初應(yīng)變作用下一對(duì)邊固支一對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形薄板的彈性理論分析

王 懿

（貴州交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 550008）

初應(yīng)變作用下一對(duì)邊固支一對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形薄板的彈性理論分析

王 懿

（貴州交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 550008）

初應(yīng)變作用下一對(duì)邊固支一對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形薄板，可看作是初曲率作用下的四邊簡(jiǎn)支板與一對(duì)邊作用力矩的四邊簡(jiǎn)支板的疊加，在位移協(xié)調(diào)條件下可導(dǎo)出初應(yīng)變引起的板內(nèi)力的表達(dá)式和撓度方程，并可編程進(jìn)行驗(yàn)算。

矩形薄板 初應(yīng)變 疊加原理 內(nèi)力 撓度

初應(yīng)變作用下屋面板的工作環(huán)境和邊界條件具有其復(fù)雜性和特殊性，本文對(duì)邊界條件為一對(duì)邊固支一對(duì)邊簡(jiǎn)支的矩形薄板進(jìn)行了理論分析，以期對(duì)規(guī)則屋蓋在初應(yīng)變作用下的效應(yīng)產(chǎn)生較明析的認(rèn)識(shí)。

1.問題的模型建立

根據(jù)疊加原理，初應(yīng)變作用下的一對(duì)邊固支一對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形薄板的應(yīng)力問題，可看作是初曲率0κ作用下的四邊簡(jiǎn)支板與一對(duì)邊作用力矩Sm的四邊簡(jiǎn)支板的疊加，如圖1所示。

圖1 矩形薄板計(jì)算示意圖（0κ：板變形凹口向上為正）

2.問題的解答

2.1 工況1

考慮到板的對(duì)稱性以及初曲率本身作用的對(duì)稱性，設(shè)撓度表達(dá)式和邊界條件：

2.2 工況2

運(yùn)用Levy法，問題的邊界條件為：

對(duì)于所分析的問題0q=，針對(duì)（2.1）（2.2）所確定的基本方程及邊界條件工況2的撓度函數(shù)以雙曲三角函數(shù)及一般三角函數(shù)混合級(jí)數(shù)形式設(shè)為：

聯(lián)立以上公式求解，便得到工況2下?lián)隙鹊淖詈蟊磉_(dá)式：

m = 1

（2.7）

2.3 初應(yīng)變作用下一對(duì)邊固支一對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形板撓度內(nèi)力表達(dá)式

運(yùn)用疊加原理，一對(duì)邊固支一邊簡(jiǎn)支矩形板撓度w為工況1撓度1w與工況2板撓度2w的組合：

用已求得的撓度w計(jì)算板彎曲內(nèi)力解函數(shù)為：

式（2.8）、（2.9）為本文導(dǎo)出的初曲率作用下一對(duì)邊固支一對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形薄板產(chǎn)生的彎矩與撓度函數(shù)表達(dá)式。

3.算例分析

3.1 計(jì)算模型

計(jì)算模型的條件為：長(zhǎng)寬6m×5m，板厚分別取0.12m、 0.16m、 0.20m ，混凝土的強(qiáng)度等級(jí)為C30，其泊松比υ=0.2，彈性模量E=3× 1010N/m2，線性膨脹系數(shù)α=1× 10-5/0C ，計(jì)算溫度工況為：屋面板初曲率κ0分別取0.001、 0.0015、 0.002。

3.2 結(jié)果分析

根據(jù)式(2.8)、(2.9)編寫程序，分別計(jì)算不同工況下板中各點(diǎn)的撓度和內(nèi)力，計(jì)算結(jié)果如下圖所示。

圖2 板撓度w分布圖圖3 沿長(zhǎng)邊X軸方向跨中彎矩Mχ圖（h=0.2m） （κ0=0.001）

（1）對(duì)邊固支一對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形薄板在初應(yīng)變作用下時(shí)，可按式(2.8)、(2.9)算其撓度和內(nèi)力,計(jì)算結(jié)果可靠。

（2）由圖2，板中撓度隨著初應(yīng)變作用的增加成正比關(guān)系；而在初曲率κ0=0.0015作用下，板的最大撓度出現(xiàn)在跨中，僅為6.027mm，遠(yuǎn)小于《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中正常使用極限狀態(tài)驗(yàn)算下對(duì)屋蓋撓度的規(guī)定值l0/200=25mm，可見初應(yīng)變?chǔ)?對(duì)板撓度的影響并不大。

(3)由圖3，當(dāng)板厚h=0.2m,κ0=0.002時(shí)，Mχ(max)=-24.05kN.m ，板單位寬度最大彎矩出現(xiàn)在約束最強(qiáng)的固支邊附近。

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1007-6344（2015）04-0345-01

王懿，男，1986年11月28日生，漢族，貴州遵義人。學(xué)歷：貴州大學(xué)碩士研究生，專業(yè)：結(jié)構(gòu)工程?，F(xiàn)為貴州交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系講師，工程師。研究方向：建筑結(jié)構(gòu)多構(gòu)件協(xié)同工作效應(yīng)。