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    長桿彈侵徹流體動(dòng)力學(xué)模型的精確解及其分析

    2015-07-01 07:58:20高光發(fā)
    兵器裝備工程學(xué)報(bào) 2015年10期
    關(guān)鍵詞:靶板彈體尾部

    高光發(fā)

    (1.安徽理工大學(xué)煤礦安全高效開采省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽淮南 232001;2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系,合肥 230027;3.新加坡國立大學(xué)沖擊工程實(shí)驗(yàn)室,新加坡 120425)

    基于長桿彈高速垂直侵徹半無限靶板的流體動(dòng)力學(xué)模型(下文簡稱HTP 模型[1]),Alekseevskii[2]與Tate[3]分別獨(dú)立的提出一種同時(shí)考慮彈靶流變強(qiáng)度的改進(jìn)的長桿彈侵徹/侵蝕模型,稱之為Alekseevskii-Tate 模型(下文簡稱為AT 模型),該模型同時(shí)也考慮到侵徹主要過程中侵徹行為的“不穩(wěn)定”特征。AT 模型自提出以來,一直是長桿彈侵徹研究中最重要應(yīng)用最廣泛的理論模型。由于考慮到實(shí)驗(yàn)中觀察到的侵徹過程中彈體尾部速度的“不穩(wěn)定”減速現(xiàn)象,AT 模型與實(shí)際情況更吻合,其計(jì)算結(jié)果理論上應(yīng)該更準(zhǔn)確。

    然而,正因?yàn)槠淇紤]的這種不穩(wěn)定現(xiàn)象,因而侵徹速度u和彈體尾部速度v 不再是常值了,同時(shí)彈體尾部速度u 與彈體剩余長度l 兩個(gè)變量相互耦合,其解耦算法在一般情況下比較復(fù)雜,如此以來,AT 模型很難像HTP 模型、AR 模型[6]甚至改進(jìn)的AR 模型一樣容易地計(jì)算出其精確的解析解。為了進(jìn)一步提高AT 模型的實(shí)用性,更大程度上推導(dǎo)其模型中參數(shù)的精確解是很有必要的。Walters 等[7-8]也就AT 模型的一般解進(jìn)行了深入的推導(dǎo)分析,其結(jié)果與本節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果類似,但其推導(dǎo)過程更為復(fù)雜,結(jié)果形式也較本推導(dǎo)復(fù)雜,同時(shí),由于其符號(hào)定義與AT 模型原文定義的不甚一致,因此可讀性稍差。

    本研究在分析AT 模型的基礎(chǔ)上,對(duì)其推導(dǎo)過程中存在不足之處進(jìn)行修改完善。在此基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解和一下特殊情況下的精確解析解,并在此基礎(chǔ)上研究彈靶流變強(qiáng)度比、彈靶材料密度比、彈體瞬時(shí)速度等因素與彈體瞬時(shí)侵徹深度、彈體最大侵徹深度等因素之間的內(nèi)在聯(lián)系及其影響規(guī)律。

    1 AT 模型原文推導(dǎo)過程中的一點(diǎn)問題的修正

    以Tate 模型為例,在原文[3]中,根據(jù)傳統(tǒng)HTP 模型基礎(chǔ)上考慮彈靶材料的強(qiáng)度,得到

    根據(jù)原文“Capitals are used to denote the initial values of variables”[3]的意思,并結(jié)合原文推導(dǎo)過程,筆者認(rèn)為應(yīng)該寫為下列形式更為合適

    式中:V、U 分別表示彈體的入射速度和初始侵徹速度;u、v 分別表示彈體的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)侵徹速度; ρp和ρt分別表示長桿彈和靶板材料的密度;Rp和Rt分別表示彈體和靶板的流變強(qiáng)度。

    考慮到彈靶材料密度比為1 時(shí)的情況,侵徹速度與彈體的入射速度的關(guān)系式(2)可寫為

    考慮材料密度比為1 時(shí)的情況,可有

    式中l(wèi) 和L 分別表示彈體的瞬時(shí)長度和初始長度。

    2 幾種特殊情況下AT 模型中相關(guān)參數(shù)的解

    在推導(dǎo)AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解之前,先討論幾種特殊情況下相應(yīng)的解,在這幾類特殊情況下,AT 模型能夠做一定的簡化,因此,求出其解析解變得較為簡單。

    1)ρp=ρt=ρ0且Rp=Rt=σ

    此時(shí),由式(3)、式(4)可有

    可定義

    分別為彈體的相對(duì)剩余長度,歸一化瞬時(shí)侵徹深度,彈體的相對(duì)入射動(dòng)能,彈體尾部的相對(duì)瞬時(shí)速度。

    式(5)可寫為

    假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa[3],彈靶的密度為7.80 g/cm3,彈體的入射速度為3 000 m/s,此時(shí)彈體的歸一化瞬時(shí)侵徹深度與彈體尾部的相對(duì)瞬時(shí)速度之間的關(guān)系如圖1 所示。

    圖1 侵徹過程中彈體相對(duì)速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系(I)

    從圖1 可以看出,彈體在侵徹主要過程中尾部的速度并不穩(wěn)定,而是呈遞減的趨勢,而且該遞減速度逐漸加速,直到彈體的動(dòng)能耗盡,彈體的侵徹行為停止。

    當(dāng)v=0 時(shí),根據(jù)式(5)可知彈體侵徹速度u 也為0,亦即是說彈體侵徹過程終止,此時(shí)彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

    從式(8)可知,彈體的最終侵徹深度與彈體的初始長度L、初始動(dòng)能ρ0V2呈正比,與彈體和靶板的流變強(qiáng)度呈反比σ。

    假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa,彈靶的密度為7.80 g/cm3,則根據(jù)式(8)可以得到歸一化最終侵徹深度與彈體入射速度之間的關(guān)系

    從式(9)可以看出,隨著彈體入射速度的增加,其歸一化侵徹深度逐漸增加直到到達(dá)某一值(接近HTP 理論解)時(shí)為止;同時(shí)也可以看出,當(dāng)入射速度較小時(shí)(入射速度低于150 m/s 左右),侵徹深度隨入射速度的增加緩慢增加,而當(dāng)入射速度大于此值時(shí),彈體的歸一化侵徹深度與入射速度近似呈線性正比關(guān)系。

    2)ρp≠ρt但Rp=Rt=σ

    此時(shí),可有

    利用式(6)的定義,可簡化為

    同上假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa,彈體材料的密度為7.80 g/cm3,彈體的入射速度為3 000 m/s,可以得到不同彈靶密度比α 時(shí),彈體的歸一化瞬時(shí)侵徹深度與彈體尾部的相對(duì)瞬時(shí)速度之間的關(guān)系,如圖2 所示。

    圖2 不同彈靶密度比時(shí)侵徹過程中彈體相對(duì)速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系

    結(jié)合圖1,從圖2 中可以看出,首先,隨著彈靶材料密度比的增加,彈體的最大侵徹深度逐漸增大;其次,雖然在主要侵徹過程中,彈體尾部速度都是逐漸減小,但隨著彈靶材料密度比的增加,這種減小的趨勢逐漸減緩。

    當(dāng)v=0 時(shí),根據(jù)式(10)可知彈體侵徹速度u 也為0,亦即是說彈體侵徹過程終止,此時(shí)彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

    同上假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa,彈體材料的密度為7.80 g/cm3,可以得到不同彈靶密度比α 時(shí),彈體的歸一化最終侵徹深度P/L 與彈體入射速度V 之間的關(guān)系。從式中可以看出,雖然不同彈靶材料密度比時(shí),彈體的最大歸一化侵徹深度與彈體入射速度之間的關(guān)系相似,但是在速度足夠大時(shí)(本情況中速度大于1 500 m/s 左右),決定彈體的最大歸一化侵徹深度的還是彈靶材料密度比。

    3)ρp=ρt=ρ0但Rp≠Rt

    此時(shí),式(3)可簡化為

    從式(13)可以看出,當(dāng)彈體的流變強(qiáng)度Rp大于靶板的流變強(qiáng)度 Rt時(shí),此時(shí)當(dāng)彈體尾部速度減小到 v =時(shí)u=v,即侵徹過程中彈體呈剛體性質(zhì),也就是說彈體從始至終不存在變形現(xiàn)象,此時(shí)彈體的侵徹深度還包括剛體侵徹的這一階段,此類侵徹行為不屬于純流體動(dòng)力學(xué)的研究范圍,在此不做討論。

    當(dāng)Rt-Rp>0 時(shí),由式(13)可知,彈體尾部速度減小到時(shí),彈體侵徹行為停止,此時(shí)即使彈體速度大于0,但彈體的銷蝕速度等于彈體的尾部速度。同時(shí),該式也說明,只有彈體入射速度大于該值時(shí),彈體才能對(duì)靶板進(jìn)行有效的侵徹。

    此時(shí),可有

    當(dāng)u=0 時(shí),即是說彈體侵徹過程終止,此時(shí)彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

    式(14)與式(15)的即彈靶材料密度相同時(shí)彈體的瞬時(shí)侵徹深度和最大侵徹深度的一般解。特別地,當(dāng)Rt/Rp=2n +1(n 為任意正整數(shù),包括0)時(shí),有

    式(16)和式(17)通過簡單的積分求解能夠到達(dá)具體的解析解。

    同上假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa,彈靶材料的密度為7. 80 g/cm3,彈體的入射速度為3 000 m/s,根據(jù)式(16),可以得到不同靶彈流變強(qiáng)度比時(shí),彈體尾部的相對(duì)速度與歸一化瞬時(shí)侵徹深度一直的關(guān)系,如圖3 所示。

    圖3 不同靶彈流變強(qiáng)度比時(shí)侵徹過程中彈體相對(duì)速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系

    從圖3 可以看出,隨著靶板和彈體流變強(qiáng)度比逐漸增大,在侵徹“準(zhǔn)穩(wěn)定”過程中的前期彈體尾部速度變化不明顯,但在后期,其速度的減少趨勢逐漸增大,而且,其最終侵徹深度也逐漸減小。

    同上假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa,彈靶材料的密度為7.80 g/cm3,根據(jù)式(17),可以得到不同靶彈流變強(qiáng)度比時(shí),彈體的入射速度與歸一化最大侵徹深度之間的關(guān)系。結(jié)果表明,當(dāng)靶板與彈體流變強(qiáng)度比大于1 時(shí),彈體的入射速度必須大于一定值才能對(duì)靶板進(jìn)行有效的侵徹,這種速度可以稱之為最小臨界速度(此種動(dòng)能也可稱之為最小臨界動(dòng)能[7-8]),隨著此比值逐漸增加,其最小臨界速度也隨之增大,當(dāng)靶彈流變強(qiáng)度為3 和5 時(shí),彈體的最小臨界速度分布為751 m/s 和1 062 m/s;其次,隨著靶彈流變強(qiáng)度比的增加,相同入射速度下彈體的最大歸一化侵徹深度逐漸降低; 第三,靶彈流變強(qiáng)度比值的增加,雖然相同入射速度下其最大歸一化侵徹深度會(huì)減小,但同時(shí)提高其入射速度后,極限的歸一化侵徹深度基本相似,此時(shí)提高入射速度效果并不是很明顯,提高最大臨界侵徹深度理論上最有效的手段是提高彈靶材料密度比。

    3 AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解的分析

    對(duì)AT 模型中的一般情況下的解進(jìn)行推導(dǎo)分析。在此暫不考慮彈靶密度相等時(shí)的情況,另外,同上分析,當(dāng)彈體的流變強(qiáng)度大于靶板的流變強(qiáng)度時(shí),彈體的侵徹過程中存在剛體侵徹過程,此時(shí)AT 模型的適用性值得探討,暫不考慮,只考慮彈體流變強(qiáng)度小于靶板流變強(qiáng)度時(shí)的情況(兩者相等時(shí)的情況上文已做討論,并得到具體的解析解;同時(shí),需要注意的是,彈體流變強(qiáng)度小于靶板的流變強(qiáng)度并不代表彈體材料的動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度小于靶板材料的動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度)。

    根據(jù)上文的分析有

    式中相關(guān)符號(hào)的意義同前文。

    可有

    式中

    將式(18)代入式(20),可以得到

    根據(jù)上述參數(shù)代表的物理意義,可以定義以下的無量綱參數(shù)

    則有

    式中

    為一個(gè)常量,至于彈體入射速度、靶彈材料密度比、彈靶的流變強(qiáng)度相關(guān)。

    當(dāng)彈體尾部速度減小到

    4 結(jié)論

    1)Tate 等提出的AT 模型的推導(dǎo)過程中沒有考慮到彈靶材料密度比為1,即彈靶材料密度相等時(shí)的情況(此時(shí)推導(dǎo)過程中存在表達(dá)式分母為0 的情況),然而,原文中最后的實(shí)例分析卻使用彈靶材料密度相等時(shí)的情況討論理論分析結(jié)果,從而存在邏輯的不足之處,本文對(duì)此進(jìn)行了分析、修改與完善。

    2)對(duì)AT 模型的理論方程進(jìn)行了推導(dǎo),得到其一般情況下核心參數(shù)如彈體瞬時(shí)侵徹深度、彈體最大侵徹深度等解析解的表達(dá)式。

    3)針對(duì)彈靶材料密度比相等、彈靶流變強(qiáng)度相等、靶彈流變強(qiáng)度比為奇數(shù)等特殊情況下相關(guān)參數(shù)的精確解析解進(jìn)行了推導(dǎo),并利用實(shí)例對(duì)彈靶密度比、彈靶流變強(qiáng)度比等因素對(duì)侵徹行為的影響規(guī)律進(jìn)行了分析和討論。

    [1]Birkhoff G,Mcdougall D P,Pugh E M,et al.Explosives with lined cavities[J].Journal of Applied Physics,1948,19(6):563-582.

    [2]Alekseevskii V P.Penetration of a rod into a target at high velocity[J].Fizika Goreniya i Vzryva (Combustion,Explosion,and Shock Waves),1966,2(2):99-106.

    [3]Tate A.A theory for the deceleration of long rods after impact[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1967(15):387-399.

    [4]Allen W A,Rogers J W.Penetration of a rod into a semi-infinite target[J].Journal of the Franklin Institute,1961,272(4):275-284.

    [5]Walters W P,Segletes S B.An exact solution of the long rod penetration equations[J]. International Journal of Impact Engineering,1991,11(2):225-231.

    [6]Segletes S B,Walters W P.Extensions to the exact solution of the long-rod penetration/erosion equations[J]. International Journal of Impact Engineering,2003(28):363-376.

    [7]高光發(fā),李永池,沈玲燕,等.入射速度對(duì)長桿彈垂直侵徹行為的影響規(guī)律[J].高壓物理學(xué)報(bào),2012,26(4):449-454.

    [8]高光發(fā),李永池,段士偉,等.侵徹準(zhǔn)穩(wěn)定過程中沖擊速度與侵徹速度的關(guān)系[J].兵器材料科學(xué)與工程,2011,34(1):13-16.

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