基于頻率特性搜索的伺服系統(tǒng)諧振控制

熊琰，李葉松

（華中科技大學(xué)自動化學(xué)院，湖北武漢430074）

1 引言

在工業(yè)應(yīng)用中，伺服傳動系統(tǒng)一般采用傳動桿、齒輪、同步帶等機(jī)械傳動裝置來驅(qū)動工作臺。為了獲得伺服系統(tǒng)的最佳轉(zhuǎn)矩傳遞特性，在設(shè)計控制器的過程中，必須考慮這些機(jī)械傳遞部件的特性［1-3］。在連接電機(jī)和負(fù)載的機(jī)械傳動裝置中，降低伺服系統(tǒng)動態(tài)特性的主要因素是機(jī)械裝置的傳動剛度，剛度過小會導(dǎo)致機(jī)械諧振頻率與伺服系統(tǒng)的速度閉環(huán)帶寬重疊，系統(tǒng)會出現(xiàn)不穩(wěn)定，甚至損壞機(jī)械傳動裝置。在軋機(jī)、傳送帶、機(jī)械手臂、造紙機(jī)等伺服系統(tǒng)的工業(yè)應(yīng)用中，機(jī)械諧振已經(jīng)成為影響系統(tǒng)特性的主要因素之一。

國內(nèi)外學(xué)者提出了多種控制策略來抑制系統(tǒng)的機(jī)械諧振?；跔顟B(tài)變量反饋是抑制機(jī)械諧振的一種有效的方法［4-5］，伺服系統(tǒng)的狀態(tài)變量通過觀測器觀測得到，然后利用極點(diǎn)配置的方法設(shè)計速度控制器的參數(shù)。但是在實(shí)際應(yīng)用中，高帶寬的狀態(tài)觀測器會放大伺服系統(tǒng)的測量噪聲，而較小的觀測器帶寬會降低估算的精度。因此，狀態(tài)觀測器較少應(yīng)用于具有高頻諧振的系統(tǒng)中［6］。

通過在線對電機(jī)轉(zhuǎn)速反饋和轉(zhuǎn)速給定的差值進(jìn)行FFT 變換，辨識得到伺服系統(tǒng)的諧振頻率，然后設(shè)計自適應(yīng)陷波濾波器是另一種簡單有效的方法［7-8］。但是，通過差值的FFT變換只能檢測得到系統(tǒng)的諧振頻率，并不能檢測得到系統(tǒng)在諧振頻率處的幅度增益和諧振帶寬，所設(shè)計的陷波濾波器不能很好地抑制機(jī)械諧振。利用正弦信號作為速度環(huán)給定，求得諧振頻率處的反饋轉(zhuǎn)速和給定轉(zhuǎn)速幅值的比值可以獲取系統(tǒng)在諧振頻率的幅度增益和帶寬［9-10］。但是，在機(jī)械諧振頻率與略低于速度環(huán)穿越頻率時，電機(jī)振蕩的頻率高于機(jī)械諧振頻率，會導(dǎo)致設(shè)計的陷波濾波器抑制機(jī)械諧振失?。?1］。另一方面，一般的陷波濾波器只是在頻率響應(yīng)上減小了諧振頻率處的幅度增益，并不能與諧振環(huán)節(jié)完全相抵消，影響了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性［12］。

本文首先通過動力學(xué)方程對伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)進(jìn)行建模，分析了系統(tǒng)機(jī)械諧振的頻率特性。然后提出了一種通過分割搜索區(qū)間的迭代搜索算法，該算法能準(zhǔn)確獲取伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)的頻率特性。在搜索完成后，利用系統(tǒng)的頻率特性設(shè)計和優(yōu)化陷波濾波器的參數(shù)，從而抑制伺服系統(tǒng)的機(jī)械諧振。仿真和實(shí)驗(yàn)證明，所提出的搜索算法方法能夠準(zhǔn)確獲取伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)的頻率特性；設(shè)計的陷波濾波器不僅較好地抑制了系統(tǒng)的機(jī)械諧振，而且改善了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性。

2 伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振模型的建立與分析

典型的伺服系統(tǒng)由控制器、電機(jī)、機(jī)械傳動裝置和負(fù)載組成。其中，控制器控制電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，輸出的轉(zhuǎn)矩通過齒輪，同步帶，絲杠等機(jī)械傳動裝置進(jìn)行有效傳遞，從而驅(qū)動負(fù)載運(yùn)動。

建立圖1所示的簡化物理模型對伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)進(jìn)行描述。圖1 中，n 為等效機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)的個數(shù)；ωm和θm分別表示電機(jī)轉(zhuǎn)速和電機(jī)位置；ωn和θn分別是負(fù)載的轉(zhuǎn)速和位置；Te是電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，Tsn表示傳動機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)矩；Jm和Jn分別是電機(jī)側(cè)等效轉(zhuǎn)動慣量和等效負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量；Ksn和Kwn分別表示等效傳動機(jī)構(gòu)的剛度和粘滯阻尼系數(shù)。通常，伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)的等效機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)的個數(shù)n為1或者2，諧振系統(tǒng)也分別被稱為二質(zhì)量系統(tǒng)和三質(zhì)量系統(tǒng)［13］。

圖1 伺服諧振系統(tǒng)的簡化物理模型Fig.1 The simplified physic model of servo resonant system

為了方便分析，忽略電機(jī)受到的摩擦轉(zhuǎn)矩、傳動機(jī)構(gòu)的間隙和傳動機(jī)構(gòu)的粘滯阻尼，建立動力學(xué)方程對伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述：

利用上述方程可以推導(dǎo)出伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

引起伺服系統(tǒng)諧振的機(jī)械諧振環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

以二質(zhì)量系統(tǒng)為例，其傳遞函數(shù)的參數(shù)與機(jī)械參數(shù)有如下關(guān)系：

類似的，三質(zhì)量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的參數(shù)與機(jī)械參數(shù)的關(guān)系為

對式（2）進(jìn)行頻域分析，可以獲取伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)的頻率特性，圖2 給出了二質(zhì)量系統(tǒng)和三質(zhì)量系統(tǒng)的幅頻特性。可以看出，二質(zhì)量系統(tǒng)具有一對諧振頻率和反諧振頻率；三質(zhì)量系統(tǒng)具有兩對諧振頻率和反諧振頻率。在反諧振頻率處，系統(tǒng)幅度增益較?。辉谥C振頻率處，系統(tǒng)幅度增益較大。因此，當(dāng)機(jī)械諧振頻率小于速度環(huán)的截止頻率時，諧振頻率點(diǎn)處的增益會導(dǎo)致電機(jī)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生機(jī)械振蕩。

圖2 二質(zhì)量系統(tǒng)和三質(zhì)量系統(tǒng)的幅頻特性Fig.2 The magnitude-frequency characteristic of threemass system and two-mass system

為了抑制伺服系統(tǒng)的機(jī)械振蕩，在伺服控制器中加入低通濾波器、陷波濾波器等方式都是比較有效的手段，要設(shè)計這些濾波器，需要準(zhǔn)確檢測出系統(tǒng)的頻率特性。

3 系統(tǒng)諧振頻率特性的搜索

在實(shí)際伺服系統(tǒng)中，速度控制器存在輸出限幅，因此，在忽略掉控制器積分項(xiàng)在高頻下的作用時，速度環(huán)控制器的描述函數(shù)可以用下式表示：

式中：kp為速度環(huán)控制器的增益；d為速度環(huán)控制器線性區(qū)域?qū)挾取?/p>

由式（4）可知，在2A≥d時，-∞＜-1/N(A)≤-1/kp。設(shè)伺服系統(tǒng)電流環(huán)等效傳遞函數(shù)為Gc（s），當(dāng)Gc（s）Gm（s）的奈奎斯特曲線與-1/N(A)存在交點(diǎn)時，伺服系統(tǒng)會以該交點(diǎn)對應(yīng)的頻率產(chǎn)生持續(xù)的振蕩。Gc（s）Gm（s）的伯德圖如圖3 所示，在圖3 中，系統(tǒng)穿越-180°的頻率即為奈奎斯特曲線與-1/N(A)交點(diǎn)處的頻率，由于該頻率大于諧振頻率，因此對轉(zhuǎn)速進(jìn)行FFT變換檢測得到的頻率并不是實(shí)際的諧振頻率。

圖3 機(jī)械環(huán)節(jié)和電流環(huán)的伯德圖Fig.3 The bode diagram of mechanical part and current loop

為了避免速度環(huán)穿越頻率的影響，本文利用頻率在線變化的多頻率正弦電流信號作為電流環(huán)給定，搜索伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)的頻率特性，搜索算法控制結(jié)構(gòu)見圖4。

圖4 頻率特性搜索的結(jié)構(gòu)圖Fig.4 The structure of searching for frequency characteristic

3.1 多頻率正弦轉(zhuǎn)矩電流信號

頻率在線變化的多頻率正弦轉(zhuǎn)矩電流信號是由多個不同頻率的正弦信號組合而成，設(shè)頻率的搜索范圍為［flow，fup］，包含的不同頻率的正弦信號個數(shù)為n0，每個正弦信號間的頻率間隔fd為

則多頻率正弦電流信號可以用下式表達(dá)：

式中：iqmax為電機(jī)轉(zhuǎn)矩電流限幅值；a0為調(diào)整系數(shù)。

通過調(diào)節(jié)a0保證電機(jī)轉(zhuǎn)速在安全運(yùn)行范圍內(nèi)。

3.2 基于分割搜索區(qū)間的諧振頻率特性的搜索

利用式（6）所示的多頻率正弦電流信號激勵系統(tǒng)，對電機(jī)轉(zhuǎn)速和反饋轉(zhuǎn)矩電流在線進(jìn)行采樣和存儲。由式（2）可以得到在頻率f處，諧振環(huán)節(jié)的幅度增益K與轉(zhuǎn)矩電流，電機(jī)轉(zhuǎn)速的關(guān)系：

式中：Kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Aω，Aiq分別為頻率f 處系統(tǒng)的電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩電流的幅值。

根據(jù)圖2，可以得知在系統(tǒng)反諧振頻率和諧振頻率處，K 分別取到極小值和極大值。因此頻率特性搜索的問題可以轉(zhuǎn)換為在目標(biāo)頻率范圍內(nèi)尋找K的極大值和極小值，以及分別對應(yīng)的頻率和帶寬。搜索諧振頻率特性的流程如下：

1）根據(jù)控制對象初始化多頻率正弦電流信號，確定flow，fup，n0，fd，iqmax，a0的值；

2）利用多頻率正弦信號激勵系統(tǒng)，對電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩電流進(jìn)行FFT變換，得到Aω和Aiq；

3）根據(jù)式（7）確定K 的極值點(diǎn)個數(shù)np和對應(yīng)的頻率fp。當(dāng)np=0時，若當(dāng)前轉(zhuǎn)矩電流信號的頻率間隔小于等于頻率間隔閾值f1，則該區(qū)間收斂，否則，將該搜索區(qū)間平均分割為2 個子搜索區(qū)間。當(dāng)np≥1 時，若當(dāng)前轉(zhuǎn)矩電流信號的頻率間隔小于等于頻率間隔閾值f2，則該子區(qū)間收斂，且極小值點(diǎn)對應(yīng)反諧振點(diǎn)，極大值點(diǎn)對應(yīng)諧振點(diǎn)；若當(dāng)前轉(zhuǎn)矩電流信號的頻率間隔在f1與f2之間，可以根據(jù)fp將當(dāng)前搜索區(qū)間分割為np個子區(qū)間：［fp_1-fd，fp_1+fd］，［fp_2-fd，fp_2+fd］…［fp_np-fd，fp_np+fd］；若當(dāng)前轉(zhuǎn)矩電流信號的頻率間隔小于等于頻率間隔閾值f2，可以根據(jù)fp將當(dāng)前搜索區(qū)間分割為2np+1 個子區(qū)間：［flow，fp_1-fd］，［fp_1-fd，fp_1+fd］［fp_1+fd，fp_2-fd］，…［fp_np+fd，fup］。在分割完成后，利用式（5）計算得到各個子區(qū)間的搜索頻率間隔。

4）當(dāng)仍存在不滿足區(qū)間收斂條件的頻率子區(qū)間時，繼續(xù)重復(fù)2）、3）對頻率子區(qū)間進(jìn)行分割。否則，結(jié)束搜索，確定諧振頻率和反諧振頻率，并計算得到其增益和諧振帶寬。

頻率間隔閾值f1和f2的選取需要綜合考慮收斂速度和精度的要求。選取較大的f1能有效提高不包含極值的子搜索區(qū)間的收斂速度；選取較小的f2則能有效提高包含極值的子搜索區(qū)間的搜索精度。

4 陷波濾波器的設(shè)計

4.1 陷波濾波器特性分析

無限沖擊響應(yīng)的陷波濾波器在陷波頻率處具有較大的幅度衰減和較小的相位滯后，因此，它被廣泛地應(yīng)用到諧振抑制的控制結(jié)構(gòu)中。典型的陷波濾波器的傳遞函數(shù)如下：

在ω0設(shè)計合理的時候，伺服機(jī)械諧振系統(tǒng)的諧振峰值可以被消除掉。陷波濾波器的帶寬一般設(shè)計得很小，確保不影響系統(tǒng)在諧振頻率附近的特性。但是，由于|GN(jω0)|=0，系統(tǒng)在加入傳統(tǒng)陷波濾波器后在諧振點(diǎn)的幅度增益為負(fù)無窮大，因此，這種濾波器雖然抑制了機(jī)械諧振，但是也惡化了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性；另外一方面，在實(shí)際系統(tǒng)中，機(jī)械諧振在諧振點(diǎn)附近對系統(tǒng)幅頻特性的影響往往不是對稱的，具有對稱調(diào)整帶寬的陷波器并不能完全抵消機(jī)械諧振對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。因此，可以利用下式的陷波濾波器進(jìn)一步改善系統(tǒng)的幅頻特性，降低諧振環(huán)節(jié)對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

該濾波器的幅頻響應(yīng)特性見圖5，陷波濾波器在諧振頻率ω0=2πfr處的幅值增益和帶寬分別為

因此，可以根據(jù)搜索得到的伺服系統(tǒng)諧振特性確定a 和b，從而設(shè)計陷波濾波器，達(dá)到抑制伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振的目的。

圖5 陷波濾波器的幅頻響應(yīng)Fig.5 The amplitude-frequency response of notch filter

在上述分析中，盡管陷波濾波器在幅頻特性上降低了系統(tǒng)的諧振增益，但是并不能完全抵消系統(tǒng)的諧振環(huán)節(jié)。所以，優(yōu)化陷波濾波器的參數(shù)可以進(jìn)一步改善系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能。

圖6為機(jī)械諧振環(huán)節(jié)和陷波濾波器的零極點(diǎn)分布?？梢钥闯觯诶硐肭闆r下，調(diào)節(jié)b可以使陷波濾波器的零點(diǎn)與諧振環(huán)節(jié)的極點(diǎn)對消，降低諧振環(huán)節(jié)極點(diǎn)對系統(tǒng)的影響。

圖6 陷波濾波器和諧振環(huán)節(jié)的零極點(diǎn)分布圖Fig.6 The zero-pole of notch filter and resonant part

圖6 為陷波濾波器GN（s）和機(jī)械諧振環(huán)節(jié)Gr（s）的零極點(diǎn)分布圖。由式（9）可知，在0

一個極點(diǎn)會移動到P1點(diǎn)，該極點(diǎn)與諧振環(huán)節(jié)的零點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相同，均為ωan。同時，另一個極點(diǎn)移動到P2點(diǎn)，與原點(diǎn)距離為ωn2/ωan?ωan。圖7為不同濾波器參數(shù)下，GN（s）Gr（s）的單位階躍響應(yīng)，其中，c1

圖7 不同的濾波器參數(shù)下，機(jī)械環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)Fig.7 The step responses of mechanical part with different filter parameters

4.2 陷波濾波器的參數(shù)設(shè)計

4.2.1 設(shè)計抑制機(jī)械諧振的陷波濾波器參數(shù)

根據(jù)諧振頻率個數(shù)確定陷波濾波器個數(shù)n，通過在線搜索得到的諧振頻率處的幅度增益和帶寬，利用式（10）和式（11）推導(dǎo)出陷波器參數(shù)與諧振頻率特性的關(guān)系如下：

4.2.2 優(yōu)化陷波器參數(shù)改善系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)性能

5 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5.1 仿真結(jié)果

在Matlab/Simulink 仿真環(huán)境實(shí)現(xiàn)帶有PI 結(jié)構(gòu)電流控制器的伺服電機(jī)控制仿真系統(tǒng)，其中電流環(huán)的PI 參數(shù)采用極點(diǎn)配置的方式設(shè)計。仿真系統(tǒng)參數(shù)配置為：電機(jī)慣量Jm＝0.004 3 kg·m2，負(fù)載慣量J1＝0.001 kg·m2，負(fù)載慣量J2＝0.01 kg·m2，傳動剛度Ks1＝1 000 N·m/rad，傳動剛度Ks2＝300 N·m/rad，粘滯阻尼系數(shù)Kw1＝0.11 N·m·s/rad，粘滯阻尼系數(shù)Kw2＝0.11 N·m·s/rad，負(fù)載側(cè)摩擦轉(zhuǎn)矩Tc＝1.23 N·m，電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)Kt＝2.35 N·m/A，電機(jī)額定電流In＝8.5 A。

根據(jù)仿真模型的電氣和機(jī)械特性初始化多頻正弦轉(zhuǎn)矩電流信號，確定頻率搜索范圍［flow，fup］為［0，300］Hz，包含的頻率個數(shù)n0為10，頻率間隔fd為30 Hz，頻率間隔閾值f1和f2分別為10 Hz 和1 Hz。依據(jù)前述的搜索算法和陷波濾波器設(shè)計方法，對系統(tǒng)頻率特性的搜索和機(jī)械諧振的抑制分別進(jìn)行了仿真研究。圖8為整個搜索過程中的反饋轉(zhuǎn)矩電流。圖9為多頻正弦轉(zhuǎn)矩電流信號的搜索范圍的變化過程。由仿真結(jié)果可以看出，對搜索頻率的范圍更新4次后，搜索得到了系統(tǒng)諧振頻率、反諧振頻率、諧振頻率處的幅度增益和帶寬，搜索結(jié)果見表1。系統(tǒng)具有兩對較高的諧振頻率和反諧振頻率。

圖8 整個搜索過程中的電機(jī)轉(zhuǎn)矩電流響應(yīng)Fig.8 The simulated response of torque current of motor in the whole search procedure

圖9 多頻率正弦信號搜索范圍的更新過程Fig.9 The updating process of search band of multi-frequency sine signals

表1 搜索得到的諧振頻率特性Tab.1 The searched resonance frequency characteristic

根據(jù)搜索得到的系統(tǒng)頻率特性設(shè)計和優(yōu)化陷波濾波器，此時系統(tǒng)的響應(yīng)如圖10所示。電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)和負(fù)載轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線表明陷波濾波器的加入能夠較好地抑制伺服系統(tǒng)的機(jī)械諧振；同時，經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化的陷波濾波器能平滑電機(jī)轉(zhuǎn)速在動過程中的輕微抖動，從而進(jìn)一步改善系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在仿真基礎(chǔ)上，搭建了由4 400 W 永磁同步電機(jī)和彈性傳動機(jī)構(gòu)組成的實(shí)驗(yàn)平臺，其中，傳動機(jī)構(gòu)由彈性聯(lián)軸器和同步帶構(gòu)成。伺服驅(qū)動器的主芯片采用TI 的TMS320F2812，三相逆變器的開關(guān)頻率為10 kHz。電機(jī)的轉(zhuǎn)速通過實(shí)驗(yàn)電機(jī)帶有的2 500線增量式光電編碼器獲取。系統(tǒng)速度環(huán)的周期為0.2 ms。實(shí)驗(yàn)平臺的電氣參數(shù)和機(jī)械參數(shù)為電機(jī)慣量Jm＝4.3×10-3kg·m2；電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)Kt＝2.35 N·m/A；電機(jī)額定電流In＝8.5 A。

圖10 3種不同控制策略的伺服系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.10 Responses of servo system with three different control strategies

根據(jù)實(shí)驗(yàn)平臺的電氣和機(jī)械特性初始化多頻正弦轉(zhuǎn)矩電流信號，然后利用前述的迭代算法對系統(tǒng)的諧振頻率特性進(jìn)行搜索，搜索算法的參數(shù)與仿真參數(shù)一致，搜索過程中的電機(jī)轉(zhuǎn)矩電流響應(yīng)和電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)如圖11 所示。圖12 為多頻正弦轉(zhuǎn)矩電流信號搜索范圍的變化過程。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，對搜索頻率的范圍更新4 次后，搜索得到了系統(tǒng)諧振頻率、反諧振頻率、諧振頻率處的幅度增益和帶寬，搜索結(jié)果見表2。系統(tǒng)具有一對諧振頻率和反諧振頻率。利用系統(tǒng)的頻率特性設(shè)計陷波濾波器對系統(tǒng)的機(jī)械諧振進(jìn)行抑制，伺服系統(tǒng)的響應(yīng)如圖13 所示。

表2 搜索得到的諧振頻率特性Tab.2 The searched resonance frequency characteristic

圖11 在整個搜索過程，電機(jī)轉(zhuǎn)矩電流響應(yīng)Fig.11 The experiment response of torque current and speed of motor in the whole search procedure

圖12 頻率正弦信號搜索范圍的更新過程Fig.12 The updating process of search band of multi-frequency sine signals

圖13 3種不同控制策略的伺服系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.13 Responses of servo system with three different control strategies

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，陷波濾波器有效地抑制了系統(tǒng)的低頻振蕩；優(yōu)化后的陷波濾波器能夠消除電機(jī)在啟動過程中出現(xiàn)的抖動，進(jìn)一步改善系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能。

6 結(jié)論

本文首先提出了一種迭代搜索算法獲取系統(tǒng)頻率特性，然后根據(jù)頻率特性設(shè)計和優(yōu)化陷波濾波器，實(shí)現(xiàn)了對伺服系統(tǒng)的機(jī)械諧振的抑制和動態(tài)響應(yīng)性能的改善。迭代搜索算法能準(zhǔn)確得到系統(tǒng)在設(shè)計陷波濾波器時需要的頻率特性；設(shè)計得到的陷波濾波器在有效地抑制系統(tǒng)機(jī)械諧振的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步改善了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能。實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。

［1］黃梁松，曲道奎，徐方，等.基于可調(diào)慣量比的伺服系統(tǒng)低頻諧振控制［J］.電氣傳動，2010，40（7）：61-65.

［2］楊明，郭少輝，郝亮，等.基于FFT 的PMSM 伺服系統(tǒng)在線定位末端抖動抑制技術(shù)［J］.電氣傳動，2013（S）：40-43.

［3］胡清，童懷.伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振問題的研究［J］.電氣傳動，2000，30（3）：7-11.

［4］張瑞成，童朝南.基于狀態(tài)觀測器的軋機(jī)主傳動系統(tǒng)機(jī)電振動控制研究［J］.電氣傳動，2005，35（11）：3-7.

［5］王浩，郝亮，楊明，等.雙慣量彈性系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設(shè)計與實(shí)現(xiàn)［J］.電氣傳動，2013（S）：48-51.

［6］Szabat K，Orlowska-Kowalska T.Performance Improvement of the Industrial Drives with Mechanical Elasticity Using Nonlinear Adaptive Kalman Filter［J］.IEEE Trans.Ind Elec.，2008，55（3）：1075-1084.

［7］Levin J，Ioannou P.Multi-rate Adaptive Notch Filter with an Adaptive Bandwidth Controller for Disk Drives［C］// American Control Conference.2008：4407-4412.

［8］Li G.A Stable and Efficient Adaptive Notch Filter for Direct Frequency Estimation［J］.1997，45（8），2001-2009.

［9］Lei Gu，Shan-ming Wan，Jicheng Yu，et al.A Novel Method for Shaft Torsional Oscillation.Suppression in Servo Systems［C］//Power Engineering and Automation Conference，2012：1-5.

［10］Lee D H，Lee J H，Ahn J W.Mechanical Vibration Reduction Control of Two-mass Permanent Magnet Synchronous Motor Using Adaptive Notch Filter with Fast Fourier Transform Analysis［J］.IET Electric Power Applications，2011，6（7）：455-461.

［11］Wang Wenyu，Xu Jinbang，Shen Anwen.Detection and Reduction of Middle Frequency Resonance for an Industrial Servo［J］.Control Engineering Practice，2013，21（7）：899-907.

［12］楊輝，范永坤，舒懷亮.抑制機(jī)械諧振的一種改進(jìn)的數(shù)字濾波器［J］.光電工程，2004，12（31）：30-39.

［13］Koji Sugiura，Yoichi Hori.Vibration Suppression in 2-and 3-mass System Based on the Feedback of Imperfect Derivative of the Estimated Torsional Torque［J］.IEEE Trans.Ind Elec.，1996，43（1）：56-64.