地球自轉(zhuǎn)對彈道導(dǎo)彈被動段落點(diǎn)的影響

蘇 浩

(江蘇自動化研究所，江蘇連云港 222006)

彈道導(dǎo)彈的被動段主要受3 個(gè)因素的影響:地球自轉(zhuǎn)、地球扁率、空氣阻力。在彈道導(dǎo)彈諸元準(zhǔn)備中，需分析這3個(gè)因素對被動段落點(diǎn)射程的影響及影響方式，以便采取相應(yīng)的方法來提高諸元準(zhǔn)備的速度和精度。對中、遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈，地球自轉(zhuǎn)是影響落點(diǎn)射程的最重要因素，第二位的是地球扁率，空氣阻力的影響一般僅有幾百米而已。溫羨嶠［1］、謝代華［2］在圓球地球模型上以橢圓彈道理論為基礎(chǔ)分析了地球自轉(zhuǎn)對彈道的影響，但這些分析存在著一定程度的不足，在較真實(shí)地球物理?xiàng)l件下分析探討這一問題具有更為現(xiàn)實(shí)的意義和參考價(jià)值。本文以正常地球橢球體地球模型為基礎(chǔ)，合理簡化被動段運(yùn)動微分方程，從動力學(xué)角度針對典型射擊情況分析探討地球自轉(zhuǎn)對被動段落點(diǎn)射程的影響。

1 被動段運(yùn)動微分方程及簡化

1.1 被動段運(yùn)動微分方程

彈道導(dǎo)彈的被動段運(yùn)動通常以質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)問題進(jìn)行研究，導(dǎo)彈在被動段受空氣阻力、地球引力、由地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的柯氏慣性力及牽連慣性力的作用，由質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)理論，發(fā)射坐標(biāo)系中的被動段動力學(xué)矢量方程為［3］

式(1)、式(2)組成被動段彈道運(yùn)動微分方程組，其為變系數(shù)非線性常微分方程組，當(dāng)給定初始參數(shù)，采用數(shù)值方法積分，便可求得被動段彈道參數(shù)。

1.2 運(yùn)動微分方程的簡化

彈道導(dǎo)彈的被動段由自由段和再入段兩部分組成，導(dǎo)彈在自由段的射程和飛行時(shí)間占全彈道的80% ～90% 以上［4］。在自由段，導(dǎo)彈在相當(dāng)稀薄的大氣中飛行，空氣阻力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他作用力，通常認(rèn)為導(dǎo)彈是在真空中飛行的，不考慮空氣阻力的影響;再入段就是導(dǎo)彈重新進(jìn)入大氣層直至落點(diǎn)的一段彈道，再入段的空氣阻力對導(dǎo)彈的飛行速度有較大影響，而對導(dǎo)彈的射程及飛行時(shí)間的影響較小。為了便于分析地球自轉(zhuǎn)因素對被動段落點(diǎn)射程的影響，同時(shí)又保證一定的計(jì)算精度，進(jìn)行如下假設(shè):

a)地球?yàn)檎５厍驒E球體，長半軸aE=6 378 140 m，扁率αE=1/298.257;

b)地球勻速自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)角速度Ω = 7. 292 115 ×10-5s-1;

c)忽略再入段空氣阻力的影響。

綜上幾點(diǎn)所述，發(fā)射坐標(biāo)系中被動段的標(biāo)量方程組為

2 主要參數(shù)的計(jì)算

2.1 柯氏加速度的計(jì)算

由理論力學(xué)，式(1)中導(dǎo)彈的柯氏加速度為

依據(jù)矢量外積運(yùn)算，柯氏加速度在發(fā)射坐標(biāo)系各軸上的分量為

式中:

Ωi(i=x，y，z)為地球自轉(zhuǎn)角速度在發(fā)射坐標(biāo)各軸上的分量;B0為發(fā)射點(diǎn)地理緯度;A0為射向。

2.2 牽連加速度的計(jì)算

由理論力學(xué)，式(1)中導(dǎo)彈的牽連加速度為

牽連加速度在發(fā)射坐標(biāo)系各軸上的分量為

式中:

R0i(i=x，y，z)為發(fā)射點(diǎn)地心矢徑在發(fā)射坐標(biāo)系各軸上的分量為導(dǎo)彈的地心矢徑。

2.3 落點(diǎn)緯度和經(jīng)度的計(jì)算

2.3.1 落點(diǎn)緯度的計(jì)算

落點(diǎn)的地心緯度的計(jì)算式為

式中:為導(dǎo)彈落點(diǎn)位置在發(fā)射坐標(biāo)系各軸上分量;rc為落點(diǎn)地心距。

地心緯度到地理緯度的轉(zhuǎn)換公式為［5］

2.3.2 落點(diǎn)經(jīng)度的計(jì)算

發(fā)射點(diǎn)與落點(diǎn)之間的經(jīng)度差為

因此落點(diǎn)經(jīng)度為

2.4 射程偏差和橫向偏差的計(jì)算

在地球自轉(zhuǎn)因素的作用下，導(dǎo)彈的落點(diǎn)將產(chǎn)生偏差(圖1)，C1為地球自轉(zhuǎn)因素作用下導(dǎo)彈落點(diǎn)，C2為忽略地球自轉(zhuǎn)因素導(dǎo)彈落點(diǎn)。C2在射擊平面OC1OE內(nèi)的投影點(diǎn)為C'，C'與落點(diǎn)C1之間的距離ΔL 為射程偏差，C2與C'之間的距離ΔH 為橫向偏差［3］。

圖1 落點(diǎn)偏差示意圖

落點(diǎn)C1、C2的射程角為β1、β2，相對發(fā)射點(diǎn)的球面方位角為ψ1、ψ2，由球面三角形公式，可得:

式中:φ0、φ1、φ2分別為發(fā)射點(diǎn)、落點(diǎn)C1、落點(diǎn)C2的地心緯度;λ0、λC1、λC2分別為發(fā)射點(diǎn)、落點(diǎn)C1、落點(diǎn)C2的經(jīng)度。

射程偏差ΔL 的計(jì)算公式為

設(shè)ΔH 對應(yīng)的地心角為ζ，則橫向偏差為

由球面三角形正弦定理

則有

將式(10)的相關(guān)計(jì)算式代入即可求得ζ。

為計(jì)算出更精確的ΔL、ΔH，可用C'處的地心半徑代替地球平均半徑。

3 地球自轉(zhuǎn)對被動段落點(diǎn)射程的影響分析

地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生柯氏加速度和牽連加速度，使得導(dǎo)彈在被動段飛行中的受力發(fā)生改變，從而使得導(dǎo)彈的落點(diǎn)相對于地球靜止時(shí)產(chǎn)生偏差。由式(3)可知，柯氏加速度的大小和方向由2決定，當(dāng)主動段終點(diǎn)參數(shù)所決定的射擊平面與赤道平面重合時(shí)，則柯氏加速度在赤道平面內(nèi)，使得彈道參數(shù)發(fā)生變化，造成射程偏差，但不會造成橫向偏差。除上述情況外，柯氏加速度作用的結(jié)果既會產(chǎn)生射程偏差也會產(chǎn)生橫向偏差，計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

表1 柯氏加速度對落點(diǎn)射程的影響

表2 牽連加速度對落點(diǎn)射程的影響

計(jì)算結(jié)果表明，在地球自轉(zhuǎn)因素的作用下，當(dāng)導(dǎo)彈向東射擊時(shí)，射程將增加，向西射擊時(shí)，射程將減小。下面以導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位于赤道，主動段彈道終點(diǎn)參數(shù)所決定的射擊平面與赤道平面重合這種典型的射擊情況展開分析。

3.1 柯氏加速度對落點(diǎn)射程的影響

導(dǎo)彈向東射擊，B0=0°，A0=90°，由式(5)、式(6)可得

將式(11)代入式(4)，有

導(dǎo)彈向東射擊時(shí)，速度分量Vy在被動段開始飛行不長的一段時(shí)間內(nèi)由正值減小到零，此后Vy為負(fù)值且絕對值不斷增大，由式(12)第一式可知，柯氏加速度分量在被動段開始的一段時(shí)間內(nèi)為負(fù)值逐步到零，此后為正值，且不斷增大;速度分量Vx在被動段飛行的絕大部分時(shí)間內(nèi)為正值，只有在落點(diǎn)前一段不長的時(shí)間內(nèi)才有可能為負(fù)值(射程較大時(shí)才會出現(xiàn)負(fù)值的情況)，由式(12)第二式，柯氏加速度分量被動段飛行的絕大部分時(shí)間內(nèi)為正值，只有在落地前一段不長的時(shí)間內(nèi)才有可能為負(fù)值。從導(dǎo)彈整個(gè)被動段的飛行來看，導(dǎo)彈向東射擊時(shí)，柯氏加速度總作用的結(jié)果將使得彈道高度提高、射程增加，仿真計(jì)算結(jié)果見表1，圖2 給出了導(dǎo)彈向東射擊，在Ω=0 射程約為7 000 km 時(shí)隨飛行時(shí)間的變化曲線。

導(dǎo)彈向西射擊，B0=0°，A0=270°，由式(5)、式(6)可得

將式(13)代入式(4)，有

圖2 隨飛行時(shí)間變化曲線

導(dǎo)彈向西射擊時(shí)，速度分量Vy在被動段開始飛行不長的一段時(shí)間內(nèi)由正值減小到零，此后Vy為負(fù)值且絕對值不斷增大，由式(14)第一式可知在被動段開始的一段時(shí)間內(nèi)為正值逐步到零，此后為負(fù)值且絕對值不斷增大;速度分量Vx在被動段飛行的絕大部分時(shí)間內(nèi)為正值，只有在落地前一段不長的時(shí)間內(nèi)才有可能為負(fù)值，由式(14)第二式，柯氏加速度分量在被動段飛行的絕大部分時(shí)間內(nèi)為負(fù)值，只有在落點(diǎn)前的一段時(shí)間內(nèi)才有可能為正值。從整個(gè)被動段的飛行來看，導(dǎo)彈向西射擊時(shí)，柯氏加速度總作用的結(jié)果將降低彈道高度、減小射程，仿真計(jì)算結(jié)果見表1，圖3 給出了導(dǎo)彈向西射擊，在Ω=0 射程約為7 000 km 時(shí)，隨飛行時(shí)間的變化曲線。

3.2 牽連加速度對落點(diǎn)射程的影響

由式(6)、式(9)可知，無論導(dǎo)彈向東射擊，還是向西射擊，均有

將式(19)代入式(8)，有

圖3 隨飛行時(shí)間的變化曲線

對于中、遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈，在被動段飛行的整個(gè)階段R0x+x、R0y+y 均為正值，由式(16)可知在被動段飛行的整個(gè)階段為正值，因此，牽連加速度的作用將使得彈道高度提高，射程增加，仿真計(jì)算結(jié)果見表2，圖4 為導(dǎo)彈向東射擊，在Ω=0 射程約為7 000 km 時(shí)隨飛行時(shí)間的變化曲線，圖5 為導(dǎo)彈向西射擊，在Ω =0 射程約為7 000 km 時(shí)，隨飛行時(shí)間的變化曲線。

圖4 隨飛行時(shí)間的變化曲線

3.3 柯氏加速度與牽連加速度的綜合作用

圖5 隨飛行時(shí)間的變化曲線

圖6 隨飛行時(shí)間的變化曲線

圖7 隨飛行時(shí)間的變化曲線

4 結(jié)束語

［1］溫羨嶠，高雁翎.地球旋轉(zhuǎn)對彈道性能影響分析［J］.現(xiàn)代防御技術(shù)，2006，34(1):11-15，36.

［2］謝代華.地球自轉(zhuǎn)對彈道導(dǎo)彈軌道和落點(diǎn)影響分析［J］.航空兵器，2006(1):18-21.

［3］張毅.彈道導(dǎo)彈彈道學(xué)［M］.長沙:國防科技大學(xué)出版社，1998.

［4］賈沛然.遠(yuǎn)程火箭彈道學(xué)［M］.長沙:國防科技大學(xué)出版社，1993.

［5］肖業(yè)倫.航空航天器運(yùn)動的建模—飛行動力學(xué)的理論基礎(chǔ)［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2003.