一種基于復(fù)合模型的機動目標(biāo)跟蹤算法

李 洋，杜立夫，禹春梅

(北京航天自動控制研究所，北京 100854)

機動目標(biāo)跟蹤技術(shù)是實現(xiàn)對飛行目標(biāo)有效預(yù)警和打擊重要基礎(chǔ)，正所謂“看得準(zhǔn)”才能“打得準(zhǔn)”。機動目標(biāo)跟蹤技術(shù)主要是通過雷達、紅外等探測手段測量出飛行目標(biāo)的一些運動信息，如位置、視線角等，而后通過合適的濾波算法，根據(jù)測量信息對目標(biāo)的速度、加速度等狀態(tài)信息進行估計，從而為后續(xù)的作戰(zhàn)決策提供信息。

機動目標(biāo)跟蹤技術(shù)主要包含2 個主要部分，即機動目標(biāo)模型和濾波算法。常用的運動目標(biāo)模型主要有勻速(CV)模型、勻加速(CA)模型、Singer 模型、“當(dāng)前”統(tǒng)計模型等。其中Singer 模型和“當(dāng)前”統(tǒng)計模型均屬于時間相關(guān)模型，它們的區(qū)別在于前者采用了零均值加速度，而后者采用的是非零均值加速度［1］。非零均值加速度的采用使得模型更加貼近實際，從而在目標(biāo)機動較大的情況下能夠獲得更好的跟蹤效果，但在目標(biāo)機動較小或勻速運動情況下，由于系統(tǒng)方差調(diào)整不當(dāng)，該方法跟蹤效果的優(yōu)勢并不明顯。在Singer 模型中，由于加速度被認為是勻速運動中加入的零均值白噪聲，因此可以直接應(yīng)用Kalman 濾波算法，而我國學(xué)者周紅仁［2］提出的“當(dāng)前”統(tǒng)計模型中的加速度為非零均值時間相關(guān)的有色噪聲，因此他又提出了一種自適應(yīng)跟蹤算法。后人又對該方法進行了改進，如胡洪濤等［3］采用模糊自適應(yīng)算法對機動加速度方差自適應(yīng)算法進行了改進，使得對目標(biāo)加速度的估計精度得到提高; 戴瑞金等［4］又將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法應(yīng)用進來，用來離線優(yōu)化模糊系統(tǒng)參數(shù)等。

Kalman 濾波關(guān)鍵是建立合理的系統(tǒng)模型，如果建立的數(shù)學(xué)模型與真實模型一致，卡爾曼濾波可補償?shù)羲幸?guī)律性誤差，并在統(tǒng)計意義上使得隨機誤差影響最小。然而僅采用單一目標(biāo)機動運動模型的卡爾曼濾波算法在工程實踐中將會產(chǎn)生局限性，因為所研究的飛行器運動規(guī)律比較復(fù)雜，目標(biāo)的機動即加速度分解到空間坐標(biāo)系三個軸中很難表現(xiàn)為同一種運動規(guī)律，所以用單一的運動模型難以準(zhǔn)確描述飛行器的運動狀態(tài)，導(dǎo)致卡爾曼濾波器對狀態(tài)模型與觀測模型的建立與實際機動目標(biāo)的運動模型不能一致［5］。自適應(yīng)卡爾曼濾波算法都不能對機動目標(biāo)進行實時有效跟蹤，最終使?fàn)顟B(tài)估計會出現(xiàn)較大偏差，甚至出現(xiàn)濾波發(fā)散，便失去跟蹤意義。

本文針對一類飛行器(彈道導(dǎo)彈的再入，飛機俯沖偵查，飛機起飛與降落)表現(xiàn)的運動規(guī)律為縱向運動，而橫側(cè)向機動能力較小，分別利用“當(dāng)前”模型的機動跟蹤效果好與Singer 模型在目標(biāo)機動不大情況下精度高的優(yōu)勢，提出一種基于“當(dāng)前”模型與Singer 模型的復(fù)合空間目標(biāo)機動模型，運用自適應(yīng)卡爾曼濾波算法進行目標(biāo)跟蹤，實現(xiàn)對目標(biāo)加速度的估計，可以更好地提高跟蹤精度。

1 機動目標(biāo)模型建立

1.1 目標(biāo)量測與目標(biāo)跟蹤坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

本文采用極坐標(biāo)系下的量測模型和東北天直角坐標(biāo)系下的狀態(tài)模型進行目標(biāo)跟蹤算法的研究。以觀測雷達為原點，建立東北天空間直角坐標(biāo)系，則機動目標(biāo)的極坐標(biāo)系與東北天直角坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1 所示。

圖1 機動目標(biāo)極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到東北天坐標(biāo)系

1.2 “當(dāng)前”統(tǒng)計模型

“當(dāng)前”統(tǒng)計模型本質(zhì)上是非零均值時間相關(guān)模型，均值是當(dāng)前加速度的預(yù)測，機動加速度的“當(dāng)前”概率密度用修正的瑞利分布來描述［2］

式(1)中amax＞0，a-max＜0 是假設(shè)已知目標(biāo)加速度上限和下限，a 為目標(biāo)的隨機加速度，符合正態(tài)分布統(tǒng)計規(guī)律，μ ＞0 是常數(shù)。a 的均值和方差分別為

“當(dāng)前”統(tǒng)計模型采用的是非零均值，并且與時間相關(guān)的模型

式(3)中:x(t)為機動目標(biāo)的位置變量;a(t)為非零均值的有色加速度噪聲量;為機動目標(biāo)加速度均值;α 為機動目標(biāo)的機動時間常數(shù)的倒數(shù)，即機動頻率; ω(t)是零均值，方差是的白噪聲為機動目標(biāo)加速度方差值。

設(shè)a1(t)=a(t)+，可得

式(4)中:a1(t)為機動目標(biāo)加速度狀態(tài)變量;ω1(t)是均值為的白噪聲;a1(t)的最優(yōu)估計是過去觀測Y(t)的條件均值

寫成狀態(tài)方程，即得到機動目標(biāo)“當(dāng)前”統(tǒng)計模型

設(shè)采樣周期為T，通過離散化方法，可以得到離散機動目標(biāo)運動方程

其中

W(k)是離散時間白噪聲序列，并且

其中

卡爾曼濾波觀測方程為

其中當(dāng)僅有含噪聲的目標(biāo)位置數(shù)據(jù)可觀測時，有

V(k)是零均值，方差為R(k)的高斯白噪聲序列。

2 自適應(yīng)卡爾曼濾波算法

根據(jù)機動目標(biāo)的運動方程和觀測方程，運用卡爾曼濾波方程可以估計目標(biāo)的運動狀態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法描述如下。

1)輸入初值X1，P1;

3)狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差陣，

Pk|k-1=Φ(k，k-1)Pk-1|k-1ΦT(k，k-1);

6)狀態(tài)估計協(xié)方差陣，Pk|k=［I-KkHk］Pk|k-1;

7)是否停止解算? 是，結(jié)束;否則，轉(zhuǎn)回2);

考慮以上方程，得到下式:

根據(jù)“當(dāng)前”加速度均值，目標(biāo)機動加速度方差自適應(yīng)調(diào)整如下:

因為目標(biāo)機動加速度方差影響卡爾曼濾波增益值，這樣就使卡爾曼增益值隨目標(biāo)機動當(dāng)前加速度自適應(yīng)變化，至此基于當(dāng)前加速度的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法推導(dǎo)完畢。

3 仿真實驗

3.1 仿真數(shù)據(jù)處理與分析

為了驗證算法的合理性與有效性，本文利用2014年全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽試題4 中一組給定的機動目標(biāo)雷達測量位置數(shù)據(jù)，進行算法仿真分析。經(jīng)過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和處理數(shù)據(jù)，畫出機動目標(biāo)東、北、天向位置變化曲線如圖2、圖3、圖4 所示。

圖2 雷達測量的東向位置

圖3 雷達測量的北向位置

圖4 雷達測量的天向位置

將機動目標(biāo)3 個方向的運動曲線分別擬合為二階多項式，得到如下結(jié)果

經(jīng)初步離線計算可得加速度空間三個方向加速度大約為ax=1 m/s2，ay= -0.4 m/s2，az= -8.5 m/s2，負號表示加速度指向地面。此數(shù)據(jù)作為仿真驗證的標(biāo)準(zhǔn)范圍。

3.2 仿真分析

依據(jù)上述給定目標(biāo)機動雷達測量數(shù)據(jù)進行仿真，以此檢驗跟蹤性能。仿真條件設(shè)定，假定采樣周期T =1 s，東北天三個方向獨立觀測。測距誤差為零均值高斯白噪聲序列，東向標(biāo)準(zhǔn)差為10 m，北向標(biāo)準(zhǔn)差為50 m，天向標(biāo)準(zhǔn)差為50 m。仿真結(jié)果與分析如下。

采用“當(dāng)前”模型加自適應(yīng)卡爾曼濾波進行濾波處理，得到的機動目標(biāo)濾波如圖5、圖6、圖7 所示。

由3.1 數(shù)據(jù)可以分析出東向北向加速度近似為零，天向是一個常值加速度，即對目標(biāo)運動已知情況下，東向、北向目標(biāo)機動模型采用Singer 模型加卡爾曼濾波算法，天向目標(biāo)機動模型采用加速度“當(dāng)前”模型加自適應(yīng)卡爾曼濾波算法，濾波結(jié)果如圖8、圖9、圖10 所示。

圖5 “當(dāng)前”模型跟蹤目標(biāo)東向運動信息

圖6 “當(dāng)前”模型跟蹤目標(biāo)北向運動信息

圖7 “當(dāng)前”模型跟蹤目標(biāo)天向運動信息

圖8 “當(dāng)前”模型+singer 模型跟蹤目標(biāo)東向運動信息

圖9 “當(dāng)前”模型+singer 模型跟蹤目標(biāo)北向運動信息

圖10 “當(dāng)前”模型+singer 模型跟蹤目標(biāo)天向運動信息

由仿真圖的結(jié)果可以看出，分別兩種模型對機動目標(biāo)進行濾波估計，航跡估計都取得比較好的效果，速度估計的趨勢大體相當(dāng)。但是只采用“當(dāng)前”模型的機動目標(biāo)跟蹤的加速度估計與此前數(shù)據(jù)分析的結(jié)果出現(xiàn)明顯偏差，而采用對不同坐標(biāo)方向建立復(fù)合模型對目標(biāo)信息進行濾波并跟蹤，不僅航跡濾波跟蹤效果較好，而且加速度濾波估計值也更精確，也符合常理值，說明復(fù)合模型更具有實用性。

4 結(jié)束語

本文利用給定一組雷達數(shù)據(jù)進行仿真，分別采用“當(dāng)前”模型與復(fù)合模型，運用自適應(yīng)卡爾曼濾波進行空間機動目標(biāo)跟蹤，通過仿真數(shù)據(jù)分析可知，機動模型和濾波算法有機的結(jié)合才能得到更真實的信息，機動目標(biāo)跟蹤才更具有意義。許多飛行器在一定時間范圍內(nèi)只在縱向平面內(nèi)或橫向平面內(nèi)進行機動，飛機的降落和起飛，國外的偵查飛機為了對特定目標(biāo)的偵查也是縱向平面內(nèi)的機動，目標(biāo)的逃逸以及彈道導(dǎo)彈再入等都是符合這一運動學(xué)規(guī)律，所以建立對目標(biāo)跟蹤這種混合模型進行機動目標(biāo)跟蹤更具有實用價值。下一步工作中，將考慮機動目標(biāo)辨識以及模型的切換問題，使跟蹤算法進一步滿足自適應(yīng)性。

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