弊端,使得控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到所期望的要求。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 田佳,戰(zhàn)振忠.基于MATLAB平臺(tái)的現(xiàn)代控制理論研究[J].吉林工程技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010(09):33-35.

    [2] 黃忠霖.控制系統(tǒng)MATLAB計(jì)算及仿真[M].北京: 國(guó)防工業(yè)出版

    社,2001.

    [3] 李國(guó)勇,謝克朋,楊麗娟.計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)與CAD[M].第二版.電子工業(yè)出版社,2009.endprint

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